精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为. 故选：D. 2. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量. 【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为. 故选：D 3. 某单位老、中、青人数之比依次为.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量为（ ） A. 40 B. 50 C. 70 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】依题意可知，. 故选：A 4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，则内的任何直线都与平行 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行性质、线面平行性质等相关知识求解即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由面面平行的性质可知，若，则内的任何直线都与平行,故B正确； 若，，则或，故C错误； 若，，则或，故D错误． 故选：B 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面垂直向量和数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由，得，解得. 故选：B 6. 如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可． 【详解】如图所示， 由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上， 且其长度变为原来的2倍，长度为， 所以原来的图形是平行四边形， 其在横轴上的边长为1，高为， 所以它的面积是． 故选：． 7. 某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ） A. 图中的值为 B. 估计样本数据的众数 C. 估计样本数据的75%分位数为88 D. 由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可得判定A错误；根据众数的计算公式，可判定B错误；根据百分位数的计算方法，可得判定C错误；求得体测成绩在的频率，求得成绩优异的人生，可判定D正确. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，故A错误； 对于B中，根据频率分布直方图，可得众数，所以B错误； 对于C中，设75%百分位数为， 由频率分布直方图中的数据，可得， 且， 所以，则， 解得，所以C错误； 对于D中，体测成绩在的频率为， 估计全市高一学生体测成绩优异的人数约为人，所以D对， 故选：D. 8. “长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，易知，且，设肉馅球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】 如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面， 又平面，则平面平面， 设肉馅球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以：，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故， 所以比值为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先对化简，求出复数，然后逐个分析判断即可 【详解】解：由，得， 所以，所以A错误； 所以在复平面所对应点在第三象限，所以B正确； 的虚部为2，所以C错误； ，所以D正确， 故选：BD 10. 2021年某地居民人均可支配收入的构成比例如图所示，已知该地居民人均经营净收入为5250元，则（ ） A. 2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的21% B. 2021年该地居民人均可支配收入为25000元 C. 2021年该地居民人均转移净收入低于人均经营净收入 D. 2021年该地居民人均工资性收入比人均转移净收入多6750元 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的饼状图，逐项分析计算判断. 【详解】对于A，2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的百分比为，A正确； 对于B，2021年该地居民人均可支配收入为（元），B正确； 对于C，由，得2021年该地居民人均转移净收入高于人均经营净收入，C错误； 对于D，2021年该地居民人均工资性收入为（元）， 人均转移净收入为（元），，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在直三棱柱中，是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直三棱柱外接球半径为 C. 的值可以为 D. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理证明平面，再利用等体积法计算可求得A正确，将直三棱柱补充为正方体，可得外接球半径为，故B错误；利用平面展开图和余弦定理计算可得C错误，求出直三棱柱内部能够放入的最大球的半径即可得D正确. 【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 因为平面平面，则平面， 因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， ，故A正确； 对于B选项，直三棱柱可以补充为棱长为2正方体，易知其外接球半径为，故B错误； 对于C选项，将面翻折到与面在同一个平面，如下图所示： 在中，， 由余弦定理可得： ， 当且仅当三点共线时，取最小值， 故不可能为为，故C错误． 对于D选项，因为，则， 内切圆半径为， 由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球， 而表面积为的球，其半径为，可得； 因为，所以这个直三棱柱内部可以放入半径为的球，故D正确； 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：在求解三棱柱中能放入的球的表面积时，关键是求出的内切圆半径与三棱柱的高能否满足对应关系，进而确定球的最大半径. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据12，23，15，19，17，27，14，30的第70百分位数为__________. 【答案】23 【解析】 【分析】由百分位数的计算可得. 【详解】这组数据按照从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 因为8×70%=5.6， 所以第70百分位数是第六项数据23. 故答案为：23. 13. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，．记异面直线与所成的角为，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由BD∥B1D1，得∠AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），由此利用余弦定理能求出cosθ． 【详解】∵在直四棱柱中，底面是正方形，． ，是异面直线与所成的角（或所成的角的补角）， 设， 记异面直线与所成的角为，则 ， 故答案为． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出⊥平面和平面平面，从而有⊥平面，则其轨迹为（除外），再计算周长即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为、、三点共线， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 又与垂直， ，解得． 16. 在中，内角的对边分别是，若，． （1）求； （2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角以及正弦定理可得，即可根据余弦的二倍角公式求解， （2）根据余弦定理可得，即可根据同角关系得，由面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 在中，由正弦定理得，， 又，∴，∴； 【小问2详解】 ∵，，∴， 由余弦定理得，，则， 化简得，，解得或（负值舍去）， ∵，∴，∵，，∴， ∴的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直； （2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 因为，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以 【小问2详解】 设，连接， 则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 18. 随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图. （1）求a； （2）如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？ （3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？ 【答案】（1） （2）10万 （3）小张 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，列出等式求解即可； （2）由频率分布直方图求得相应频率即可求解； （3）由中位数、平均数的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为频率和为1，所以由频率直方图可得，， 所以. 【小问2详解】 样本中女性“偏胖”的频率为， 全市“偏胖”女性的人数约为人，即10万人. 【小问3详解】 调查所得数据的平均数为， 设调查所得数据的中位数为， 因为体脂率在的频率为； 体脂率在的频率为； 体脂率在的频率为； 又因为，， 所以，所以，所以， 所以调查所得数据的中位数约为， 所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，所以小张的体脂率更低. 19. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. （1）若，求证：平面平面； （2）若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角正切的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等边三角形的边长为2，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理证明面，根据面面垂直的判定定理得证； （2）根据题意，可证，即三棱锥为正三棱锥，连接并延长交于，可证面面，过作，证明面，取的中点为，可得，所以为所求线面角，运算得解； （3）设，过作，过作，连接，可证为所求夹角，在中，可得，由三角函数有界性求出的最大值，得解. 【小问1详解】 设等边三角形的边长为2， 则，连接交于点. 因为是等腰三角形，所以，即， 因为，，. 所以，， ，面， 所以面，因为面， 所以面面. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以三棱锥为正三棱锥. 因为是的重心， 所以面，则， 连接并延长交于， 连接，可得，， 所以面， 所以面面，过作， 因为面面，面， 所以面. 取的中点为，由题意知是的中点. 所以，所以为所求线面角. 在中，，， 所以. 【小问3详解】 因为，设，过作. 因为，可得平面， 所以平面平面，所以平面， 可得，， 过作，连接， 易得，可得为所求夹角. 在中，，， 所以， ， 所以，解得， 所以平面与平面夹角正切的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 某单位老、中、青人数之比依次为.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量为（ ） A. 40 B. 50 C. 70 D. 100 4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则内的任何直线都与平行 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 某市为了解全市12000名高一学生体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ） A. 图中的值为 B. 估计样本数据的众数 C. 估计样本数据的75%分位数为88 D. 由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人 8. “长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. A B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 10. 2021年某地居民人均可支配收入的构成比例如图所示，已知该地居民人均经营净收入为5250元，则（ ） A. 2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的21% B. 2021年该地居民人均可支配收入25000元 C. 2021年该地居民人均转移净收入低于人均经营净收入 D. 2021年该地居民人均工资性收入比人均转移净收入多6750元 11. 如图，在直三棱柱中，是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直三棱柱的外接球半径为 C. 值可以为 D. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据12，23，15，19，17，27，14，30的第70百分位数为__________. 13. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，．记异面直线与所成的角为，则 _____. 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 16. 在中，内角的对边分别是，若，． （1）求； （2）若，点D为边BC上一点，且，求面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 18. 随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图. （1）求a； （2）如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？ （3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？ 19. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. （1）若，求证：平面平面； （2）若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角正切的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$