【第一章 有理数 02讲 有理数及其大小比较】专项训练暑假小升初衔接2024-2025学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 02讲 有理数及其大小比较 目录 【知识点1. 有理数的相关概念及分类】…………………………………………… 2 【知识点2. 数轴】…………………………………………………………………… 5 【知识点3. 相反数及其多重符号的化简】………………………………………… 8 【知识点4. 绝对值及比较大小】…………………………………………………… 10 【知识点5. 有理数的大小比较方法】……………………………………………… 12 【题型1. 有理数的相关概念】……………………………………………………… 14 【题型2. 有理数的分类】…………………………………………………………… 15 【题型3. 有理数中的新定义集合】………………………………………………… 16 【题型4. 数轴的三要素及其画法】………………………………………………… 18 【题型5. 数轴上的动点与有理数】………………………………………………… 18 【题型6. 数轴上两点之间的距离】………………………………………………… 20 【题型7. 数轴上的动点问题】……………………………………………………… 21 【题型8. 相反数的概念】…………………………………………………………… 23 【题型9. 求一个数的相反数】……………………………………………………… 23 【题型10. 相反数的性质】…………………………………………………………… 23 【题型11. 相反数的几何意义】……………………………………………………… 24 【题型12. 相反数中多重符号化简】………………………………………………… 24 【题型13. 绝对值的概念】…………………………………………………………… 25 【题型14. 求绝对值】………………………………………………………………… 25 【题型15. 绝对值的非负性】………………………………………………………… 26 【题型16. 绝对值的化简求值】……………………………………………………… 26 【题型17. 绝对值的实际应用】……………………………………………………… 27 【题型18. 绝对值中求最值问题】…………………………………………………… 29 【题型19. 利用数轴比较有理数的大小】…………………………………………… 31 【题型20. 利用法则比较有理数的大小】…………………………………………… 31 【题型21. 利用特殊值法比较有理数的大小】……………………………………… 32 【题型22. 有理数大小比较的实际应用】………………………………………… 32 【题型23. 有理数的新定义问题】………………………………………………… 33 【课后作业】………………………………………………………………………… 33 知识清单 1、有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 整数和分数统称为有理数。 4）无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001…… 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 2、有理数的分类 1）按有理数的定义分： 2）按有理数的性质（符号）分： 3、 非正数 非负数 非正整数 非负整数 常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 巩固基础 1．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在,2024,,四个数中有理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 6．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 7．在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 8．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 10．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______ ｝…； 正整数集合：｛______ ｝…； 分数集合：｛______ ｝… 12．把下列各数填入它所属的集合内：，，，，，，，，． （1）自然数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）有理数集合：{ …}． 13．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{     …}； 正数集：{     …}； 负分数集：{     …}； 负数集：{     …}； 非负整数集：{     …}； 分数集：{     …}． 14．把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，，，，，，，，． (1)正有理数集合{　　　　 …}； (2)负有理数集合{　　　　 …}； (3)分数集合{　　　　 …}； (4)非负整数集合{　　　　 …}． 15．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{                                    …}； 整数集合：{                                     …}； 分数集合：{                                     …}； 负有理数集合：{                                    …}； 非正数集合：{                                   …}． 16. 如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 知识清单 4、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 4）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 巩固基础 1．下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 2．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 5．如图，在数轴上点表示的数最有可能是（   ） A．2.2 B． C． D． 6．琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 7．如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 9．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和的两点之间的距离． ，，，， 10．画一条数轴，并把，，，表示在数轴上，并用“”连接起来． 11．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 知识清单 5、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 6、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．9的相反数是（   ） A． B． C． D．9 2．在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如图，数轴上点表示的数的相反数是（  ） A． B． C．1 D．2 5．数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示的相反数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．2.5和 7．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 8．下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 9．下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 10．下列化简错误的是（   ） A． B． C． D． 11．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 12．下列有理数中，绝对值最小的是（   ） A．9 B． C．7 D． 知识清单 7、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 8、绝对值比较大小 1）正数＞0负数 2）正数之间比较大小：绝对值大的大 3）负数之间比较大小：绝对值大的反而小 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 巩固基础 1．的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 2．计算： ． 3．的结果是 ． 4．的绝对值是 ． 5．的相反数是 6．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 7．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 8．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 9．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若，则是（    ） A．正数 B．非负数 C．非正数 D．负数 11．如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 14．比较大小： ． 15．比较大小： （填“”，“”或“”）． 17．比较大小： ． 知识清单 9、有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 其他数与0 正数与0：正数＞0 负数与0：负数＜0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： 1）分别计算两数的绝对值；2）比较绝对值的大小；3）判定两数的大小． 巩固基础 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 2．下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．3 3．下列各数中，比小的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 4．当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 5．如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．数轴上表示数的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，下列正确的是（　　　） A． B． C． D． 7．比较大小：（1） ，（2） ； （3） （填“”、“”或“”）． 8．比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 9．比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）： ； 10．比较大小： ．（填“”“”或“”） 11．比较大小： ． 12．比较大小： （填“”或“”或“”）． 13．比较大小： （填“<”“>”或“=”）． 14．比较大小： （填“”“”或“”）． 15．比较大小： ． 16．用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 17．比较大小： （填“”或“”） 18．比较大小： ．（填“”“”或“”） 19．比较大小： ， ．（填“”、“”或“”） 直击考点 题型1：有理数的相关概念 例1．下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 例2．下面关于有理数的说法正确的是（    ） A．正整数和负整数合在一起称为整数 B．正数和负数统称为有理数 C．正数、负数和零统称为有理数 D．整数和分数统称为有理数 变式1．在数0，，，，0.01010101，2.3%中，有理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式2．对于，下列说法不正确的是（    ） A．是负数，不是整数 B．是分数，不是自然数 C．是有理数，不是分数 D．是负有理数，且是负分数 变式3．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 题型2：有理数的分类 例1．有如下一些数：3，，0，，，，其中负分数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数； ②一个有理数不是正数就是负数 ； ③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正整数就是负整数； ⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 变式2．把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________…}； 负数集合{______________________________________________…}； 整数集合{______________________________________________…}； 分数集合{______________________________________________…}； 非负有理数集合{________________________________________…}． 变式3．请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10， ，21，6.2，4.7，﹣8 这四个集合合并在一起填 (“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是 ． 题型3：有理数中的新定义集合 例1．我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 例2. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 变式1. 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 变式2. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 题型4：数轴的三要素及其画法 例1．下列各图中是数轴的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图图中数轴画法不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 题型5：数轴上的点与有理数 例1．如图所示，点M表示的数是（　　） A． B． C． D． 例2．如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 变式1. 如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A． B． C．0 D．1 变式2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴上个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A． B． C． D． 变式3．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2019将与正方形上的字母 重合． 变式4．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 题型6：数轴上两点之间的距离 例1．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为a，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 例2. 点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 变式1．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 变式2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 题型7：数轴上的动点问题 例1．在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 例2．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答：(1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 变式1．在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 变式2．如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 变式3．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 变式4．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 题型8：相反数的概念 例1．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 变式1．下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 变式2．若与互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．4 题型9：求一个数的相反数 例1．若a的相反数是，则 ． 例2．的相反数是 ，是 的相反数. 变式1．的相反数为 ． 变式2．式子所表示的意义是 ． 变式3．（1）的相反数 ； （2）若的相反数是，则 ． 题型10：相反数的性质 例1．若与互为相反数，则下列式子不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 例2．若与1互为相反数，则的值为 ． 变式1．若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 变式2．如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 变式3．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 题型11：相反数的几何意义 例1．小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 变式1．若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数是 . 变式2．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型12：相反数中多重符号化简 例1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 例2．填空： （1） ． （2） ； ． 变式1．化简： ， ， ． 变式2．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型13：绝对值的概念 例1．在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 例2．下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数； ②0是最小的有理数； ③存在绝对值最小的数； ④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数； ⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 变式2．下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 题型14：求绝对值 例1．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 例2．2024相反数的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 例3．若，则 ． 变式1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 变式2．的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 题型15：绝对值的非负性 例1．如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 例2．当 时，有最小值是 ． 变式1．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 变式3．若，则 ； ． 题型16：绝对值的化简求值 例1．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|= ． 例2．若，互为相反数，则 ； ． 变式1．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 . 变式2．如果有理数、、满足，那么 变式3．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 题型17：绝对值的实际应用 例1．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 例2．有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 变式1．如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（    ）    A．点或点 B．点或点 C．点 D．点 变式2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 变式3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 题型18：绝对值中求最值问题 例1．（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ． （2）若，则 ， ． （3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ． 例2．阅读下列材料，并回答问题．我们知道|的几何意义是指数轴上表示数 a 的点与原点的 距离，那么|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如 考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示 和 5 的点，（如图所示），两点间的 距离是，而 ，因此不难看出就是数轴上表示 和 5 两点间的距离，的几何意义是数轴上 a，b 两数对应点之间的距离． (1)当时，求出 x 的值； (2)设 ，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设 ，当Q的值最小时，求整数 x 所有可能的值的和． 变式1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 变式2．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是__________；当时，的值为__________． (2)的最小值为__________；当的值最小时，的值为__________． 题型19：利用数轴比较有理数的大小 例1．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 例2．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 变式1．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空． ①p q；    ②－p 0；  ③－p －q； ④－p q； 变式2．已知五个数分别为：． 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 题型20：利用法则比较有理数的大小 36．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 37．比小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 66．比较大小： （填“”“”或“”）． 67．比较大小： （1） 0； （2） （3） ； （4） ． 题型21：利用特殊值法比较有理数的大小 例1．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）． 变式2．a、b、c都是自然数，且，则a、b、c中最小的是（     ） A．a B．b C．c D．不确定 题型22：有理数大小比较的实际应用 例1．在某天24时，以下四个城市中气温最低的城市是（    ） 北京 济南 郑州 银川 A．北京 B．济南 C．郑州 D．银川 变式1．某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（    ）    A． B． C． D． 变式2．下表是某一天我国部分城市的最低气温： 北京 上海 广州 哈尔滨 杭州 -4℃ -1℃ 6℃ -10℃ 0℃ （1）请把表中各数在数轴上标出. （2）按气温从低到高排列城市名称． 题型23：有理数大小比较的新定义问题 例1．表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ） A． B． C． D． 变式1．用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____． 变式2．若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 8．（24-25七年级上·河南·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 10．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛），在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2022·湖南永州·二模）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 13．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 14．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 15．（24-25七年级上·广东汕头·期中）化简： ． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 17．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 19．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用“>”、“<”、“=”号填空：（1） ；（2） ；（3） ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆上表示数字 的点重合． 三、解答题 21．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 22．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 23．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 24．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 25．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 26．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并按从小到大的顺序排列，用“”号连接起来：，，，，． 27．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 28．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 29．（24-25七年级上·河南南阳·期中）“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 02讲 有理数及其大小比较 知识清单 1、有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 整数和分数统称为有理数。 4）无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001…… 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 2、有理数的分类 1）按有理数的定义分： 2）按有理数的性质（符号）分： 3、 非正数 非负数 非正整数 非负整数 常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 巩固基础 1．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 2．在,2024,,四个数中有理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题看考查了有理数的定义，根据整数和分式统称为有理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，,2024,这三个数都是有理数， 故选：C 3．在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了有理数的定义．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数2，0，，，4.8中，有理数有2，0，，4.8，共4个． 故选：D． 4．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：是有理数，有6个． 故选B． 5．下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；． 故选：D． 6．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 7．在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的分类，负分数的定义，负分数是小于0的分数，是有理数． 根据小于零的分数是负分数，可得答案． 【详解】解：有理数，不是负数， ，是负整数， 是负分数， 故选：D． 8．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 9．下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、3.14是分数，故本选项不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故本选项不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意； D、有理数分为正有理数、0和负有理数，说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 10．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 11．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______ ｝…； 正整数集合：｛______ ｝…； 分数集合：｛______ ｝… 【分析】本题考查了有理数定义及其分类， 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ；. 12．把下列各数填入它所属的集合内：，，，，，，，，． （1）自然数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）有理数集合：{ …}． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． （1）根据0和正整数称作自然数，选择填写即可； （2）根据分数的定义，选择填写即可； （3）整数、分数统称有理数，选择填写即可． 【详解】解：，， （1）根据题意，自然数集合：{， }； （2）根据题意，分数集合：{，，，，}； （3）根据题意，有理数集合：{，0，，，，，，}； 故答案为：（1），；（2），，，，；（3），0，，，，，，． 13．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{     …}； 正数集：{     …}； 负分数集：{     …}； 负数集：{     …}； 非负整数集：{     …}； 分数集：{     …}． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 14．把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，，，，，，，，． (1)正有理数集合{　　　　 …}； (2)负有理数集合{　　　　 …}； (3)分数集合{　　　　 …}； (4)非负整数集合{　　　　 …}． 【分析】 本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键． 直接利用正有理数的定义分析得出答案； 直接利用负有理数的定义分析得出答案； 直接利用非分数的定义分析得出答案；  直接利用非负整数的定义分析得出答案． 【详解】（1） 解：正有理数集合{，，，，}；   故答案为：，，，； （2） 解：负有理数集合{，，，，}；   故答案为：，，，； （3） 解：分数集合{，，，}；   故答案为：，，； （4）解：非负整数集合：{，，，，}； 故答案为：，，，． 15．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{                                    …}； 整数集合：{                                     …}； 分数集合：{                                     …}； 负有理数集合：{                                    …}； 非正数集合：{                                   …}． 【分析】本题考查了有理数的分类，理解有理数的分类及相关定义是解答关键． 根据正整数、整数、分数、负有理数、非正数的概念来进行分类求解． 【详解】解：，， 正整数集合：；                        整数集合：；                  分数集合：； 负有理数集合：；                    非正数集合：． 故答案为：；；；． 16. 如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 【分析】此题考查了有理数的分类． （1）根据负数和分数的定义填表即可； （2）根据负分数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意如图： （2）解：这两个圈的重叠部分表示既是负数又是分数，也就是负分数集合． 知识清单 4、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 4）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 巩固基础 1．下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；故选：C． 2．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 3．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 4．一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是，故选：B． 5．如图，在数轴上点表示的数最有可能是（   ） A．2.2 B． C． D． 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数．根据点P在数轴上的位置，先确定P的大致范围，再确定符合条件的数． 【详解】解：根据数轴可知，，且靠近的位置， 故只有符合题意， 故选：C 6．琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【分析】本题考查了数轴的知识，解题的关键是根据数轴确定被墨迹盖住部分数的取值范围，再据此判断选项中的数是否在该范围内． 先确定数轴上被墨迹盖住部分数的取值范围，然后逐一分析选项中的数是否在这个范围内． 从数轴上可以看出，被墨迹完全盖住部分的数的取值范围是大于且小于0． 【详解】A、，不在到0这个范围内，所以A选项错误； B、，在到0这个范围内，所以B选项正确； C、，不在到0这个范围内，所以C选项错误； D、，不在到0这个范围内，所以D选项错误． 故选：B． 7．如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查数轴上点所表示的数，解题的关键是根据数轴上点的位置关系和单位长度来确定点所表示的数值． 确定点到点的单位长度个数，根据点表示的数以及单位长度个数计算点表示的数． 【详解】从数轴上观察可知，点到点间隔了4个单位长度，已知点表示的数是，因为是向右移动（数轴向右为正方向），所以点表示的数比点表示的数大．根据数轴上数的变化规律＂右加左减＂，可得点表示的数为． 故选：B． 8．在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的知识点，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法． 利用数轴上两点间距离公式计算表示\[-1\]的点与表示8的点之间的距离，再与选项对比． 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离， 故选：B． 9．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和的两点之间的距离． ，，，， 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴的意义是解答本题的关键． 先利用数轴的意义表示各数，再求3和两点间的距离即可． 【详解】解：如图所示， 3和的两点之间的距离为． 10．画一条数轴，并把，，，表示在数轴上，并用“”连接起来． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 在数轴上表示出各数，再从左到右用“”把它们连接起来即可． 【详解】解：在数轴上表示如图， 根据数轴上右边的数总比左边的大， ∴． 11．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上点的特点． （1）根据、B、所对应的数，为原点，确定和B的位置即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点C为原点， ∴点C在点D左侧1个单位处， ∵点B表示的数为， ∴点B在点C的坐标2个单位处， 点B、C的位置，如图所示． （2）解：∵一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E， ∴点E表示的数为． 知识清单 5、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 6、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．9的相反数是（   ） A． B． C． D．9 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：9的相反数是， 故选：A． 2．在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数，相反数是它本身的数只有． 【详解】解：A选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故A选项不符合题意； B选项：根据相反数的定义可知，的相反数还是，故B选项符合题意； C选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故C选项不符合题意； D选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．和只有符号不同，是互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和，不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，数轴上点表示的数的相反数是（  ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数、相反数等知识点，掌握相反数的概念是解题的关键．先确定点P表示的数，然后确定其相反数即可解答． 【详解】解：由题意可得：点P表示的数为，则点P表示的数的相反数是2． 故选：D． 5．数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示的相反数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】本题考查了数轴上相反数的概念，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数是指在数轴上与原数距离相等，但方向相反的数，即可解答 【详解】解：∵的相反数是1， ∴表示的相反数的点是点C． 故选：C． 6．下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．2.5和 【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可． 【详解】解：A、，则与不是互为相反数，故不合题意； B、，，不是互为相反数，故不符合题意； C、和不是互为相反数，故不合题意； D、和互为相反数，故符合题意； 故选：D． 7．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【分析】本题考查了相反数的定义、求一个数的绝对值、化简多重符号，先将各数化简，再根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A.和2不是相反数，故此选项不符合题意； B.和不是相反数，故此选项不符合题意； C.和 不是相反数，故此选项不符合题意； D.和 互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 8．下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【分析】本题主要考查了相反数的判断，准确理解相反数的性质是解题的关键． 根据相反数的性质判断即可； 【详解】解：①与两数相等； ②与是互为相反数； ③与是互为相反数； ④与两数相等； ⑤与是互为相反数． 其中②③和⑤符合题意，故3组； 故选：B． 9．下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键．根据化简多重符合的方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意；故选：B． 10．下列化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是多重符号的化简，掌握“利用相反数的含义化简多重符号”是解本题的关键．多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正．一个数前面有奇数个“”号，结果为负． 【详解】解：．，化简正确，故该选项不符合题意； ．，化简正确，故该选项不符合题意； ．，原化简错误，故该选项符合题意； ．，化简正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 11．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 12．下列有理数中，绝对值最小的是（   ） A．9 B． C．7 D． 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键； 根据绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 ，分别计算各选项的绝对值，然后比较大小即可解答． 【详解】，，， ， ， 所以绝对值最小的是， 故选：C． 知识清单 7、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 8、绝对值比较大小 1）正数＞0负数 2）正数之间比较大小：绝对值大的大 3）负数之间比较大小：绝对值大的反而小 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 巩固基础 1．的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 2．计算： ． 【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则． 先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果． 【详解】， ， 故答案为：3． 3．的结果是 ． 【分析】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．利用绝对值的意义计算，即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：5． 4．的绝对值是 ． 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】的绝对值是． 故答案为：． 5．的相反数是 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据绝对值和相反数的概念求解即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 6．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 7．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 8．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 9．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的意义，得到即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 10．若，则是（    ） A．正数 B．非负数 C．非正数 D．负数 【分析】本题考查的是绝对值的含义，由可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是非负数， 故选：B 11．如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 14．比较大小： ． 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 15．比较大小： （填“”，“”或“”）． 60． 【分析】此题考查的是有理数的比较大小的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先化简多重符号与绝对值，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 17．比较大小： ． 【分析】此题考查有理数的大小比较的应用，解题关键在于掌握正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先根据绝对值意义和相反数定义将两个数进行化简，然后再根据正数都大于负数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 知识清单 9、有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 其他数与0 正数与0：正数＞0 负数与0：负数＜0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： 1）分别计算两数的绝对值；2）比较绝对值的大小；3）判定两数的大小． 巩固基础 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的方法是关键．根据零大于负数，正数大于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴最小的数是， 故选：A ． 2．下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．3 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：B． 3．下列各数中，比小的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 【分析】本题考查了有理数大小比较，①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：， ， ∴比小的数是． 故选：D． 4．当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴液化温度最低的气体是氢气； 故选C． 5．如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出，据此判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴． 故选：A． 6．数轴上表示数的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，下列正确的是（　　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，能根据数轴得出是解此题的关键． 根据数轴得出，，再比较即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，且， ∴， 故选：D． 7．比较大小：（1） ，（2） ； （3） （填“”、“”或“”）． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 8．比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 【分析】本题考查比较有理数的大小：根据正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：， 9．比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）： ； 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据两个负数相比较绝对值大的反而小可得答案，再去括号，去绝对值，并比较即可． 【详解】解：因为，且， 所以； 因为，且， 所以． 故答案为：． 10．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 11．比较大小： ． 【分析】本题考查了有理数大小的比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小的方法． 先求出两个数的绝对值，再根据绝对值大的反而小来比较两个负数的大小． 【详解】，， 因为，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 可得． 故答案为：＜． 12．比较大小： （填“”或“”或“”）． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，正确化简是解题的关键． 将化简为2，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 13．比较大小： （填“<”“>”或“=”）． 【分析】本题考查了正、负数大小比较的方法．根据正数与负数以0为分界点，正数、0都比负数大；负数与负数比较大小，绝对值大的反而小即可解决． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14．比较大小： （填“”“”或“”）． 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．比较大小： ． 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键． 根据负数比较大小的法则（两个负数比大小，绝对值大的反而小）进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：＜． 16．用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． ①根据正数大于负数判断即可． ②根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． ③先化简多重符号，再把分数化成小数比较即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②， ，， 则， 故答案为：； ③，， ∴， 故答案为：． 17．比较大小： （填“”或“”） 【分析】本题考查了化简绝对值和多重符号、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．先化简绝对值和多重符号，再根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】解：∵，， ∴，故答案为：． 18．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．先比较两个负数的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小的方法，即得答案． 【详解】，，且， ． 故答案为：． 19．比较大小： ， ．（填“”、“”或“”） 【分析】此题考查了比较有理数大小．根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：， 直击考点 题型1：有理数的相关概念 例1．下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个， 故选：C． 例2．下面关于有理数的说法正确的是（    ） A．正整数和负整数合在一起称为整数 B．正数和负数统称为有理数 C．正数、负数和零统称为有理数 D．整数和分数统称为有理数 【分析】根据有理数的概念和分类（整数和分数统称为有理数）、整数的定义（正整数、负整数和0统称为整数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、正整数、负整数和0统称为整数，则此项错误，不符合题意； B、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； C、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 变式1．在数0，，，，0.01010101，2.3%中，有理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】分别根据实数的分类及有理数的概念进行解答． 【详解】解：有理数有0，，，0.01010101，2.3%，共5个， 故选：A． 变式2．对于，下列说法不正确的是（    ） A．是负数，不是整数 B．是分数，不是自然数 C．是有理数，不是分数 D．是负有理数，且是负分数 【分析】根据分数，整数，负数，自然数以及有理数的概念进行判断，得出结果． 【详解】解：A、-3.271是负数不是整数，正确， B、-3.271是分数不是自然数，正确， C、3.271是有理数也是分数，故本选项错误， D、-3.271是负有理数也是负分数，正确． 故选：C． 变式3．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确． 【详解】解：A、1是最小的正整数，故本选项正确，不符合题意； B、没有最小的正有理数，故本选项正确，不符合题意； C、-1是最大的负整数，所以有最大的负整数，故本选项错误，符合题意； D、没有最大非负数，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 题型2：有理数的分类 例1．有如下一些数：3，，0，，，，其中负分数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查有理数的分类，根据负分数的概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：3，，0，，，中负分数有，共2个， 故选：A． 例2．有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数； ②一个有理数不是正数就是负数 ； ③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正整数就是负整数； ⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 变式1．把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正整数集合：{18，…}； 负分数集合：{，，…}； 有理数集合：{ 0.236，，，18，，0，…}． 故答案为：18；，；0.236，，，18，，0． 变式2．把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________…}； 负数集合{______________________________________________…}； 整数集合{______________________________________________…}； 分数集合{______________________________________________…}； 非负有理数集合{________________________________________…}． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数分为正数、负数和零进而确定正数、负数集合即可；根据整数分为零和正整数、负整数进而确定整数集合即可；有限小数和无限循环小数是分数来确定分数集合，正有理数和零是非负有理数确定非负有理数集合即可． 【详解】解：正数集合{3，0.02，，，，2020，…}； 负数集合{，，，…}； 整数集合{，3，0，2020，…}； 分数集合{，0.02，，，，，…}； 非负有理数集合{3，0，0.02，，，，2020，…}． 故答案为：，，；，，；，3，0，2020；，0.02，，，，；3，0，0.02，，，，2020． 变式3．请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10， ，21，6.2，4.7，﹣8 这四个集合合并在一起填 (“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是 ． 【分析】根据正整数，负整数，正分数，非负数以及有理数的概念解答． 【详解】如图： 这四个集合合并在一起不是全体有理数集合，缺少的是0． 故答案为：不是；0． 题型3：有理数中的新定义集合 例1．我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法； （3）根据有理数的概念求解即可． 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，， 故答案为：，0，，． 例2. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解． 【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x， ∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50， ∴这个黄金集合的个数是24或25个； 故选C． 变式1. 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可． （2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 变式2. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论； （2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论； 【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是； （2）不是；理由如下： 因为，所以是对偶集合， 又因为，所以不是完美对偶集合； 题型4：数轴的三要素及其画法 例1．下列各图中是数轴的是（    ） A． B． C． D． 【分析】数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，据此作答． 【详解】A、没有原点，错误； B、单位长度不一致，错误； C、没有正方向，错误； D、正确． 故选D． 变式1．如图图中数轴画法不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据数轴的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）没有正方向，数轴画法不正确； （2）单位不统一，数轴画法不正确； （3）缺少单位长度，数轴画法不正确； （4）单位不统一，数轴画法不正确； （5）符合数轴的定义，数轴画法正确． 故选C． 变式2．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 题型5：数轴上的点与有理数 例1．如图所示，点M表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴上的点的识别，熟悉掌握数轴的知识点是解题的关键． 根据数轴上点的位置作答即可． 【详解】解：由数轴得，点M表示的数是， 故选：C． 例2．如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，了解对折的含义是解题的关键． 设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分点在点B的左边和点在点B的右边，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分两种情况： ①点在点B的左边，到点B的距离为4，此时点表示的数为4， 所以点C表示的数为； ②点在点B的右边，到点B的距离为4，此时点表示的数为12， 所以C表示的数为0． 所以乙、丙的答案合在一起才完整， 故选C． 变式1. 如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【分析】本题考查数轴，根据点B与点A的位置关系及距离求解． 【详解】解：点B在点A的右侧，距点A4个单位长度， 因此点B表示的数是， 故选：D． 变式2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴上个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据数轴上点的表示方法，结合刻度尺的摆放方向，在数轴上找出刻度尺上对应的点对应数轴上的数即可，解题的关键是掌握数轴上点的表示方法． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的数，且数轴上个单位长度是， ∴刻度尺上到原点的距离为： ， 又∵刻度尺上在原点的左侧， ∴刻度尺上对应数轴上的数为， 故选：． 变式3．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2019将与正方形上的字母 重合． 【分析】本题考查数轴上两点间距离，整式计算规律问题等．根据题意先计算出点到数2019间距离为，再根据正方形图形可知每转动一周经过数轴上4个单位长度，继而得到本题答案． 【详解】解：∵顶点A与数轴上的数所对应的点重合， ∴数轴上的数2019距离点A长度为：， ∵正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母， ∴正方形图形每转动一周经过数轴上4个单位长度， ∴， ∴数轴上的数2019将与正方形上的字母为， 故答案为：． 变式4．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可． （1）由数轴可知：点B所表示的数是；根据，可得点C所表示的数是； （2）由题意得点A所表示的数是，则点B所表示的数是，可求出点C所表示的数是；即可求解； （3）由题意得点C所表示的数是或，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是， 由数轴可知：点B所表示的数是； ∵， ∴点C所表示的数是； 故答案为：，； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴点A所表示的数是，则点B所表示的数是，点C所表示的数是； ， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4， ∴点C所表示的数是或； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 综上所述，p的值为或． 题型6：数轴上两点之间的距离 例1．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为a，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴，线段的和差关系及各数的取值是本题解题关键．利用点和长求出点，再利用即可求出点，再求出的长． 【详解】解：所表示的数为， ， ， ， 点所表示的数为， ， 点所表示的数为 ． 故选：B． 例2. 点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据两点间距离公式计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴距点个单位长度的点所表示的数为或， 故选：． 变式1．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 变式2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解 【详解】（1）解：根据题意得对折点是， 则1表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的， ② 故点表示的数是， 点表示的数是． 题型7：数轴上的动点问题 例1．在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 例2．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答：(1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 变式1．在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点是解题的关键． （1）根据在数轴上表示数进行作答即可； （2）在数轴上表示出有理数即可； （3）由数轴可知，点C表示的数为3，然后求解平移后点所对的数即可． 【详解】（1）解：由题意得：A点表示的数是， 由题意得：B点表示的数距离原点有2个单位长度， 故答案为：，2； （2）， 在数轴上表示有理数和，如下图： （3）由题意得：点C表示的数为3， ， ∴点C向左平移2个单位得到数m为1， ， 表示数m的点与点A 的距离是3 变式2．如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【分析】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算． （1）根据题意画出数轴，再根据点到原点的距离的定义可得B点表示的数． （2）根据题意画出数轴，根据点到原点的距离的定义得C点表示的数． 【详解】（1）如图所示， B点表示的数为2． （2）如图所示， C点表示的数为． 变式3．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 变式4．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 题型8：相反数的概念 例1．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 变式1．下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解：−（＋7）＝−7，＋（−7）＝−7，故这对数不互为相反数，故本选项错误； B、﹣与+（﹣0.5）不互为相反数，故本选项错误； C、，与互为相反数，故本选项正确； D、＋（−0.01）＝−0.01，＝−0.01，故这对数不互为相反数，故本选项错误； 故选：C． 变式2．若与互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．4 【分析】本题主要考查了化简多重符合，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数． 先将化简，再根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数，， ∴． 故选：B． 题型9：求一个数的相反数 例1．若a的相反数是，则 ． 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】∵a的相反数是， ∴． 故答案为：8． 例2．的相反数是 ，是 的相反数. 【分析】利用相反数的定义即可解答. 【详解】相反数：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数. 的相反数是，3是的相反数. 故答案为；. 变式1．的相反数为 ． 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数为，故答案为：． 变式2．式子所表示的意义是 ． 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义即可求解； 【详解】解：根据题意可知，式子所表示的意义是的相反数； 故答案为：的相反数 变式3．（1）的相反数 ； （2）若的相反数是，则 ． 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义， （1）根据相反数的定义作答即可； （2）根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：（1）的相反数是； 故答案为： （2）若的相反数是， ， 则， 故答案为：． 题型10：相反数的性质 例1．若与互为相反数，则下列式子不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【分析】依据相反数的概念及性质可确定正确的式子，再通过举反例可证得不一定正确的式子． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故A、B、D正确， 当时，，则，∴； 当时，，则，∴，故C不一定正确， 故选：C． 例2．若与1互为相反数，则的值为 ． 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0． 根据互为相反数的两数和为0，得到关于的方程，然后求解方程得出的值． 【详解】由题意可得：， 解得， 故答案为：． 变式1．若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 变式2．如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 【分析】根据，结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵点、分别表示数、，且，、两点间的距离为， ∴ ∴， 故选：C． 变式3．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 题型11：相反数的几何意义 例1．小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 【分析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等解答． 【详解】解：∵的相反数是3，与3到原点的距离相等， ∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位． 故选：B． 变式1．若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数是 . 【详解】因为互为相反数的两个数表示在数轴上是关于原点对称的，两个点到原点的距离相等， 所以互为相反数的两个数到原点的距离为8， 故这两个数分别为8和-8. 故答案为－8、8. 变式2．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 题型12：相反数中多重符号化简 例1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 例2．填空： （1） ． （2） ； ． 【分析】本题考查了相反数的概念，正确理解相反数的概念是解题的关键．直接利用相反数的概念化简多重符号，即可逐步得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：2 （2）；． 故答案为：2， 变式1．化简： ， ， ． 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 变式2．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 题型13：绝对值的概念 例1．在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可知，在数轴上到原点的距离5个单位长度的点表示的数为， 故选：A． 例2．下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数； ②0是最小的有理数； ③存在绝对值最小的数； ④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数； ⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本此题考查有理数，由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：①相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故①正确； ②没有最小的有理数，故②错误； ③绝对值最小的数是0，故存在绝对值最小的数，故③正确； ④负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故④正确； ⑤绝对值等于它相反数的数是0或负数，故⑤错误； 所以正确说法有①③④，共3个． 故选：B． 变式1．有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 变式2．下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：、有理数的绝对值一定大于等于0，故原说法错误，不符合题意； B、正有理数的相反数一定比0小，故原说法错误，不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故原说法错误，不符合题意； D、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 题型14：求绝对值 例1．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 例2．2024相反数的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【分析】本题考查了相反数与绝对值，先求出2024的相反数，再求出相反数的绝对值即可，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：2024的相反数为，的绝对值为2024， 2024相反数的绝对值是2024， 故选：C． 例3．若，则 ． 【详解】本题考查了不等式的性质与绝对值的意义，解题的关键是熟知：①在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变；②正数的绝对值是其本身． 根据不等式的性质与绝对值的意义进行变形与化简即可． 解：∵，∴，∴． 故答案为：． 变式1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义和相反数，根据绝对值的意义化简绝对值，再根据相反数的定义求相反数即可． 【详解】解：，的相反数是2024． 故选：B． 变式2．的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【分析】本题主要考查绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0成为解题的关键．根据绝对值的定义即可解得． 【详解】解：的绝对值是3． 故选A． 题型15：绝对值的非负性 例1．如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】本题考查绝对值的非负性，绝对值的非负性得到为非负数，则：是非正数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴为非负数， ∴是非正数， 故选C． 例2．当 时，有最小值是 ． 【分析】本题考查绝对值性质，根据绝对值的非负性求解，即可解题． 【详解】解：， ， 当时，有最小值，最小值为1， 故答案分别为：2，1． 变式1．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 变式2．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 变式3．若，则 ； ． 【分析】根据有理数的非负性解答即可． 本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：．故答案为：3，2． 题型16：绝对值的化简求值 例1．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|= ． 【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1. 【详解】∵|a|=3，|b|=4， ∴a=±3，b=±4， ∵a、b异号， ∴当a=3时，b=-4，； 当a=-3时，b=4，. 故答案为1 例2．若，互为相反数，则 ； ． 【分析】本题考查了相反数的性质，化简绝对值；根据相反数的性质可得到，再代入中即可求解；根据，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数，∴，∴， ∵，∴， 故答案为：，． 变式1．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 . 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值． 先根据数轴上点的位置判断出，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式2．如果有理数、、满足，那么 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值． 【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或． ， 其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负． ， 则， 故答案为：． 变式3．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 题型17：绝对值的实际应用 例1．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 例2．有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【分析】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的加减法法则． (1)8个数据和加上8瓶标准试剂的总量即可； (2)计算这8个数据绝对值的和，然后乘12元得人工费． 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 变式1．如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（    ）    A．点或点 B．点或点 C．点 D．点 【分析】先根据图形和已知条件找出各线段长度，然后由推测原点位置． 【详解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且数m在A与B之间，数n在C与D之间”可以得出： ①当原点是B点或C点时， 与已知相矛盾，故原点不可能是B点或C点； ②当原点在A点或D点且时， ， 综上可知：数轴原点可能是A点或D点． 故选A． 变式2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【分析】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，直接计算即可； （2）根据绝对值的意义，得到数轴上数和之间的距离为4，进而得到数即可； （3）根据绝对值的意义，得到当在和2之间时，，进而确定整数的值，求和即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解：表示数轴上数和之间的距离为4， ∴或； 故答案为：或3． （3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7， ∵2和之间的距离为7， ∴当在和2之间时，， ∵为整数， ∴， ∴． 变式3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 题型18：绝对值中求最值问题 例1．（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ． （2）若，则 ， ． （3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负数： （1）根据得到若有最小值，则，据此可得答案； （2）根据绝对值的非负性可得，则，据此可得答案； （3）根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴若有最小值，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，最小值为0， 故答案为：6；0； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；6； （3）∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为5， 故答案为：大；5． 例2．阅读下列材料，并回答问题．我们知道|的几何意义是指数轴上表示数 a 的点与原点的 距离，那么|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如 考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示 和 5 的点，（如图所示），两点间的 距离是，而 ，因此不难看出就是数轴上表示 和 5 两点间的距离，的几何意义是数轴上 a，b 两数对应点之间的距离． (1)当时，求出 x 的值； (2)设 ，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设 ，当Q的值最小时，求整数 x 所有可能的值的和． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论、、即可求解； （3）数轴被分成四段，对每一段上的取值进行讨论，去掉绝对值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ∵， ∴或 （2）解：是数轴上表示的点到表示、两点间的距离之差， 时，如图所示： ； 时，如图所示： ； 时，如图所示： ； 综上所述，当时，Q有最大值 （3）解：时，； 时，； ； 时，； 时，； 综上所述，当Q的值最小时，， ∴整数 x 所有可能的值的和为： 变式1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 变式2．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是__________；当时，的值为__________． (2)的最小值为__________；当的值最小时，的值为__________． 【分析】（1）依题意，列式，在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离为3，结合数轴以及绝对值的性质进行作答即可； （2）依题意，在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离与在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离之和，在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离与在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离与在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离之和，结合数轴以及绝对值的性质进行作答即可； （3）设运动时间为秒，分别表示点、点在数轴上的对应数，即可列式作答． 【详解】（1）解：依题意， 所以在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是4， 因为在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离为3， 所以一种情况在2的右边且与2之间距离为3的是 另一种情况在2的左边且与2之间距离为3的是； （2）解：依题意， 因为表示的点与表示的点之间的距离与在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离之和，且的点与的点之间的距离为8， 所以当在的左边时，如图    当在9的右边时，如图    当在1的右边且在9的左边时（包括与1重合或与9重合），如图    综上所示：的最小值为8； 同理，当在的左边时，如图    ， 当在1的右边且在9的左边时（包括与1重合），如图   ， 当在9的右边且在的左边时（包括与重合），如图    当在的右边时，如图    当与9重合时，如图   ， 综上所述：当的值最小时，的值为9； （3）解：设运动时间为秒，依题意 则点P表示，点Q表示， 因为两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度 所以 则当点P在点Q的左边时，即，； 则当点P在点Q的右边时，即，（舍去）； 所以当P、Q运动7秒时，两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度． 题型19：利用数轴比较有理数的大小 例1．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 例2．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数和有理数大小比较，先在数轴上表示各数，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：∵， ∴把它们表示的点画在数轴上如下： ∴． 变式1．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空． ①p q；    ②－p 0；  ③－p －q； ④－p q； 【分析】根据p、q、-p、q两数在数轴上的位置，在数轴上从左到右的顺序就是数从小到大的顺序． 【详解】解：根据相反数的几何意义，将p，q，－p, －q均表示在数轴上，如下图： 所以①p>q；    ②－p<0；  ③－p<－q； ④－p>q； 故答案为：>,<,<,>. 变式2．已知五个数分别为：． 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数，数轴，有理数的乘法等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键．先在数轴上表示出各个数，再比较即可； 【详解】解： 将各点在数轴上表示如图： ． 题型20：利用法则比较有理数的大小 36．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，有绝对值的先化简绝对值，再根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，，，所以，故此选项正确，符合题意； C、，，所以，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选B. 37．比小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数负数，负数的绝对值越大反而小． 根据有理数的大小比较法则进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 故选：A． 66．比较大小： （填“”“”或“”）． 【分析】此题考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，根据有理数大小比较规则，求解即可，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，解题的关键是掌握有理数大小比较法则． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 67．比较大小： （1） 0； （2） （3） ； （4） ． 【分析】本题考查有理数的比较大小，根据正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2），， ∵， ∴， 故答案为：； （3），， ∵， ∴， 故答案为：； （4），， ∴ 故答案为：． 题型21：利用特殊值法比较有理数的大小 例1．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】采取取特殊值法解决本题较为方便，比如取，再求出和的值，进而比较即可． 【详解】解：，取，，， ∵，∴，∴D选项符合题意，A，B，C选项均不符合题意， 故选：D． 变式1．有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）． 【分析】根据负数的大小比较原则计算比较即可． 【详解】∵,∴；∴，， ∵，∴． 故答案为：，． 变式2．a、b、c都是自然数，且，则a、b、c中最小的是（     ） A．a B．b C．c D．不确定 【分析】本题考查了利用假设法判断最小自然数，首先假设，得出a、b、c的值，即可判断出其中的最小自然数． 【详解】假设 ，则，，， ，，即b最小， 故选：B． 题型22：有理数大小比较的实际应用 例1．在某天24时，以下四个城市中气温最低的城市是（    ） 北京 济南 郑州 银川 A．北京 B．济南 C．郑州 D．银川 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于 0，0 大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天24时气温最低的城市是银川， 故选：D． 变式1．某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据有理数大小的比较方法，找出在和4之间的数即可 本题主要考查了理数大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较方法是解题关键． 【详解】解：已知药品贮藏条件要求为， ∵，故不在范围，不符合要求， ，故在范围，符合要求， ，故、不在范围，不符合要求， 故选B． 变式2．下表是某一天我国部分城市的最低气温： 北京 上海 广州 哈尔滨 杭州 -4℃ -1℃ 6℃ -10℃ 0℃ （1）请把表中各数在数轴上标出. （2）按气温从低到高排列城市名称． 【分析】（1）将各数在数轴上找出即可； （2）根据数轴上左边的数总小于右边的数，即可作出排列． 【详解】（1）在数轴上表示为： ． （2）从低到高排列城市名：哈尔滨，北京，上海，杭州，广州． 题型23：有理数大小比较的新定义问题 例1．表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴=，， ∴， 故选：A． 变式1．用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____． 【分析】根据题中给出的条件进行计算即可． 【详解】解：表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数， ，． 故答案为：． 变式2．若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选A． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了相反数的定义的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据相反数的定义，进行作答，即可求解； 【详解】解：的相反数是， 故选：B； 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【分析】此题考查了绝对值的化简，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：的值是． 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：A． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴是解题的关键．根据点在数轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图可知 ，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确． 故选B． 8．（24-25七年级上·河南·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选：C． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 10．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛），在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较等知识点，根据题中所给的数轴得：，，，可得，，，，进而即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，，， ∴和是负数，共两个， 故选：B． 11．（2022·湖南永州·二模）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【分析】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【详解】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 二、填空题 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，结合x是整数，进行求解即可． 【详解】解：∵x是整数，并且， ∴数轴上表示x能取的所有数为； 故答案为： 13．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 14．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·广东汕头·期中）化简： ． 【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 【分析】本题考查了数轴与绝对值的综合，解题的关键是掌握绝对值的性质和数轴的性质．结合数轴可知，得到，进而即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可得， ， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点是解答此题的关键．先根据为的中点与的位置可知，互为相反数，再由数轴可知：，即可得出由此即可作出解答． 【详解】解：∵在数轴中，为的中点， ∴， ∴， ∴． 由数轴可知：， ∴， ∴． ∴原式． 故答案为：． 19．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用“>”、“<”、“=”号填空：（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和两个负数比较大小的方法． （1）分别让这两个数与1进行比较，根据比较结果，再进行比较即可； （2）先把这两个数化简，根据化简结果进行比较即可； （3）先求出这两个数的绝对值，然后根据绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：（1）， ， （2）， ， （3）， ， ， 故答案为：<；=；<． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆上表示数字 的点重合． 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，发现循环规律是解题的关键． 寻找规律发现：每4个数为一组，分别与0、3、2、1重合，计算，看余数是几，则可判断是第几组的第几个数． 【详解】解：由题图可知，每4个数为一个循环组依次循环．分别与0、3、2、1重合， 因为， 所以数轴上表示的点与圆上表示数字0的点重合． 故答案为：0． 三、解答题 21．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正分数、整数、负数、非负有理数的定义进行分类解答即可． 【详解】解：，， 正分数集合：{④，⑦，⑧…}； 整数集合：{①，②，⑤，…}；； 负数集合：{①，⑨，⑩，…}；； 非负有理数集合：{②，④，⑤，⑦，⑧，…}；． 故答案为：④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧． 22．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的分类，以及大小比较的方法是解题的关键． （1）根据负数和分数的定义分类即可； （2）两个圈重叠的部分表示负分数集合； （3）根据负数绝对值大的反而小，即可判断． 【详解】（1）解：负数有，分数有， 填图如图： （2）解：既是负数又是分数则为负分数，故（1）图中两个集合的重叠部分表示负分数的集合， 故答案为：负分； （3）解：（1）图中两个集合的重叠部分中数有， ，，， ∴， ∴， ∴最大的数为，最小的数为． 23．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 24．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）根据两点间距离公式进行解答即可； （3）根据相反数定义即可解答； （4）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：∵点C与点B表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数是； （4）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为， ∴操作2025次后，P点表示的数为． 25．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 26．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并按从小到大的顺序排列，用“”号连接起来：，，，，． 【分析】由题意知，，将有理数在数轴上表示，然后从按小到大的顺序排列即可． 【详解】解：因为，， 在数轴上表示为： 由图可知，． 27．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、有理数的大小比较，首先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上，如下图所示， 按从小到大的顺序用“”连接起来可得：． 28．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：最大的负整数是，的相反数是1， ∴，， ∵在数轴上点A，B，C从左到右依次排列， ∴, 又∵ ∴． 故答案为：，1，4． （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②i)折后，不动，在之间到，距离相等． 折后对应的数：． 点表示的数为：． ii)折后，动，不动，在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． iii)折后，动，不动，点在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 29．（24-25七年级上·河南南阳·期中）“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 【分析】本题主要考查了两点间的距离、化简绝对值、解绝对值方程等知识点，掌握化简绝对值的方法是解题的关键． （1）直接运用求解即可； （2）分或两种情况解答即可； （3）①由点P在点M、N之间（含M、N两点），即，然后化简绝对值、合并同类项即可解答；②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为，则，然后根据，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为5． （2）解：当时，可化为，解得：； 当时，可化为，解得：． 综上，或． （3）解：①∵点P在点M、N之间（含M、N两点）， ∴， ∴； ②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为， ∴， ∵蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7， ∴， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解． 综上，． 故答案为4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$