精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试题

沈阳市回民中学2024级高一下学期期中质量监测 数学 出题人：高一数学组 审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数的虚部为-2. 故选：A. 2. 已知向量、的夹角为，，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题. 【详解】由向量、的夹角为，，，得出. 则. 故选：C 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简后可得，再结合余弦定理和正弦定理化简可得，两者结合可得，最后由基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 整理得：，而为三角形内角，故， 故，但，故. 所以， 因为，故，所以， 所以，故， 故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2， 故选：B. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到与的关系． 【详解】由题知，，， ，， ，整理得， 故选：B． 5. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论. 【详解】如图，由知O为的中点， 又∵O为的外接圆圆心， 又 为正三角形，， 在上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求出，根据两角和正弦公式结合题意求出，继而求得，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于为锐角，则 由，得， 即，结合， 可得， 故， 故， 故选：D 7. 若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数化简变形为，令，解得或，由，求出范围，再由在上恰有1个零点，得，从而可得的取值范围. 【详解】 令，则，所以或， 因为，所以， 因为在上恰有1个零点，所以，解得． 故选：B 8. 已知函数，，若，下列说法错误的是（　　） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【详解】∵，，当即，解得；当，即，解得，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，故选C. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，所以， 对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确； 对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误； 对于C,如图1，，故C错误； 对于D,由余弦定理得：， 当且仅当时取等号，因此，故D正确， 故选：AD. 10. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由，求得，正弦定理求出，可得的值. 【详解】因为，且，所以. 由正弦定理可得，则， 又，有，故或. 故选：AD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若 为锐角，则实数 的取值范围是 B. 已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为 C. 点 在 所在平面内，若 分别表示 的面积，则 D. 点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：对于A：因为，，， 所以， ， 因为为锐角，所以，解得， 当，即时，故且，故A错误； 对于B：不妨设、，设，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，所以，故B正确； 对于C：因为，取的中点， 则， 所以为的中点，连接，因为是的中点，所以， 是的中点，所以，， 所以，故C正确； 对于D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上， ，可得，所以在的平分线上， 则点是的内心，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，写出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算即可. 【详解】解：以为坐标原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则， 设，则， 因此. 故答案为：. 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知式消去边，整理成，利用角的范围求得的范围，设，将其整理成关于的一元二次不等式组，解之即得的范围，最后由正弦定理即得.. 【详解】设，则，由得 因为锐角三角形，故，，： ，代入得，解得； ，代入得，解得； ，代入得，对恒成立， 综上，，即，. 故答案为：. 14. 设的内角所对的边分别为，已知，点在边上，，且，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】一方面有，另一方面 由此即可算出正弦值，结合以及三角形面积公式即可求解. 【详解】如下图所示： 一方面：由，得． 另一方面：设，则，由.. 结合以上两方面得，整理得，则， 且注意到，即，所以的面积为 ． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛:本题的关键在于发现以及，， 由此找到转换已知条件的桥梁，进而顺利求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由，得，解得或. 【小问2详解】 由是纯虚数，得， 解得，所以. 【小问3详解】 由对应的点在第一象限，得， 解得且， 所以的取值范围为. 16. 中，分别是角A，B，C所对的边，， （1）求的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得到，结合余弦定理得到，即可求解； （2）由（1）求得，结合正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得，可得， 由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）得，因为，可得， 由正弦定理得，可得， 而， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性质求其周期和递增区间； （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值； （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为 由，可得， 故函数的单调增区间为. 小问2详解】 由（1）已得，则， 因，则，故， 则 . 【小问3详解】 在中，， 因，可得， 故，解得，则， 故， 因，则，故， 则，即的取值范围为. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． 【小问2详解】 由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． 小问3详解】 在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知应用向量数量积的运算律有，即可得； （2）由（1）及题设的定义知，设，，，应用等面积法有，应用向量数量积的定义求解； （3）由题设，设，，，，，，由已知得，再应用余弦定理及得，最后应用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ，则， ， ，故. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 由费马点定义知， 设，，，由， 整理得，整理得， 则. 【小问3详解】 因为点为的费马点，所以， 设，，，，，， 由，得． 由余弦定理得， ， ， 由，得， ，又，，所以， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，所以，解得或（舍去）， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高一下学期期中质量监测 数学 出题人：高一数学组 审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则复数虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量、的夹角为，，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知△ABC外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知函数，，若，下列说法错误的是（　　） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 关于直线对称 C. 上单调递增 D. 在上单调递减 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积最大值为 10. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若 为锐角，则实数 的取值范围是 B. 已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为 C. 点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则 D. 点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______． 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 14. 设的内角所对的边分别为，已知，点在边上，，且，则的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 16. 中，分别是角A，B，C所对边，， （1）求的大小； （2）若，求的值． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $