第18章培优专题 等腰三角形期末7大题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第18章培优专题 等腰三角形期末7大题型 等腰三角形的定义 1．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】31或35或19 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知等腰三角形的两边之和是18，这两边之差是8，但没有明确腰和底的大小关系，因此应分两种情况，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设腰长为，则底长为， 当腰底，即时，，，三边之长为13，13，5，能构成三角形； 当底腰，即时，，，三边之长为5，5，13，不能构成三角形． 当腰+腰=18，则腰，底边长为，三边之长为9，9，17，能构成三角形； 当腰+腰=18，则腰=9，底边长为9-8=1，三边之长为9，9，1，能构成三角形； 综上所述，它的三边长分别是13，13，5，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，17，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，1，此等腰三角形的周长为； 故答案为：31或35或19． 2．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于 ． 【答案】8 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】由于本题中等腰三角形的腰和底不确定，因此要分类讨论，最后还要根据三角形的三边关系将不合题意的解舍去． 【详解】解：分两种情况： 当底长为4时，腰长是：； 当腰长为4时，此时底长为：， ， 不能构成三角形，此种情况不成立，舍去． 故这个等腰三角形的腰长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，还要注意看最后的结果是否符合三角形的三边关系． 3．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 等腰三角形的性质和判定 5．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 6．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质得到得到，根据等腰三角形的三线合一证明． 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 8．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；等腰三角形的性质 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的意义可得，两直线平行内错角相等可得，再根据等量代换得到，再根据等腰三角形的性质即可得到最终结果． 【详解】解：因为平分， 所以（角平分线的意义）． 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）． 因为是的中点， 所以（等腰三角形的性质）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，等角对等边，等腰三角形的性质． 【点睛】本题综合考查了平行线和角平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 等边三角形的判定和性质 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 10．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 【答案】18 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 根据等边对等角证明 11．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、根据三线合一证明 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 12．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 【答案】B 【知识点】根据等边对等角证明、等腰三角形的定义、全等三角形的概念 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定即可得解． 【详解】解：A、等腰三角形任意两底角相等，故错误，不合题意； B、等腰三角形底边上中线垂直底边，故正确，符合题意； C、任意两个等腰三角形不一定全等，故错误，不合题意； D、等腰三角形三边上的中线不一定相等，若为等边三角形，则满足，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，还涉及了全等三角形的判定，属于基础知识． 13．（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 【答案】D 【知识点】根据等边对等角证明、三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质依次判断． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故正确； B、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确； C、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确； D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 等边对等角 14．（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知四边形中，，，，那么 ． 【答案】120 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角，由等边对等角得出，再由平行线的性质得出，，结合计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知在中，，点D、E在边上，且试说明的理由．    解：因为（已知） 所以（  ） 同理：________=________ 在与中 所以（    ） 所以（    ） 【答案】等边对等角；；；；全等三角形的对应边相等．（答案不唯一） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】根据等边对等角的性质可得，，然后利用“角角边”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：因为（已知） 所以（等边对等角） 同理： 在与中 所以 所以（全等三角形的对应边相等） 故答案为：等边对等角；；；；全等三角形的对应边相等．（答案不唯一）． 16．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为 ． 【答案】3 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等边对等角 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的判定等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 根据平行线的性质可证的和为等腰三角形，从而将的周长转化为的长． 【详解】解：∵、分别是和的角平分线， ， ， ， ， ， ， 的周长， 即的周长是． 故答案为：3． 17．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    三线合一 18．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题重点考查同角的余角相等、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，再证明，得，则． 【详解】解：， 理由：过点B作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 19．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 【答案】90 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及等腰三角形三线合一． 延长相交于点G，通过证明得出，进而得出，最后根据等腰三角形三线合一，即可解答． 【详解】解：延长相交于点G， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 20．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    【答案】 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 等边三角形的性质 21．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 22．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 23．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 24．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． (1)试说明与全等的理由； (2)试说明和相等理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据即可证明． （2）根据全等三角形的性质可得，又由，，即可得． 【详解】（1）∵和都是等边三角形 ，，， ． （2）， ， 又，， ， ∵和都是等边三角形， ， ． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章培优专题 等腰三角形期末7大题型 等腰三角形的定义 1．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为 ． 2．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于 ． 3．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 等腰三角形的性质和判定 5．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 6． （23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 8．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 等边三角形的判定和性质 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 10．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 根据等边对等角证明 11．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 12．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 13．（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 等边对等角 14．（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知四边形中，，，，那么 ． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知在中，，点D、E在边上，且试说明的理由．    解：因为（已知） 所以（  ） 同理：________=________ 在与中 所以（    ） 所以（    ） 16．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为 ． 17．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 三线合一 18．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由 19．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 20．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    等边三角形的性质 21．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 22．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 23．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 24．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． (1)试说明与全等的理由； (2)试说明和相等理由． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$