8.2.1-8.2.2 随机变量及其分布列与离散型随机变量的数字特征（题型专练，6基础2提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

8.2.1-8.2.2 随机变量及其分布列与离散型随机变量的数字特征 题型一 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 1．【多选题】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 2．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 3．【多选题】（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【分析】根据离散型随机变量的定义判断. 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 4．【多选题】（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可. 【详解】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 题型二 写出离散型随机变量的分布列 1．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）由已知抽到黑球次数服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求解即可； （2）（ⅰ）只需考虑前三次抽球，记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球，进而可得出答案； （ⅱ）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得出分布列. 【详解】（1）易知抽到黑球次数服从二项分布， 于是，   ，   故所求概率； （2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取. 记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球， 则，   ， ， 可得； （ⅱ）由题意X的取值可以是， 则， ， ， ， 故可得分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P 3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）可取2，3，按独立事件概率求解，写出分布列； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”，利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式即可求解； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”，求，利用条件概率公式即可求解； （3）先求的可能取值，再求对应的概率即可求解. 【详解】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”， 所以； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”， 所以， 所以； （3）由题意有的可能取值为， 所以， ， ， 所以的分布列为： 题型三 离散型随机变量分布列的性质 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A． 3．（2025高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解． 【详解】由题意，得，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 题型四 由离散型随机变量分布列求概率 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 2．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由 可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 题型五 求离散型随机变量的均值 1．（北海市2025-2026学年期末教学质量检测高二数学试题）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】分别求出输入的每个数字进行编码后为0的概率，再求出期望值即可得结果. 【详解】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为， 第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为； 第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为； 因此可得. 故选：C 2．（25-26高三上·海南海口·月考）某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项．已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响． (1)要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值； (2)当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）先根据概率的性质求出的范围，结合二次函数最值可求答案； （2）根据的值，求出的所有取值，求解每个取值的概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由，解得 ． 由题意得，甲进入C项目，则甲在A，B项目均合格， 所以甲进入C项目的概率为． 因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，且， 所以当时，甲进入C项目的概率最大． （2）当时，， 所以甲能进入C项目的概率为， 乙能进入C项目的概率为， 丙能进入C项目的概率为． 因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 且， ， ， ； 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. (1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； (2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）方法一：记事件“甲获得奖品”，即5次射击中至少击中3次，且不能出现连续两次脱靶，即可求出对应概率； 方法二：求出所有射击情况中未中靶的概率，利用对立事件求出其概率即可. （2）易知的所有可能取值为，分别求出对应的概率即可求得分布列和数学期望. 【详解】（1）设事件“甲获得奖品”， 方法一： 获得奖品是5次击中3次､4次､5次，且不能连续两次不中，即击中3次时去除第一枪､第二枪不中，第二枪､第三枪不中，第三枪､第四枪不中三种情况， 即. 方法二： 记事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， 所以， 所以. （2）由题意，的所有可能取值为， 设事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， ， ， . 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望为. 4．（2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 题型六 求离散型随机变量的方差 1．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)71.2 (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 3．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 4．（2023·北京·三模）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)32000 (2) (3) 【分析】（1）根据A地区的游客人数所占比例计算即可； （2）写出的所有可能并求得所对应的概率得到分布列然后按照期望公式计算即可； （3）分别得到分布列，然后计算方差，根据数据比较即可. 【详解】（1）由题意，随机采访的15位游客中有3人来自A地区， 估计16万游客中来自A地区的游客人数为． （2）从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，其一顿烧烤的人均消费金额大于70元的概率分别约为和． 的可能取值为0，1，2，， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）由题可知：的所有可能结果为：32，68，86，选到的概率均为， 所以的分布列为： 32 68 86 P 所以，； 的所有可能结果为：57，70，78，91，选到的概率均为， 所以的分布列为： 57 70 78 91 P ， 的所有可能结果为：66，77，79，80， 81，83，94， 所以的分布列为： 66 77 79 80 81 83 94 P ，， 所以． 题型一 离散型随机变量中的决策问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. （2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 2．（25-26高三上·浙江金华·期末）某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进入市场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A，B，C三项测试，前一项测试通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9，0.8，0.5．A，B，C三项测试均通过的产品为一等品，通过和两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品为三等品．每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元． (1)求出方案二中某件产品为三等品的概率； (2)使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？请说明你的理由. 【答案】(1)0.28 (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）根据互斥事件的概率计算、相互独立事件的概率计算公式计算即可. （2）求出方案二的数学期望（均值）与方案一比较即可. 【详解】（1）对于方案二，设事件为“项测试通过”，事件为“项测试通过”，事件为“项测试通过”，事件为“测试产品为一等品”，事件为“测试产品为二等品”，事件为“测试产品为三等品”， 则. （2）记方案一和方案二中每件产品的获利分别为元和元，显然有， 而方案二中， 则的分布列如下表： 10 8 6 0.36 0.36 0.28 所以 因为， 所以使用方案二时，每件产品的获利均值更高. 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择先猜，理由见解析 【分析】（1）对先猜对后猜对以及先猜对后猜对进行求解即可； （2）分别求解先猜对与先猜对的分布列，再求解其数学期望即可. 【详解】（1）记张某先猜对后猜对为事件， 先猜对后猜对为事件， 所以张某猜对两道谜语的概率为. （2）若张某先猜获得的奖金为元，则 0 10 30 0.2 0.4 0.4 先猜获得奖金为元，则 0 20 30 0.5 0.1 0.4        因此张某应选择先猜谜语. 4．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由见解析 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 题型二 离散型随机变量与函数不等式综合 1．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 2．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)选甲参加第一阶段的比赛 【分析】（1）先确定的可取值为，然后分析出甲、乙谁先参加第一阶段的投篮对结果没有影响，再计算出的不同取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据不小于分析出甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次，由此可计算对应概率； （3）分别计算出甲、乙参加第一阶段比赛时比赛成绩的数学期望，然后通过作差法比较大小，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，可取， 由于甲、乙每次投中的概率相等， 所以无论甲、乙谁先投篮，该队不能进入第二阶段的概率都为， 所以该队能进入第二阶段的概率都为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： （2）若不小于，则说明甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次， 甲第一阶段投篮至少投中次的概率为， 乙第二阶段投篮至少投中次的概率为， 所以. （3）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩可取， ， ， ， ， 所以 所以， 所以， 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩可取， 同理可得， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以应选甲参加第一阶段的比赛. 3．（25-26高三上·陕西·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）利用事件的相互独立性即可求解； （2）根据已知条件分别写出甲或乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的分布列和数学期望，再进行比较大小即可判断. 【详解】（1）第一阶段甲次都未中的概率为， 所以进入第二阶段的概率为， 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次， 投中次的概率为，投中次的概率为， 所以乙得分不少于分的概率为， 因为两个阶段的比赛相互独立， 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 所以， 因为，所以，，所以， 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员先后出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)A 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式计算求解；（ii）应用条件概率乘法公式计算求解； （2）先应用独立事件乘法公式计算概率，再得出分布列，进而再得出数学期望作差比较计算判断. 【详解】（1）（i）甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率为. （ii）记事件表示“未罚中且罚中”，则 . （2）若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 由题意可知的可能取值为1，2，3，4， 则，， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 则 ， 若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 同理可得， 则 ， 因为， 所以，，， 则， 所以，即， 所以要使派出队员人数的期望较小，甲组应安排第一个出场. 1．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【答案】(1) (2)概率，最大值 【分析】(1) 育苗成功的种子数量为服从二项分布，按照二项分布性质即可得； (2) 为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．接着计算其概率，令，设函数，分析函数单调性即可得. 【详解】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii），证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布即可结合互斥事件概率加法公式计算求解； （ii）记事件“甲获胜”，事件“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没有平局结果的特性即可求解证明； （2）先根据甲赢的局数服从二项分布和二项式定理原理求出的表达式，接着计算差值和，再由不等式性质分析即可比较大小得证. 【详解】（1）（i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 4．【多选题】（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（    ） A．当时，投篮2次游戏结束的概率为 B．当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 【答案】ACD 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式可求AB；假定状态再分类讨论，利用递推法可求CD. 【详解】对于A， 由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮2次后游戏结束的概率为，故A正确； 对于B，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 故投篮3次游戏结束的事件为“次投篮结果依次为：不中、命中、命中”， 则由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮3次游戏结束的概率； 投篮4次游戏结束，则第3、4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投篮结果不影响， 故投篮4次游戏结束的概率为， 两者概率相等，故B错误； 对于C，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望，考虑第一次投篮的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投篮总次数为； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，为出现连续次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数学期望. 在连续次命中停止的游戏中，考虑首次达到出现连续命中（）次的时刻， 此时当前投篮的总次数期望为，且最后次都投篮命中. 现在从此状态开始，游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），考虑下一次投篮的结果： 若下一次投篮命中（概率为）， 则出现连续次命中停止投篮游戏结束，即投篮的总次数可看作次； 若下一次投篮命不中（概率为）， 则游戏重置，需再进行次投篮游戏才能结束，即投篮的总次数可看作； 故， 整理得（），故D正确． 故选：ACD. 5．（2026·重庆·模拟预测）甲有红球若干，乙有黄球若干，丙有白球若干，三人各自随机拿出X，Y，Z个球放入一个盒中，保证盒中不多于个球，. (1)若. （i）已知，求； （ii）求； (2)令，求. 参考公式：. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）（i）已知，则X共8种等可能取值，所以； （ii）当，所以样本空间为，所以. （2）由题得到，样本空间为， 当时，个数为，所以，所以，计算得到 ，所以. 【详解】（1）（i）已知，则，且. 则X可取1,2,…,8，共8种等可能取值， 所以； （ii）因为，所以样本空间为方程的正整数解个数共； 当时，正整数解个数为 ； 当时，正整数解个数为 ； 所以. （2）因为，所以， 由对称性，， 故. 样本空间为满足的正整数解个数为 当 时，的正整数解个数为 ； ； 所以； 令； 所以； . 6．（2025·四川乐山·模拟预测）有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时（如图），一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式.记时，表示满足条件的握手方法总数． (1)求，； (2)已知，把人顺时针标记为1，2，…，10，在1和2握手的情况下，求9和10握手的概率； (3)已知：对任意个随机变量，，…，，有.当时，随机变量表示相邻两人握手的对数，其期望记为，求（用n和表示）. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）将人进行标记，再分和讨论即可； （2）根据（1）中结论，并结合条件概率公式即可得到答案； （3）求出，再计算出，最后代入计算即可. 【详解】（1）当时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，用表示和握手． 若1和2握手，共有两种方法：和； 若1和6握手，共有两种方法：和； 若1和4握手，共有1种方法：． 所以，． 当时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，7，8，用表示和握手． 若1和2握手，剩下6人，情况同，共5种方法； 若1和8握手，由对称性，情况同1和2握手，共5种方法； 若1和4握手，则2和3握手，剩下4人，共2种方法； 若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法； 所以，种方法． （2）设“1和2握手”，“9和10握手”． ， 所以. （3）记，，其中表示第1个人. 和握手时，情况和个人时一样，共种方法， 则． 设， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.1-8.2.2 随机变量及其分布列与离散型随机变量的数字特征 题型一 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 1．【多选题】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 2．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 3．【多选题】（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 4．【多选题】（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 题型二 写出离散型随机变量的分布列 1．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 题型三 离散型随机变量分布列的性质 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 2．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 3．（2025高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 题型四 由离散型随机变量分布列求概率 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 题型五 求离散型随机变量的均值 1．（北海市2025-2026学年期末教学质量检测高二数学试题）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高三上·海南海口·月考）某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项．已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响． (1)要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值； (2)当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. (1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； (2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 4．（2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 题型六 求离散型随机变量的方差 1．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 3．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 4．（2023·北京·三模）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 题型一 离散型随机变量中的决策问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 2．（25-26高三上·浙江金华·期末）某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进入市场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A，B，C三项测试，前一项测试通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9，0.8，0.5．A，B，C三项测试均通过的产品为一等品，通过和两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品为三等品．每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元． (1)求出方案二中某件产品为三等品的概率； (2)使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？请说明你的理由. 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 4．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 题型二 离散型随机变量与函数不等式综合 1．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 2．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 3．（25-26高三上·陕西·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员先后出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 1．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 4．【多选题】（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（    ） A．当时，投篮2次游戏结束的概率为 B．当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 5．（2026·重庆·模拟预测）甲有红球若干，乙有黄球若干，丙有白球若干，三人各自随机拿出X，Y，Z个球放入一个盒中，保证盒中不多于个球，. (1)若. （i）已知，求； （ii）求； (2)令，求. 参考公式：. 6．（2025·四川乐山·模拟预测）有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时（如图），一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式.记时，表示满足条件的握手方法总数． (1)求，； (2)已知，把人顺时针标记为1，2，…，10，在1和2握手的情况下，求9和10握手的概率； (3)已知：对任意个随机变量，，…，，有.当时，随机变量表示相邻两人握手的对数，其期望记为，求（用n和表示）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $