专题8 圆的综合题（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 专题八　圆的综合题 第二部分　核心专题　重点突破 类型1　圆与解直角三角形综合(新考法：2024河南第20题) 1．【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距2 海里，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内， 上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”∠ACB有怎样的大小关系？ 【解决问题】 (1)如图2，AP与 交于点D，请你用已学知识判断∠α与“危险角”∠ACB的大小关系． 解：如图2，连接BD． 由同弧所对的圆周角相等，可知∠ACB＝∠ADB． ∵∠ADB是△BDP的外角，∴∠APB＜∠ADB． ∴∠APB＜∠ACB，即∠α＜∠ACB． 解：如图3，过点B作BH⊥AE，连接BE. 2．如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝37°.请你利 解：如解图，连接OF，OG，过点G作GH⊥AB于点H，则四边形BOGH是矩形． ∵FE是⊙O的切线，∴∠OFE＝90°. ∵∠DEF＝37°，DE＝2， ∴BH＝OG＝OD＝3，HG＝BO＝BC＋CO＝8. ∵太阳光线是平行光线，∴AG∥EF. 又∵GH∥OE，∴∠DEF＝∠AGH. ∴tan∠AGH＝tan∠DEF≈ . ∴AH＝HG·tan∠AGH≈6. 即AB＝AH＋BH≈6＋3≈9(米)． 答：电线杆AB的高度约为9米． 类型2　圆与尺规作图 3．(2024·平顶山三模)已知在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作圆，交BC于点P. (1)请使用无刻度的直尺和圆规作线段PB的垂直平分线MN.(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图) 解：如解图所示，直线MN即为所求． (2)线段AB与(1)中所作的垂直平分线MN相交于点Q，连接PQ，求证：PQ是⊙A的切线． 证明：连接AP，如解图所示．∵MN垂直平分PB，∴QP＝QB． ∴∠QPB＝∠B． ∵∠BAC＝90°，∴∠C＋∠B＝90°. ∵AC＝AP，∴∠C＝∠APC． ∴∠APC＋∠QPB＝90°. ∴∠APQ＝90°.∴AP⊥PQ. ∵AP为⊙A的半径， ∴PQ是⊙A的切线． (3)连接AP，若AP＝4，PQ＝3，直接写出BC的长． 类型3　真实情境中的圆 4．(2024·通辽改编)【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 (1)如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM＝AN，DM＝DN.求证：∠AMD＝∠AND． ∴△ADM≌△ADN(SSS)． ∴∠AMD＝∠AND． 【模型应用】 (2)小明受此启发设计了一个“简易平分角仪器”，放置在图2中，顶点A落在⊙O上，AB边与⊙O的直径共线，交⊙O于点N，边AD交⊙O于点G，角平分线AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，与AD，BC分别交于点F，H. ①求证：EF⊥AD； 证明：如图2，连接OE. ∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA． ∵AC平分∠BAD，∴∠OAE＝∠DAE. ∴∠DAE＝∠OEA．∴OE∥AD． ∵EF与⊙O相切，∴EF⊥OE.∴EF⊥AD． 图2 ②若⊙O的半径为3， AE＝4，求EF的长． 解：如图2，连接NE. ∵⊙O的半径为3，AN为直径， ∴AN＝6，∠AEN＝90°. ∵∠NAE ＝∠EAF，∠AEN＝∠AFE＝90°， ∴△NAE∽△EAF. 图2 5．(2021·河南T20)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题： (1)求证：∠PAO＝2∠PBO. 证明：连接OP，标记点C，如图2所示，则OP＝OB＝OC． ∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°. ∴∠PAO＋∠AOP＝90°. ∵OM⊥ON，∴∠AOP＋∠POC＝90°. ∴∠PAO＝∠POC． ∵∠POC＝2∠PBC，∴∠PAO＝2∠PBO. 图2 (2)若⊙O的半径为5，AP＝ ，求BP的长． 解：连接OP，标记点C，过点P作PD⊥OC于点D， 如图2所示． 易得∠OPA＝90°，OP＝OB＝5. 图2 由(1)，可知∠POC＝∠PAO， ∴△POD∽△OAP. 类型4　圆与阅读理解 6．阅读下面材料，并完成相应的任务． 斯霍膝，荷兰数学家，以他的名字命名的定理是平面几何学中最著名的定理之一，在解题中有着广泛的应用． 定理内容：如图1，在△ABC中，AP为∠BAC的平分线，则AP2＝AB·AC－BP·CP. 证明过程如下(部分)： 如图2，延长AP与△ABC的外接圆相交于点E，连接BE. ∵AP为∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠PAC． 又∵∠AEB＝∠ACP，(依据1) ∴△ABE∽△APC．(依据2) ∴AB·AC＝AP·AE＝AP·(AP＋PE)＝AP2＋AP·PE. …… 任务： (1)填写上述证明过程中的“依据1”和“依据2”． 依据1：______________________； 依据2：______________________________. 同弧所对的圆周角相等 两角分别相等的两个三角形相似 (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分. 解：∴AP2＝AB·AC－AP·PE. ∵∠BEP＝∠ACP，∠BPE＝∠APC， ∴AP·PE＝BP·CP. ∴AP2＝AB·AC－BP·CP. ∴＝，即＝，解得AF＝. $$