专题11 二次函数图象与性质综合题（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 专题十一　二次函数图象与性质综合题 第二部分　核心专题　重点突破 类型1　二次函数的对称性、增减性与最值 1．设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： (1)求该二次函数图象的对称轴． x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … 解：由表格，可知x＝0和x＝2时，y值相等， ∴这两点关于对称轴对称． (2)若m＝4，求p的值，并求此时二次函数的解析式． 解：由(1)，可知(－1，m)和(3，p)关于对称轴对称，∴p＝m＝4. 把(－1，4)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1， ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x＋1. (3)在(2)的条件下，当－1≤x≤4时，求 y的取值范围． 解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，∴当x＝1时，y有最小值0. ∵二次函数图象开口向上，1－(－1)＜4－1， ∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为9. ∴当－1≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤9. (4)当x＞－1时，y的最大值为3，求二次函数的解析式． 解：∵当x＞－1时，y的最大值为3， ∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为(1，3)．　 把(1，3)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1， ∴二次函数的解析式为y＝－2x2＋4x＋1. (5)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 解：把(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得1＝4a＋2b＋1，∴b＝－2a. ∴y＝ax2＋bx＋1＝ax2－2ax＋1. 由对称性，可知m＝p. 又∵m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，∴n＞0，m＝p≤0. 把(－1，m)代入y＝ax2－2ax＋1， 得m＝a＋2a＋1＝3a＋1. 把(1，n)代入y＝ax2－2ax＋1， 得n＝a－2a＋1＝－a＋1. (6)已知二次函数的图象开口向上，点(x1，y1)，(x1＋1，y2)均在此二次函数图象上，且 y2＜y1，求x1的取值范围． 解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小． ∵点(x1，y1)，(x1＋1，y2)均在此二次函数图象上，且y2＜y1， ∴x1＋1≤1或x1＋1－1＜1－x1. 2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－4，0)，B两点，交y轴于点C(0，4)． (1)求抛物线的函数表达式． 解：将A(－4，0)，C(0，4)代入y＝－x2＋bx＋c， ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－3x＋4. (2)点P在抛物线上，设横坐标为m. ①当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； 解：－4＜m＜1； ②若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为－4－m，求m的值． 3．(2024·威海)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2. (1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小(填写“＜”“＝”或“＞”)： ①x1＋x2________x3＋x4； ②x1－x3________x2－x4； ③x2＋x3________x1＋x4. ＝ ＜ ＞ (2)若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围． 解：∵x1＝1，2＜x2＜3， ∴3＜x2＋x1＜4. ∴3＜－b＜4.∴－4＜b＜－3. (3)当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c(b＜0)最大值与最小值的差为 ，求b的值． 当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝1＋b＋c. ①当在x＝0处取得最大值，x＝1处取得最小值时， ②当在x＝0处取得最大值，在顶点处取得最小值时， ③当在x＝1处取得最大值，在顶点处取得最小值时， 1＋b＋c＞c，解得－1＜b＜0. 类型2　二次函数的交点问题 4．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，对称轴为直线 x＝1. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． ∴b＝－2.∴y＝x2－2x＋c. 将(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得0＝1＋2＋c，解得c＝－3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)． (2)将该抛物线向左平移n(n＞0)个单位长度后，得到的新抛物线与线段AC只有一个交点，求n的取值范围． 解：∵抛物线经过点A(－1，0)，C(0，－3)，抛物线对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过点(3，0)，(2，－3)． ∵3－(－1)＝4，∴抛物线向左平移4个单位长度后经过点A． ∵2－0＝2，∴抛物线向左平移2个单位长度后经过点C． ∴n的取值范围为2≤n≤4. (3)已知点D ，E(4，－5)，连接DE.若抛物线y＝x2＋bx＋c向下平移k(k＞0)个单位长度，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围． 解：∵抛物线向下平移 k个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4－k. ∴新抛物线的顶点坐标为(1，－4－k)． ①当新抛物线的顶点落在线段DE上时，－4－k＝－5，解得k＝1. (4)①当直线y＝x＋m经过点C时，直接写出不等式x＋m＜x2＋bx＋c的解集； 解：x＜0或x＞3. ②将点A左侧的抛物线沿x轴翻折，翻折后和点A右侧的抛物线组成新图象G，请判断直线y＝x＋m与图象G的交点情况． 解：如解图所示，当直线y＝x＋m经过点A(－1，0)时，m＝1. 当直线y＝x＋m与点A右侧的抛物线只有一个交点时，令x＋m＝x2－2x－3，即x2－3x－3－m＝0. 5．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(－3，0)． (1)求b，c的值． (2)点C(xC，yC)为抛物线上一个动点，直线y＝kx＋m经过B，C两点． ①若点C到y轴的距离小于3，请根据图象求出C点纵坐标yC的取值范围； 解：∵点C到y轴的距离小于3， ∴ ＜3.∴－3＜xC＜3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，4)． ∴当xC＝－1时，yC取最大值4. 结合图象，可知当xC＝3时，yC取得最小值，yC最小＝－(3＋1)2＋4＝－12. ∴yC的取值范围是－12＜yC≤4. ②横、纵坐标都是整数的点叫作整点，若直线y＝kx＋m、线段AB、线段AC围成的区域(不含边界)内恰有4个整点，请直接写出k的取值范围． 【提示】如解图． 类型3　二次函数与几何综合 6. (2024·滑县三模)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点是P，与x轴相交于点O(0，0)和点F(4，0)． (1)求顶点P的坐标． 解：解法一：由题意，将点O(0，0)和F(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4. ∴顶点P的坐标为(2，4)． ∵抛物线经过(0，0)，∴c＝0. ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x. ∴顶点P的坐标为(2，4)． (2)如图1，直线y＝x与抛物线相交于点O和点E，直线x＝t(0＜t＜3)与抛物线相交于点A，与直线y＝x相交于点B，求线段AB长度的最大值． 解：联立y＝x和y＝－x2＋4x， 解得x＝3或x＝0. ∴点E的坐标为(3，3)． 设点A的坐标为(t，－t2＋4t)，B(t，t)， (3)如图2，直线y＝x与抛物线相交于点O和点E，点C与点E关于抛物线的对称轴对称，Q是抛物线上的动点，当1≤S△QCE≤3时，直接写出点Q的纵坐标yQ的取值范围． 解：0≤yQ≤2或yQ＝4. 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)，(3，0)两点，点A，C在这条抛物线上，它们的横坐标分别为m和m＋3. (1)求这条抛物线的函数表达式． (2)当－2≤x≤t时，y的取值范围是－2t＋5≤y≤15，求t的值． 解：由(1)，知y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，y的最小值为－1. 当x＝－2时，y＝15. 当t≤2时，－2≤x≤t 在对称轴的左侧(含对称轴)， y随x的增大而减小． 当x＝t 时，y＝t2－4t＋3＝－2t＋5， 当2＜t≤6时，－2t＋5＝－1， 解得t＝3； 当t＞6时，不符合题意． (3)以线段AC为对角线作矩形ABCD，直线AB⊥y轴．当矩形ABCD与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为F，若△ACF与矩形ABCD的面积之比为1∶4，请直接写出m的值． 【提示】易得点A(m，m2－4m＋3)，C(m＋3，m2＋2m)，当矩形ABCD与抛物线有且只有三个公共点时，存在两种情况：①当点F在CD上时，如解图1所示．则点D(m，m2＋2m)，点F(1－m，m2＋2m)．∵△ACF与矩形ABCD的面积之比为1∶4，∴F是CD的中点，则 图1 ∴t＝1－ 或 t＝3. $$