专题31 圆（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题31 圆 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）如图，已知一个圆的直径与边长为的等边三角形的高相等，与相切于点，与相交于点，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和垂径定理，过点A作，连接，过点作于点，求得，得，再求出,得，由勾股定理得，再根据垂径定理得． 【详解】解：过点A作，连接，过点作于点，如图， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴ ∴ ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：3． 考点突破 一、与圆有关阴影面积计算 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解． 【详解】解： 如图，连接，，， 设半径为，则， 是等腰直角三角形， ，， 两半圆相外切， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，、为两半圆直径， ， ，， 弓形，弓形， ． 故答案为：D． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，扇形与扇形的圆心角都是，连接，如果图中阴影部分的面积为，，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查利用扇形面积公式求不规则图形面积，根据圆心角都是直角，则绕O顺时针旋转后与重合，由阴影部分面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ， ∵扇形与扇形的圆心角都是， ∴绕点O顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 二、最短路线问题 【典例】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 【巩固】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 三、圆综合 【典例】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在平行四边形中，，，，为对角线，的交点，点是线段上一点，以为直径的圆分别交线段，于点，，延长交线段于点，连结，，． (1)当时，求的值； (2)连结，当是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据勾股定理可求出，进而得出，从而可求出，进而得出，由为直径可求出，根据等积法即可得出，然后利用勾股定理可求出，根据题意可求出，易证得，于是可得，即，从而可求出，进而得出，最后根据正切的定义即可得出答案； （2）分三种情况讨论：（）当时；（）当时；（）当时；根据相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， 在平行四边形中，，，，， ，，， ， ， ∵为直径， ，， ∵， ， ∴， ，， ， ， ， ， 即：， ， ，， ， ， ， ； （2）解：分三种情况讨论： （）当时， 如图，过点O作于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ，， ， ， ， 即：， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）当时， 如图， ， 由（）可得：， ， 即：， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）当时， 则（舍）； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 【巩固】 （2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“美丽角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长． 【答案】(1)是的“美丽角”，理由见解析 (2)的长为或 【分析】（1）根据垂径定理得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据“三线合一”的性质得出，利用对顶角相等，结合“美丽角”的定义即可得答案； （2）如图，连接、，根据“美丽角”的定义得出，，即可得出，，根据圆周角定理可得，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出，，在中，利用勾股定理列方程可求出的值，根据等腰直角三角形的性质即可得答案． 【详解】（1）解：是的“美丽角”，理由如下： 如图，设、交于点， ∵是的直径，弦， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴。 ∴是的“美丽角”． （2）解：如图，连接、， ∵的“美丽角”为， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或， ∵， ∴或． ∴的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 模拟演练 1．在中，，如果截三条边所得的三条弦的长度相等，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，，进一步利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：三条弦长相等， 圆心到三条弦的距离相等，即点到三边的距离相等， 点为的内心，即为三条角平分线的交点， ， ， ， 故选：A． 2．在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由可得，，过点作于点，连接，由垂径定理可得，从而根据勾股定理在中，，在中，． 【详解】∵， ∴， 过点作于点，连接， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，． 故选：C 3．如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作点关于直径的对称点，连接，，则，，由，可知当三点共线时，此时的值最小，由点为弧的中点，可求，则，由勾股定理求，进而可得结果． 【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，此时的值最小， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：B． 4．如图，点为正五边形的中心，若要将绕点旋转后得到，则以下旋转方式正确的是（    ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 【答案】C 【分析】本题考查了正五边形和旋转，求出正五边形的中心角，然后分别求出按顺时针方向和按逆时针方向旋转的角度，逐项判断即可求解，掌握正五边形的性质是解题的关键． 【详解】解：正五边形的中心角为， 如果按顺时针方向旋转，到旋转的角度为， 如果按逆时针方向旋转，到旋转的角度为， 故选：． 5．如图，在中，为直径，长为，点为的三等分点，在同一侧的圆周上有不同的两点，使得，且，连接，则与的面积之和为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，根据题意可证，过点作，垂足为点，连接，可求得和，过点作，垂足为点，则，可得，则有，结合即可求得． 【详解】解：延长交于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵点为的三等分点， ∴， 由对称性得， ∵， ∴， 则， 过点作，垂足为点，连接，则， ∵， ∴， 则， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线和熟悉三角形所涉及的性质． 6．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，若点在优弧上运动，点在劣弧上运动，则四边形的最大面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据三角形的面积推得时，四边形的面积最大是解题的关键． 根据三角形的面积公式可推得时，四边形的面积最大，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点，如图： 则四边形的面积为； ∵四边形是的内接四边形， ∴的最大值是的直径， 即点与点重合时，四边形的面积最大， 此时， 如图：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故四边形的最大面积为． 故答案为：． 7．如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、三角形的面积公式，解题的关键是利用“面积法”可以简便地得到答案． 连接，利用 即可得到答案． 【详解】如图，设与相切于点E、F，连接， 则． 设， ∵，， 且 ， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 【答案】/0.25 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 9．如图，已知为的直径，，且另一边交于点交于点D，如果，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角、含角的直角三角形的特征、相似三角形的判定及性质，根据含角的直角三角形的特征得，，再根据，得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 则， ， ， ， ， ， 又为公共角， ， ． ， 解得：． 10．如图，在中，是的外接圆，且以为直径． (1)设的中点为点，求的长度； (2)设劣弧的中点为点，求的长度． 【答案】(1) (2)厘米 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质： （1）连接运用垂径定理得，再根据勾股定理得出； （2）过点作，垂足为点，连接，证明，求出，再根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：连接 如图， 为直径，点为的中点， ，且， ； （2）解：过点作，垂足为点，连接，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 11．如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查不规则图形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，掌握扇形面积的计算，直径所对的圆周角是直角以及勾股定理是正确解答的关键．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ， 为小圆的直径， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． ， ∵点是中点，，即， ∴是的中位线， ∴，则， 为的直径， ， ， 阴影部分的面积为． 12．已知直线与轴交于点，与轴交于点经过点和原点． (1)若点在上，交于点，如图1，求弦的长度； (2)若与直线相切于点，且与轴的另一交点为点，如图2，求圆心点的坐标； (3)若点在的外角的平分线上，且与轴的另一交点为点，如图3，求半径的长． 【答案】(1)弦 (2)点 (3) 【分析】（1）先得出和，再根据勾股定理算出，知道为直径，根据圆周角定理，得，由等面积法列式代数计算，得，结合勾股定理即可作答． （2），根据圆周角定理，得为的直径，结合勾股定理得，代入数值计算得，因为点是的中点，且，即可作答． （3）结合圆周角定理以及角平分线的定义，得，则，再根据勾股定理列式计算，，解得，因为，即可作答． 【详解】（1）解：对直线，令，则， 点； 令，则， 点， ， ， 连接， 点在上， 为直径， ， 由等面积法, 即 得， 弦． （2）解：连接 ∴ 为的直径， 点在上，且为的中点， 与直线相切于点， ， ∴在和中， ， 即， 解得， ∵点是的中点，且 ∴ 点； （3）解：连接 为的直径， 点在上，且为的中点， 且， 点在的平分线上， ∴在和中， ， 在中，， ，解得， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、、角的平分线性质以及全等三角形的判定与性质；本题难度较大，综合强，特别是（3）中，根据三角形全等得出求出，再根据勾股定理才能求出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题31 圆 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）如图，已知一个圆的直径与边长为的等边三角形的高相等，与相切于点，与相交于点，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和垂径定理，过点A作，连接，过点作于点，求得，得，再求出,得，由勾股定理得，再根据垂径定理得． 【详解】解：过点A作，连接，过点作于点，如图， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴ ∴ ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：3． 考点突破 一、与圆有关阴影面积计算 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解． 【详解】解： 如图，连接，，， 设半径为，则， 是等腰直角三角形， ，， 两半圆相外切， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，、为两半圆直径， ， ，， 弓形，弓形， ． 故答案为：D． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）如图，扇形与扇形的圆心角都是，连接，如果图中阴影部分的面积为，，那么 ． 二、最短路线问题 【典例】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 【巩固】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 三、圆综合 【典例】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在平行四边形中，，，，为对角线，的交点，点是线段上一点，以为直径的圆分别交线段，于点，，延长交线段于点，连结，，． (1)当时，求的值； (2)连结，当是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据勾股定理可求出，进而得出，从而可求出，进而得出，由为直径可求出，根据等积法即可得出，然后利用勾股定理可求出，根据题意可求出，易证得，于是可得，即，从而可求出，进而得出，最后根据正切的定义即可得出答案； （2）分三种情况讨论：（）当时；（）当时；（）当时；根据相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， 在平行四边形中，，，，， ，，， ， ， ∵为直径， ，， ∵， ， ∴， ，， ， ， ， ， 即：， ， ，， ， ， ， ； （2）解：分三种情况讨论： （）当时， 如图，过点O作于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ，， ， ， ， 即：， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）当时， 如图， ， 由（）可得：， ， 即：， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）当时， 则（舍）； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 【巩固】 （2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“美丽角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长． 模拟演练 1．在中，，如果截三条边所得的三条弦的长度相等，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为正五边形的中心，若要将绕点旋转后得到，则以下旋转方式正确的是（    ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 5．如图，在中，为直径，长为，点为的三等分点，在同一侧的圆周上有不同的两点，使得，且，连接，则与的面积之和为 ． 6．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，若点在优弧上运动，点在劣弧上运动，则四边形的最大面积为 ． 7．如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ． 8．我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 9．如图，已知为的直径，，且另一边交于点交于点D，如果，求的长度． 10．如图，在中，是的外接圆，且以为直径． (1)设的中点为点，求的长度； (2)设劣弧的中点为点，求的长度． 11．如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 12．已知直线与轴交于点，与轴交于点经过点和原点． (1)若点在上，交于点，如图1，求弦的长度； (2)若与直线相切于点，且与轴的另一交点为点，如图2，求圆心点的坐标； (3)若点在的外角的平分线上，且与轴的另一交点为点，如图3，求半径的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$