专题7.2 离散型随机变量及其分布列（四大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.2 离散型随机变量及其分布列（四大题型） 【考点1：写出简单离散型随机变量分布列】 【考点2：利用随机变量分布列的性质解题】 【考点3：由随机变量的分布列求概率】 【考点4：两点分布】 【考点1：写出简单离散型随机变量分布列】 1．（24-25高二下·重庆·期中）一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）首先从，，，这四组编号中选出一组，再从其余人中选个人，利用组合数公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 2．（24-25高二下·北京怀柔·期中）高中的数学试卷满分是150，记成绩在分属于优秀．杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200名学生的数学成绩均在区间内作为样本，并整理成如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率； (2)从样本中数学成绩在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人，记这3人中来自组的人数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)优秀率约为； (2)分布列见解析， 【分析】（1）由所有组频率之和为1，求出的值，由频率估计优秀率. （2）由分层抽样知两组抽取人数，得X可能的取值，求出相应的概率，得分布列，利用公式求数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 解得：， 由样本估计总体得，本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为； （2）由题图可知，和这两组频率之比为3：2， 按分层抽样法，抽取的5名学生中，数学成绩在的学生有3名，在的学生有2名， 从这5名学生中随机选出3人，则X的所有可能取值为1，2，3， 所以，，， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 则 3．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； (2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型计算概率，利用对立事件的概率计算，可得答案； （2）由题意明确随机变量的所有取值，根据分布列的计算步骤，结合均值的计算，可得答案. 【详解】（1）从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 设“4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“4次摸球中，摸出的都是红球”为事件， 且，所以. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（1）得， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可. 【详解】（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3． 每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 所以，， ，， 则X分布列为： X 0 1 2 3 P 则 （2）不放回抽样时，则 ，，， 则Y的分布列为： Y 0 1 2 P 则 5．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子． (1)求第一次取到白粽的概率； (2)在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率； (3)设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）根据条件概率公式计算可得； （3）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）因为盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽， 所以第一次取到白粽的概率； （2）记第一次取到白粽为事件，第二次取到肉粽为事件， 则，， 所以； （3）依题意的可能取值为，，， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则. 6．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0、1、2，结合超几何分布求分布列； （2）设出相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式求解. 【详解】（1）由题意，随机变量，则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 （2）记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是对应事件分别为， 第二次摸到的是3号球为事件，则，， 所以. 7．（24-25高二下·河北·期中）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. (1)求三种颜色的球都被摸出的概率； (2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用超几何分布概率公式分类求解即可； （2）利用超几何概率公式求解，利用第一问求解，剩下的可用概率和为1，来求解即可得分布列，最后用期望公式求解. 【详解】（1）从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； （2）由题可知，的取值可能为 且， ， 的分布列为 1 2 3 . 8．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 【考点2：利用随机变量分布列的性质解题】 9．（24-25高二下·重庆·期中）随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 12．（24-25高二下·广东深圳·期中）设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 13．（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 14．多选题（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由分布列的性质求出的值，可判断A选项；由期望公式可判断B选项；由方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 则， 又，所以． 故选：AD. 【考点3：由随机变量的分布列求概率】 15．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，故, 故选：C 16．（24-25高二下·重庆·期中）表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据概率和为1求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B 17．（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【详解】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 18．（24-25高二下·山东临沂·期中）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求解，即可根据求解. 【详解】由表可得， 故， 故选：A 19．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质及均值的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， 又，所以. 故选：C． 20．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量之间的关系可知若，可得，结合对立事件概率求法求出结果. 【详解】因为，若，可得， 则，所以. 故选：A. 21．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 22．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为： 23．（24-25高二下·广东东莞·期中）已知变量服从分布，且，则 【答案】/ 【分析】根据概率和为1可求. 【详解】因为变量服从分布，故， 故答案为： 24．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则 ． X 0 1 2 3 4 P 【答案】/ 【分析】利用分布列性质计算可得，再由和事件即可求得其概率. 【详解】易知，解得； 由可得或， 所以. 故答案为： 25．（2025高三下·全国·专题练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为 ． 【答案】0.5/ 【分析】根据已知分布列，所求概率是命中6、7、8环的概率之和，即可得答案. 【详解】命中的环数小于9环的概率为． 故答案为： 【考点4：两点分布】 26．（24-25高二下·福建三明·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 27．（24-25高二下·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【答案】C 【分析】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果. 【详解】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C 28．（24-25高二下·河南·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 29．（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布可得，再根据即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，所以. 故选：D. 30．（24-25高二下·山西·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合两点分布方差公式列方程求即可. 【详解】设， 由两点分布方差公式可得，又， 所以，解得， 所以， 故选：A. 31．（24-25高二下·广东·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ． 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以． 故答案为：. 32．（24-25高二下·天津·期中）已知随机变量服从两点分布，其中，则 . 【答案】 【分析】根据两点分布的方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，， 所以， 所以， . 故答案为：. 33．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 离散型随机变量及其分布列（四大题型） 【考点1：写出简单离散型随机变量分布列】 【考点2：利用随机变量分布列的性质解题】 【考点3：由随机变量的分布列求概率】 【考点4：两点分布】 【考点1：写出简单离散型随机变量分布列】 1．（24-25高二下·重庆·期中）一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 2．（24-25高二下·北京怀柔·期中）高中的数学试卷满分是150，记成绩在分属于优秀．杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200名学生的数学成绩均在区间内作为样本，并整理成如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率； (2)从样本中数学成绩在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人，记这3人中来自组的人数为X，求X的分布列与数学期望． 3．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； (2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 5．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子． (1)求第一次取到白粽的概率； (2)在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率； (3)设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值． 6．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率． 7．（24-25高二下·河北·期中）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. (1)求三种颜色的球都被摸出的概率； (2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 8．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【考点2：利用随机变量分布列的性质解题】 9．（24-25高二下·重庆·期中）随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 12．（24-25高二下·广东深圳·期中）设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 13．（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．多选题（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【考点3：由随机变量的分布列求概率】 15．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·重庆·期中）表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 18．（24-25高二下·山东临沂·期中）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 19．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 22．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 23．（24-25高二下·广东东莞·期中）已知变量服从分布，且，则 24．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则 ． X 0 1 2 3 4 P 25．（2025高三下·全国·专题练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为 ． 【考点4：两点分布】 26．（24-25高二下·福建三明·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 28．（24-25高二下·河南·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 30．（24-25高二下·山西·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·广东·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ． 32．（24-25高二下·天津·期中）已知随机变量服从两点分布，其中，则 . 33．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$