精品解析：河北省香河县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

香河一中高一第二学期数学5月份月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部的定义可求解. 【详解】因为复数，所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求. 【详解】由正弦定理可得，又，，， 所以，所以， 又，所以， 所以， 故选：A. 3. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可； 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于， 由正方体的性质可得， 故选：B 5. 在中，角的对边分别是，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 6. 在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到. 【详解】 ， ， 因，所以， 又， 所以， 故选：B 7. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，所以，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案. 【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心， 故⊥底面， 取的中点，连接，则，， 故为二面角的平面角，所以， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分.部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模公式计算可判断A；由向量平行的坐标表示可判断B；由向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模公式计算可判断D. 【详解】因为，所以不平行，B错误； 因为，所以，C正确； 因为，所以， 又，所以，A正确，D错误. 故选：AC 10. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则复数____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 已知，，且与的夹角，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长公式，结合向量数量积的公式代入数据直接求解出结果. 【详解】 故答案为：. 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出⊥平面和平面平面，从而有⊥平面，则其轨迹为（除外），再计算周长即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，是边上的一点，,,. （1）求的大小； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长. 试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得 又因为，所以 （2）在中， 由正弦定理可得 所以. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形. 16. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，. （1）求直线与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：. 【答案】（1）； （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 【解析】 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【小问1详解】 平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. 【小问2详解】 略 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出的值，进而得出角； （2）根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后求出三角形的周长. 【小问1详解】 已知，根据余弦定理，将代入可得： 因为是三角形内角，即，且，所以. 【小问2详解】 已知，，且的面积为. 根据三角形面积公式，可得： 即，即. 再根据余弦定理，可得： 即，即， 对进行变形可得，将，代入可得： 因为、为边长，所以，则. 所以的周长为. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 19. 斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面. （1）若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图： 连接，交于点，再连接. 因为，所以，所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，判断线面平行. （2）利用射影三角形的面积求二面角的三角函数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接、. 因为四边形是边长为2的菱形，且，所以为等边三角形. 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中：，所以. 在中：，，所以. 又. 设二面角为. 则. 所以. 即二面角的正弦为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香河一中高一第二学期数学5月份月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别是，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分.部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则复数____________． 13. 已知，，且与的夹角，则________. 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，是边上的一点，,,. （1）求的大小； （2）求的长. 16. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，. （1）求直线与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 19. 斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面. （1）若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $