专题六：利用轴对称和勾股计算来处理“将军饮马”类最短路径问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题六：利用轴对称和勾股计算来处理“将军饮马”类最短路径问题 导例：如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（　　）. A.2 B.2 C.2+2 D.2+2 方法指引 线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证； 2.几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题 3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理； 4.轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用 【基本模型】-------两点之间线段最短 问题：在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小 解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短) 【将军饮马模型】------两定点一定线 在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型 “两定一动型”----两个定点+一个动点 · 知识点睛 1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型； 2.学会转化，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上，即“化斜为直”是问题处理的关键； 3.依据平面图形的特征，然后借助勾股定理解决． 【导例解析】要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值．根据勾股定理即可得．过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E， 此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小． 连接CB′，易证CB′⊥BC， 根据勾股定理可得DB′==2， 则△BDE周长的最小值为2+2． 故选：C． 典型例题 例：如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村． （1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法） （2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？ 【分析】（1）先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．利用勾股定理求出A′B即为铺设管道的最短距离． （2）运用费用＝米数×每米的钱数． 强化练习 1.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为______． 2.如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为　　　　． 3.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 ． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E． (1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系； 5．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD． (1)求证：△ADE≌△CDB； (2)若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值． B D C E A 7．已知三点、、，点P为x轴上一动点． （1）当与周长的和取得最小值时，求点P的坐标； （2）求证：； （3）当时，求度数． 专题六：利用轴对称和勾股计算来处理“将军饮马”类最短路径问题答案 例：（1）如图所示，抽水站修在点E处才能使所需的管道最短． 先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．作BC垂直于河，A′C平行河． ∵两村的水平距离为30米，∴A′C＝30米． ∵A村距河边10米，B村距河边30米， ∴BC＝10+30＝40（米）．∴A′B50（米）． （2）最低费用为：50×500＝25000（元）． 强化练习 1.． 2.如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H． ∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠A