专题02 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题02勾股定理 【考点1】勾股定理解三角形★★ 【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★ 【考点3】勾股数（树）问题★★ 【考点4】以弦图为背景的计算题★★★ 【考点5】勾股定理的逆定理★ 【考点6】勾股定理的应用★★★ 【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★ 【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★ 【知识点01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【高分技巧】 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【知识02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【知识03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 【知识04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【知识05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点1】勾股定理解三角形★★ 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4，则斜边的长是（   ） A． B．4 C．5 D．7 2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）数学兴趣小组开展某款笔记本电脑张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为20，此时底部边缘A处与E处间的距离为15．小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为7，则底部边缘A处与C处之间的距离为（   ） A．24 B．20 C．15 D．13 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，垂足为D．已知，．设长为x． (1)根据勾股定理，得______．（用含x的代数式表示，结果需化简） (2)求x的值． 【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★ 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．    4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 7．（23-24八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 【考点3】勾股数（树）问题★ 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【考点4】以弦图为背景的计算题★★★ 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【考点5】勾股定理的逆定理★★ 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面各组数据，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，直角坐标系中，每个小正方形方格的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)求四边形的周长； (3)证明为直角． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． (1)求线段的长度； (2)试判断的形状，并说明理由． 【考点6】勾股定理的应用★★★ 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）实践探究小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，表示水平地面，他们进行了如下操作：测得牵线放风筝同学小明的头顶与风筝的水平距离长为米（），放出的风筝线长为米（其中风筝本身的长宽忽略不计），牵线放风筝同学小明的身高为米． (1)求此刻风筝离地面的垂直高度； (2)实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降米，若小明同学站在原地收线，请问他应该往回收线多少米？ 3．（23-24八年级下·全国·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★ 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 2．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★ 1．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点沿长方体的外表面爬到顶点处，那么它爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（    ） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，，2 B．，， C．6，7，8 D．5，10，12 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长为的橡皮筋如图绷直放置，固定两端和后把中点向上竖直拉升至点（即，），则橡皮筋被拉长了（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的A处竖直上升30米时，与地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为（   ） A．80米 B．60米 C．45米 D．40米 7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点沿长方体的外表面爬到顶点处，那么它爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题 10．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，．垂直平分，分别交、于点、，的长为 ． 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则未折断前这棵树高为 ． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 三、解答题 16．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 17．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点和点处，于，于，已知，，，则阅览室建在距点多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等． (1)用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)求的长． 19．（24-25八年级上·湖南·开学考试）如图，在中，，，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02勾股定理 【考点1】勾股定理解三角形★★ 【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★ 【考点3】勾股数（树）问题★★ 【考点4】以弦图为背景的计算题★★★ 【考点5】勾股定理的逆定理★ 【考点6】勾股定理的应用★★★ 【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★ 【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★ 【知识点01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【高分技巧】 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【知识02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【知识03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 【知识04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【知识05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点1】勾股定理解三角形★★ 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4，则斜边的长是（   ） A． B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、算术平方根，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理和算术平方根求解即可得． 【详解】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4， ∴它的斜边的长是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）数学兴趣小组开展某款笔记本电脑张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为20，此时底部边缘A处与E处间的距离为15．小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为7，则底部边缘A处与C处之间的距离为（   ） A．24 B．20 C．15 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，垂足为D．已知，．设长为x． (1)根据勾股定理，得______．（用含x的代数式表示，结果需化简） (2)求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． （1）根据题意可知，，，，再根据勾股定理可以求得的长，然后根据和，即可用含x的代数式表示出； （2）根据和勾股定理，可以求得x的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵长为x， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★ 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知，根据两个直角边对应的半圆面积可得出，，进而可得出，进而再求S即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． ∴正方形B的边长是2． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积为：． 故答案为：6． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到； （）把代入到（）中的关系式中计算即可求解； 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 7．（23-24八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 【答案】(1)见解析 (2)6， 【分析】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用 （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 化简得：； （2）解：设边上的高为，则： ， ∴， ∴ 即AB边上的高是， 故答案为：，． 【考点3】勾股数（树）问题★ 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【答案】215 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形、的面积和，同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 故答案为：215 【考点4】以弦图为背景的计算题★★★ 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 【考点5】勾股定理的逆定理★★ 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面各组数据，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决． 【详解】解：A、∵，∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵，∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵，∴不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，求出，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】证明：， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． ， ． 是直角三角形． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，直角坐标系中，每个小正方形方格的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)求四边形的周长； (3)证明为直角． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理及其逆定理，二次根式的加法运算： （1）分割法求面积即可； （2）勾股定理求出边长，周长公式进行计算即可； （3）勾股定理求出边长，逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：设四边形的面积为S，由图可知： ． （2）设四边形的周长为C，则，由勾股定理得 ； （3）连接 ∵，又， ∴， ∴， ∴为直角． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． (1)求线段的长度； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； 【详解】（1）解：每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰直角三角形． 【考点6】勾股定理的应用★★★ 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)的长为 (2)为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）实践探究小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，表示水平地面，他们进行了如下操作：测得牵线放风筝同学小明的头顶与风筝的水平距离长为米（），放出的风筝线长为米（其中风筝本身的长宽忽略不计），牵线放风筝同学小明的身高为米． (1)求此刻风筝离地面的垂直高度； (2)实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降米，若小明同学站在原地收线，请问他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）在中，由勾股定理得，进而根据，即可求解； （2）设风筝沿方向下降米至点，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米，米，米， 在中，由勾股定理得：（米）， （米）， 答：此刻风筝离地面的高度为米； （2）如图，设风筝沿方向下降米至点， 则米， （米）， （米）， （米）， 答：放风筝的同学要使风筝沿方向下降米，若该同学站在原地收线，他应该往回收线米 3．（23-24八年级下·全国·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 【答案】水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺．根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：如图，依题意得，，． ∵ G为的中点， 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺． 在中，根据勾股定理可得， 即 解得， ． 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， 工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ， ， 此时游轮距离岸边还有； （2）解：由题知，，，， ， 游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点， ， ， ， ∴， 工作人员手中的绳子被收上来． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★ 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 2．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 【答案】(1) (2)24秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 ∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近． 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★ 1．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点沿长方体的外表面爬到顶点处，那么它爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，， ， ③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得， 由于， 所以蚂蚁爬行的最短路程为． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 【详解】解∶展开圆柱，侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即 ，矩形的宽是圆柱的高． 根据两点之间线段最短， 最短路程是矩形的对角线的长， 即 ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下： ∴在中，（）， ∴蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度为：． 故选：C．    4．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（    ） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 【答案】B 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm 由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6 ∴BD=DE+BE=8 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，，2 B．，， C．6，7，8 D．5，10，12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：．，能构成直角三角形，故该选项符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长为的橡皮筋如图绷直放置，固定两端和后把中点向上竖直拉升至点（即，），则橡皮筋被拉长了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关知识点．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：∵，C为中点， ∴， 在中，，， 根据勾股定理，得： 故橡皮筋被拉长了． 故选：B． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长．先利用勾股定理，求出，进而求得，从而得到点表示的数． 【详解】解：，，， ， ， 点表示的数为1， 点表示的数为． 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的A处竖直上升30米时，与地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为（   ） A．80米 B．60米 C．45米 D．40米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， 即，之间的距离为40米． 故选：D． 7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 8．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点沿长方体的外表面爬到顶点处，那么它爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，， ， ③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得， 由于， 所以蚂蚁爬行的最短路程为． 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 二、填空题 10．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，．垂直平分，分别交、于点、，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质得到，设，则，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则未折断前这棵树高为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】由勾股定理得，， 所以． 故答案为：16． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 【答案】15厘米 【分析】该题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．根据题意将圆柱展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ， 厘米， ∴最短路程为15厘米， 故答案为：15厘米． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题 16．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．先利用勾股定理在中求出，再结合，，判定是直角三角形，且，再利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 17．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解； （）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得，， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）解：由题意可知，米， 米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴米， 答：此时绳结到地面的高度为米． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点和点处，于，于，已知，，，则阅览室建在距点多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等． (1)用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）设，由作图可知，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点， ∴根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得到点即为所求； （2）解：设，由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 19．（24-25八年级上·湖南·开学考试）如图，在中，，，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)当时， (2)点P恰好在的角平分线上，t的值为或12 (3)t为或10或或时，为等腰三角形 【分析】（1）先利用勾股定理求出，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论； （2）分类讨论，当点P在上，过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t；当点P与点A重合； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵点P在上，则（秒）， ∴， 连接，如图所示： 当时，， 在中，， 即， 解得：， ∴当时，； （2）解：如图1，当点P在上，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P与点A重合， ∴； （3）解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或10或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$