专题35 反比例函数（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题35 反比例函数 真题重现 （2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了旋转的性质，反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，求出反比例函数和一次函数的交点坐标．先证明是直角三角形，得出，根据，得出，建立如图新的坐标系（为轴，为轴）．求出直线解析式为，求出，，求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 建立如图新的坐标系（为轴，为轴）． 在新的坐标系中，，，曲线l的解析式为：， ∴直线解析式为， 由， 解得或， ∴，， ∴， 故答案为：8． 考点突破 一、的几何意义 【学霸笔记】 1. 如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，； 2. 如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则. 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典例】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，点为反比例函数图象上一点，过点垂直于两坐标轴的垂线段与两坐标轴所围成的矩形（阴影部分）的面积为，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的性质，根据反比例函数中比例系数的几何意义，可得，得到，再根据图象所在的象限，即可确定的值，从而得到函数的解析式，掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为， 故选：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 二、反比例函数与几何综合 【学霸笔记】 1. 设点的坐标，利用几何图形的性质得出相关线段的关系，再表示出相关点的坐标，最后带回到解析式中或直接求解； 2. 变化是永恒的，不变是相对的，在复杂的变化中寻找不变量，以不变应万变，在反比例函数中，为定值是列方程、设而不求和整体代入求值思想的源泉. 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，由一次函数求出点坐标，进而可得直线解析式，即可得到点坐标，根据梯形面积即可求出点坐标，进而求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：由一次函数可得，， ∴， 把代入得，， ∴直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴点坐标为， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知直线经过点，过反比例函数在第一象限的图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，分别交直线于点． (1)的值是否为常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由； (2)如果平行于直线的直线与反比例函数的图象在第一象限只有一个公共点，求出这个公共点的坐标． 【答案】(1)是，1 (2) 【分析】（1）设点，则点的横坐标为，点的纵坐标为，再分别表示出，进而求解即可； （2）设平行于直线的直线为，联立可得，再根据一元二次方程根的判别式求出b的值，再解方程即可． 【详解】（1）设点，则点的横坐标为，点的纵坐标为． 直线经过点， 为等腰直角三角形， ， ， 即的值为常数1． （2）设平行于直线的直线为， 联立可得， 由题意， 解得（舍），或， ，解得， 此时， 即所求公共点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、反比例函数中的规律探索 【典例】 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． (1)　　，　　，　　； (2)在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； (3)请写出一条该函数的性质：　　； (4)根据函数图象，直接写出关于x的方程解． 【答案】(1)4，2， (2)见解析 (3)当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (4) 【分析】（1）根据待定系数求解即可； （2）根据利用两点法作出图象即可； （3）根据图象写出一条性质即可； （4）作出直线，根据直线与直线的交点为即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，当，输出； ， ； 当时，， 当时，，输入，输出； 输入，输出． ， 解得， 当时，， （2）解：当时，， 当时，， 解得， 得到点，，根据即可作出函数图象如下： （3）解：该函数的性质：当时，随着的增大而增大； （4）解：如图， 根据函数图象，直线与直线的交点为， 关于的方程解为． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 【巩固】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，过轴上的点分别作轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，交直线于点，已知． (1)求点的坐标； (2)求和的值； (3)猜想的值，直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数，直线与反比例函数的交点问题 （1）设点， ，根据是和的交点，列式计算即可． （2）根据，，确定，，…, ,利用和，分别计算，后计算比值即可． （3）根据规律，写出答案解． 【详解】（1）设点， ， ∵是和的交点， ∴, ∴, 根据题意，， 解得， 故． （2）∵，， ∴，，…, , ∴，，…, , ∴，；，； …, , ∴ ∴． （3）∵，， ∴，，…, , ∴，，…, , ∴，；，； …, , ∴． 模拟演练 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直角的直角顶点在轴上，反比例函数的图像经过斜边的中点，交直角边于点，如果顶点的坐标为，那么的面积为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，正确求得反比例函数解析式是解题关键．首先根据题意确定点，再利用待定系数法解得反比例函数解析式，进而可得点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， 将点代入， 可得， 即反比例函数解析式为， 令，可得， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，设点是函数的图象上成中心对称的两个任意点，斜边为，两条直角边分别平行于轴的直角的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．随点的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，设，则，根据题意，得到，根据面积公式计算即可． 【详解】∵点是函数的图象上成中心对称的两个任意点， 设，则， ∴, ∴ , 故答案为：C． 3．（2015·江苏扬州·一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，根据图象所在象限可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象交第四象限的角平分线于点，如果点到原点的距离为，那么该反比例函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质，作轴于点，由题意得：，，求出，从而得出点的坐标为，代入反比例函数解析式即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点， ， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， ， 反比例函数解析式为：， 故选：A． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，矩形的对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，且交于点，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，先求解，再求解反比例函数的解析式为，可得，；从而可得答案． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，为的中点， ∴，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ，； ∴； 故答案为：． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点P的坐标为轴于点轴于点分别交反比例函数的图象于点，设，则S的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，以及二次函数的性质，求出S关于k的解析式是解答本题的关键．先表示出，点，根据求出S关于k的解析式，然后利用二次函数的解析式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∵点P的坐标为， ∴点，点， 则 ， 当时，S取最大值3． 故答案为：3． 7．（2024九年级·全国·竞赛）反比例函数的图象交直线于点，且与反比例函数的图象关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，先根据反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称求出，既得，把点代入得，把代入求得． 【详解】解：∵反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称， ∴，即， ∵反比例函数的图象交直线于点， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象交直线于点， ∴， 解得，， 故答案为：． 8．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系及两点间的距离公式，设，进而求出，求出，将一次函数表达式代入反比例函数表达式整理后，根据根与系数关系进一步求出，即可求出结论． 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024九年级·全国·竞赛）某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 【答案】w与x之间的函数关系式为，日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式． 由表知，据此可得， 根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式；进而根据反比例函数的性质求解可得最大利润． 【详解】解：设，则， 解得， ． 把x、y的实数对代入函数关系式都能满足， 的函数关系式为． ， ∴当时，w有最大值， 最大值为（元）． 答：w与x之间的函数关系式为， 日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，可求出，再根据面积求出点，代入即可得到解析式；（2）根据三角形面积相等进行解题，由于和等底同高，可得到，因为，得到，继而可求出，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）令 解得，即点 又 点的纵坐标为 点 双曲线的解析式为． （2）作轴于点轴于点F，则，由双曲线的对称性可知 和同高，设高为 ， 又， ，则， 即， ， 即的横坐标为 代入得点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、反比例与一次函数的交点问题，解题的关键在于画出正确辅助线． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点． (1)求的值； (2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，设，首先证明四边形为矩形、 、和均为等腰直角三角形，进而可得，，然后计算的值即可； （2）连接，证明、为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质可得，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设， ∵轴，轴， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， 对于直线， 令，则有，即， 令，则有，即， ∴， 又∵，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，同理， 即和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，同理， ∴，， ∴； （2）为定值，证明如下： 连接，如下图， ∵点为的中点，轴， ∴， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 同理可得也为等腰直角三角形， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题35 反比例函数 真题重现 （2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了旋转的性质，反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，求出反比例函数和一次函数的交点坐标．先证明是直角三角形，得出，根据，得出，建立如图新的坐标系（为轴，为轴）．求出直线解析式为，求出，，求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 建立如图新的坐标系（为轴，为轴）． 在新的坐标系中，，，曲线l的解析式为：， ∴直线解析式为， 由， 解得或， ∴，， ∴， 故答案为：8． 考点突破 一、的几何意义 【学霸笔记】 1. 如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，； 2. 如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则. 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典例】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，点为反比例函数图象上一点，过点垂直于两坐标轴的垂线段与两坐标轴所围成的矩形（阴影部分）的面积为，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的性质，根据反比例函数中比例系数的几何意义，可得，得到，再根据图象所在的象限，即可确定的值，从而得到函数的解析式，掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为， 故选：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 二、反比例函数与几何综合 【学霸笔记】 1. 设点的坐标，利用几何图形的性质得出相关线段的关系，再表示出相关点的坐标，最后带回到解析式中或直接求解； 2. 变化是永恒的，不变是相对的，在复杂的变化中寻找不变量，以不变应万变，在反比例函数中，为定值是列方程、设而不求和整体代入求值思想的源泉. 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，由一次函数求出点坐标，进而可得直线解析式，即可得到点坐标，根据梯形面积即可求出点坐标，进而求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：由一次函数可得，， ∴， 把代入得，， ∴直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴点坐标为， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知直线经过点，过反比例函数在第一象限的图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，分别交直线于点． (1)的值是否为常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由； (2)如果平行于直线的直线与反比例函数的图象在第一象限只有一个公共点，求出这个公共点的坐标． 三、反比例函数中的规律探索 【典例】 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． (1)　　，　　，　　； (2)在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； (3)请写出一条该函数的性质：　　； (4)根据函数图象，直接写出关于x的方程解． 【答案】(1)4，2， (2)见解析 (3)当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (4) 【分析】（1）根据待定系数求解即可； （2）根据利用两点法作出图象即可； （3）根据图象写出一条性质即可； （4）作出直线，根据直线与直线的交点为即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，当，输出； ， ； 当时，， 当时，，输入，输出； 输入，输出． ， 解得， 当时，， （2）解：当时，， 当时，， 解得， 得到点，，根据即可作出函数图象如下： （3）解：该函数的性质：当时，随着的增大而增大； （4）解：如图， 根据函数图象，直线与直线的交点为， 关于的方程解为． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 【巩固】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，过轴上的点分别作轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，交直线于点，已知． (1)求点的坐标； (2)求和的值； (3)猜想的值，直接写出答案． 模拟演练 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直角的直角顶点在轴上，反比例函数的图像经过斜边的中点，交直角边于点，如果顶点的坐标为，那么的面积为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，设点是函数的图象上成中心对称的两个任意点，斜边为，两条直角边分别平行于轴的直角的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．随点的变化而变化 3．（2015·江苏扬州·一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象交第四象限的角平分线于点，如果点到原点的距离为，那么该反比例函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，矩形的对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，且交于点，已知，则 ． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点P的坐标为轴于点轴于点分别交反比例函数的图象于点，设，则S的最大值为 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）反比例函数的图象交直线于点，且与反比例函数的图象关于轴对称，则的值为 ． 8．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点． (1)求的值； (2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$