题型九 反比例函数综合题 2025年 中考数学复习课件（河南专版）

题型九 反比例函数综合题 1 类型1 反比例函数与一次函数结合 1.如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象 向上平移3个单位长度，得到一次函数 的 图象，与反比例函数 的图象交于点 .过点作轴的平行线分别交 与的图象于, 两点. 2025河南中考专题 2 （1）求一次函数和反比例函数 的表 达式； 【答案】 将函数 的图象向上平移3个单位长 度，得到一次函数 的图象， , . 与的图象交于点 , ,解得 .故一次函数的表达式为 . ，解得.故反比例函数的表达式为 . 2025河南中考专题 3 （2）连接,求 的面积. 【答案】由已知可得点,点 的纵坐标都等于2. 当时，，解得， ， 当时，，解得， ， . 2025河南中考专题 4 如图，过点作轴于点,交于点 ， , . 2025河南中考专题 5 2.如图，网格线的交点称为格点，格点和格点的坐标分别是, . 2025河南中考专题 6 （1）求直线 的表达式； 【答案】设直线的表达式为 ， 将点， 分别代入， 得 解得 故直线的表达式为 . 2025河南中考专题 7 （2）①在图中仅用直尺、铅笔画线段 的垂直平分线（不写画法）； 【答案】如图所示. 2025河南中考专题 8 ②线段的中点记为点，反比例函数的图象过点 ，求反比例函数 的表达式及点到直线 的距离. 【答案】易知，代入，可得 ， 故反比例函数的表达式为 . 如图，连接，过点作于点 ， 2025河南中考专题 9 易求，， ， 易得为直角三角形，且 , 所以 ， 所以 ， 故点到直线的距离为 . 2025河南中考专题 3.如图，直线与双曲线 交于 点，，连接， . （1）求， 的值. 【答案】将代入 ， 得 . 将代入，得 . 2025河南中考专题 11 （2）作图：利用无刻度的直尺作一条直线，使 （保留作图痕迹，不 写作法）. 【答案】作图如图所示. 2025河南中考专题 12 【解析】解法提示：延长交双曲线于点，延长交双曲线于点 ,作 直线，则直线即为所求作的直线 . 2025河南中考专题 13 （3）请证明（2）中你所作的直线 . 2025河南中考专题 14 证明：连接， . 双曲线关于原点 成中心对称， ， ， 四边形 是平行四边形， ，即 . 2025河南中考专题 15 4.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于， 两点． （1）求,, 的值； 2025河南中考专题 16 【答案】将代入 ， 得， ． 点在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的表达式为 ． 对于，令,得 , . 2025河南中考专题 17 （2）直接写出当时 的取值范围； 【答案】 ． 2025河南中考专题 18 （3）请仅用无刻度的直尺在轴上找一点，使 的值最小 （不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点 的坐标． 【答案】点如图所示. . 2025河南中考专题 19 【解析】解法提示：如图，作点关于轴的对称点 ，连 接交轴于点，此时 的值最小． 点，点，关于 轴对称， ． 设直线的表达式为 ， 则解得 直线的表达式为 ． 对于，当时， ， ． 2025河南中考专题 20 5.如图（1）,在平面直角坐标系 中,一次函数 的图象与反比例函数 的图 象交于点,,与轴交于点,点 的横坐标为2. （1）求 的值; 【答案】 点在的图象上,当时, , 将点代入,得 . （2）利用图象直接写出时 的取值范围; 【答案】或 . 2025河南中考专题 21 （3）如图（2）,将直线沿轴向下平移4个单位,与函数 的 图象交于点,与轴交于点,再将函数的图象沿 平移,使点 ，分别平移到点， 处,求图中阴影部分的面积. 2025河南中考专题 22 【答案】由题意可知, . 如图,过点作,垂足为点 .可求得 . 又,， . 连接, ,由平移性质可知,阴影部分面积就是 的面积,即 . 2025河南中考专题 23 类型2 反比例函数与几何图形结合（含与阴影部分面积结合） 6.如图，等腰直角三角形的顶点在 轴上，顶点 在轴上，顶点在反比例函数 的图象 上，且轴，已知 , , ． （1）求该反比例函数的表达式. 【答案】过点作轴于点，则四边形 是矩形， ， ， 故反比例函数的表达式为 . 2025河南中考专题 24 （2）在反比例函数的图象上是否存在点，使四边形 是正方形？若存在，请加以说明，并求出点 的坐标；若不存在，请说明 理由. 2025河南中考专题 25 【答案】存在. 如图，连接交于点 ， 则，, 轴. 设 . ， 2025河南中考专题 26 ， （负值已舍去）， ，， . 对于,当时， ， 故点在反比例函数 的图象上， 故在反比例函数的图象上存在点，使四边形 是正方形， 点的坐标为 . 2025河南中考专题 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为5， ，顶点在轴的正半轴上， 轴，反 比例函数的图象经过点，,延长交 轴于点，连接， . （1）点到 的距离为___. 4 【解析】解法提示：过点作于点 ， 则， ， 故点到 的距离为4. 2025河南中考专题 28 （2）求反比例函数的表达式. 【答案】过点作于点，则 .由勾 股定理，得 . 设，则， . 反比例函数的图象经过点， ， ，解得， ， 故反比例函数的表达式为 . 2025河南中考专题 29 （3）为反比例函数的图象上一动点，连接， ，当 时，直接写出点的横坐标 的取值范围. 【答案】 . 2025河南中考专题 30 【解析】解法提示：如图，连接， . ， . 轴， ， 面积的其他解法：设, 交于 点，先求的长，再利用求解 . 当点与点重合时， . 当点在点左上方时， . 当点在点右下方时， . 故当时， . . . 2025河南中考专题 31 8.如图，在平面直角坐标系中， 的对称中心是原 点，点，的坐标分别为，，动点 在边 上，过点的反比例函数的图象交边于点 ， 连接 ． （1）求点 的坐标； 【答案】的对称中心是原点，点的坐标为 ， . 2025河南中考专题 32 （2）当点是边 的中点时，求对应的反比例函数的 表达式； 【答案】，，点是边 的中点， . 点在反比例函数 的图象上， ， 故反比例函数的表达式为 . 2025河南中考专题 33 （3）直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】 . 2025河南中考专题 34 9.如图，等边三角形的边长为，顶点 在反比例函数的图象上，顶点 在反比 例函数的图象上，经过原点.以点 为圆心，长为半径作弧，分别交，于点 ， . （1）连接，请直接写出 的形状； 【答案】 是等边三角形. 2025河南中考专题 35 （2）求， 的值； 2025河南中考专题 36 【答案】 点在反比例函数 的图象上， . 方法一：如图，过点作轴于点，则 ， ， ， . 过点作轴于点，则 ， ， 点的坐标为 ， . 2025河南中考专题 37 方法二：如图，过点作轴于点，过点 作 轴于点，则， ， ， . 易证 ， ， ， . 又, . 2025河南中考专题 38 （3）求阴影部分的面积. 2025河南中考专题 39 【答案】连接，则 ， ， . 2025河南中考专题 40 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形 的 顶点在反比例函数 的图象上，顶点 在轴负半轴上，且．菱形的顶点 在反比例函数的图象上，顶点在 轴正半轴上，且 ，以点为圆心，长为半径作 . 2025河南中考专题 41 （1）求 的值； 【答案】连接交于点 ， 四边形 是正方形， ， ， . 根据反比例函数中的几何意义，可知 . 又反比例函数的图象在第二、四象限， . 2025河南中考专题 42 （2）求的度数及 的值； 【答案】 四边形是菱形， ， ， , 是等边三角形. 连接交于点，则 ， ， ， . 2025河南中考专题 43 （3）直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 . 2025河南中考专题 44 类型3 其他问题 11.请阅读以下材料，并完成相应任务. 问题背景：如图（1），矩形的边， 分别与反比例函数 的图象交于点， . 图（1） 2025河南中考专题 45 续表 小红的探究：如图（2），过点作轴于点，过点作 轴于 点.根据反比例函数中的几何意义，可得 ，又 ，，， . 图（2） 2025河南中考专题 46 小明说：“如图（3），连接， ，在小红的结论的基础上继续探究， 可以得到 .” ____________________________________________________________________________________________ 图（3） 续表 2025河南中考专题 47 任务： （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由. 【答案】正确. 证明：由，可得 . 又， ， ， . 2025河南中考专题 （2）如图（4），直线分别与轴、轴交于点， ，与反比例函数 的图象交于点，.求证： . 图（4） 2025河南中考专题 49 图（1） 证明：如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点 ， 过点作轴的平行线，交轴于点，连接 ， 则 . 又， ， 四边形和四边形 都是平行四边形， ， . 2025河南中考专题 50 （3）如图（5），矩形的边，分别与反比例函数 的图象交于点，.连接，，.若点为的中点，则 ____（用含 的代数式表示）. 图（5） 2025河南中考专题 51 图（2） 【解析】解法提示：如图（2），连接， ，则 . 又， ， ， ， ， . 2025河南中考专题 52 $$