第12章 二次根式能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第12章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 2．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则代数式的值为（    ） A． B．2021 C． D．2025 5．一个数值转换器，原理如图．当输入的为16时，输出的是（   ） A． B． C． D．2 6．如图，估计的值所对应的点可能落在（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 7．如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 9．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 10．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则 ． 12．已知，则 ． 13．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 14．若，则的值为 ． 15．已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 16．七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为 ． 三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22题每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) ； (2)． 18．（8分）已知 ， ． (1)_____，_____； (2)求代数式的值． 19．（8分）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 20．（8分）阅读并回答问题： 为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如， ， 所以． 请仿照上例化简下列根式： (1)； (2)． 21．（10分）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 22．（10分）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，， ，且， 故选：C． 2．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 3．化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先计算出的结果，再根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 4．若，则代数式的值为（    ） A． B．2021 C． D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值以及运用完全平方公式进行计算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据题意可得，然后将整理为，代入求值即可． 【详解】解：， 故选：D． 5．一个数值转换器，原理如图．当输入的为16时，输出的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查的是条件程序图、求一个数的算术平方根和无理数的判断，掌握条件程序图的运算顺序、算术平方根的定义和无理数的定义是解决此题的关键．根据程序图的运算，求出16的算术平方根，如果结果是无理数，输出结果；如果结果是有理数，再取算术平方根，直至结果为无理数即可求出结论． 【详解】解：的算术平方根为4，4是有理数； 4的算术平方根为2，2是有理数； 2的算术平方根为，是无理数， ． 故选：C． 6．如图，估计的值所对应的点可能落在（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是先化简式子，再通过比较被开方数的大小来估算无理数的范围． 先对式子进行化简，然后估算化简后式子中无理数的取值范围，进而确定整个式子的取值范围，从而判断其对应的点的位置． 【详解】， ， ， ，即， 的值所对应的点可能落在点D处． 故选：D． 7．如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作，得到，证明四边形为菱形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，    由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选D． 8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 9．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 10．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义；先对138进行一次操作后的结果是，同理得对138进行两次操作后的结果是3；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，因为，故．即，得．结合是正整数．得的最大值为255．即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故①符合题意； ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴对138进行两次操作后的结果是3； 故②符合题意； 设正整数n， 则， 即， ∴， 则， 故对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1； ③不符合题意； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m， ∵正整数进行3次操作后变为1， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵要经过3次操作，故． ∴． ∵是正整数． ∴的最大值为255． 故④不正确； 故选：C． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟悉掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的非负性运算求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∴， 把代入可得：， ∴， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求代数式的值，二次根式的混合运算，把原式利用完全平方公式变形是解题的关键．利用完全平方公式变形，原式，把代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，实数的混合运算，根据题意得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根， ∴ ∴ 故答案为：． 14．若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 15．已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴得到，再由二次根式的性质与绝对值进行化简即可．掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图可得， ∴，， ∴． 故答案为：1 16．七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得正方形的边长，根据，即可求解． 【详解】解：图①中的大正方形边长为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22题每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 18．（8分）已知 ， ． (1)_____，_____； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；18 (2) 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值； （2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ． 19．（8分）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是黄金分割数的含义，二次根式的混合运算，分式的加法运算； （1）直接代入，进行计算即可； （2）由，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解：∵，， ∴． ． 20．（8分）阅读并回答问题： 为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如， ， 所以． 请仿照上例化简下列根式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得； （2）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 所以． （2）解： ， 所以． 21．（10分）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查阅读理解，涉及分母有理化等知识，读懂材料，理解材料中分母有理化方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料中的方法化简即可得到答案； （2）由材料中的方法先化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ． 22．（10分）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$