专题33 平面直角坐标系（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题33 平面直角坐标系 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）如图，将一个三角板按如图所示的方式放在一个平面直角坐标系中，然后绕点按顺时针方向旋转到的位置．如果，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理以及30度角所对直角边等于斜边的一半等知识，由旋转的性质得得过点C作轴于点，求得 ，从而得出点C坐标． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴ 过点C作轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为， 故选：B 考点突破 一、平面直角坐标系中点的特征 【学霸笔记】 1. 对于点， 在第一象限时，； 在第二象限时，； 在第三象限时，； 在第四象限时，. 2. 对于点， 在x轴上时，； 在y轴上时， 3. 对于点， 在第一、三象限的角平分线上时，； 在第二、四象限的角平分线上时，. 4. 点到x轴的距离为，到y轴的距离为. 5. 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）在第四象限内有一点，且，那么点M关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标，先求得点M的坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：依题意，， ∴点关于原点对称的点是． 故选：A． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若分式不论取何值总有意义，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式，点坐标．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由，且分式不论取何值总有意义，可得，求，进而可判断点所在的象限． 【详解】解：∵，不论取何值总有意义， ∴， 解得，， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 二、点的坐标规律 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转30°得到点，延长到，使得；再将点绕点按逆时针方向旋转30°得到点，然后延长到，使得；…；如此操作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．也考查了规律型问题的解决方法．根据题意，每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上，据此即可求解． 【详解】解：， 每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2014次，点依次落在点、的位置，则点的横坐标为（    ） A．1343 B．1510 C．1610 D．2014 【答案】D 【分析】本题考查了探究规律，利用规律即可解决问题，涉及坐标与图形变化-对称、规律型：点的坐标，先根据题意写出已知点的坐标，再找到规律为次数是2的奇数倍的偶数，位于x轴上，横坐标为这个翻转次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x轴的上方，横坐标为这个翻转次数加上1；据此作答即可． 【详解】解：由题意，，，， 次数是2的奇数倍的偶数，位于x轴上，横坐标为这个翻转次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x轴的上方，横坐标为这个翻转次数加上1； ∵，是奇数， 点的横坐标为2014， 故选：D． 三、坐标与图形性质 【典例】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，图中每一个小正方形方格的边长都为1． (1)在图中画出线段关于轴的对称线段； (2)在（1）的条件下，将线段绕点旋转一定的角度得到对应线段，使得轴，画出满足条件的线段； (3)在（2）的条件下，若有一条直线将四边形的面积平分为相等的两部分，请直接写出满足条件的实数，并在图中画出这条直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点的位置，然后连接即可； （2）根据轴对称的性质找出点关于直线的对称点，即为所求的点； （3）首先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可知，平分四边形面积的直线经过该平行四边形的中心，然后求出的中点，代入直线计算即可求出值． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求； （2）如图，作点关于直线的对称点， ∵， ∴， ∴轴， 即线段即为所求； （3）由轴对称的性质可得，， 又∵轴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴平行四边形的中心坐标为， 将点代入直线， 可得 ， 解得 ， 作直线，则直线可将四边形的面积平分为相等的两部分． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、平行四边形的判定与性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握轴对称的性质和平行四边形的性质是解题关键． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）矩形的顶点A在函的图象上，边在x轴上，点E是的中点，且在函数上的图象上，已知点A的坐标为，点E的横坐标为t． (1)求函数的解析式； (2)当时，求t的值 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先证明矩形ABCD为正方形，由点A的坐标为得B点的坐标为，，从而得出点D的坐标，然后根据中点坐标公式求解． 【详解】（1）由点A在反比例函数图象上，代入得 解得， 所以函数的解析式为． （2）∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴矩形ABCD为正方形， ∵点A的坐标为， ∴B点的坐标为，， ∴D点的坐标为． ∵点E为BD的中点， ∴E点的横坐标． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 模拟演练 1．若点关原点对称的点在第一象限，则整数的解的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了关于原点对称的点的特征、解一元一次不等式、各象限内点的特点等知识， 根据关于原点对称的点在第一象限得到关于k的不等式组，解不等式组后即可得到答案． 【详解】∵点关于原点对称的点为且在一象限， ∴， 解得 ∴整数的值有0和1共两个． 故选：B． 2．一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第秒时质点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标探索规律题，根据秒时到了，秒时到了，秒时到了，则第秒时动点在此处向下秒，再向右秒得到第秒的位置，解题的关键是读懂题意，能够正确确定点运动的规律，从而可以得到到达每个点所用的时间． 【详解】解：秒时到了， 秒时到了， 秒时到了， ， ∵， ∴第秒时，动点在此处向下秒，再向右秒得到第秒的位置， 此时点的坐标为：， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索、图象的旋转、全等三角形的判定、含角的直角三角形的特征及勾股定理，先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得每旋转找得规律，进而可求解，根据旋转的性质得点坐标的变换规律是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作，如图：    ，， ， ， ， 在中中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选B． 4．已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点（关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数），掌握各象限内点的坐标特征即可解题． 【详解】解：与点关于原点对称的点在第三象限内， 点在第一象限， ， 解得：， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是点，点，点，点，则四边形的面积为 ． 【答案】94 【分析】本题考查坐标与图形，根据题意画出图形，再分别过点B、C作x轴的垂线、，垂足为E、G，根据四边形的面积为，求解即可． 【详解】解：如图：分别过点B、C作x轴的垂线、，垂足为E、G， 四边形的面积为 故答案为：94． 6．如图，六边形的面积为 ． 【答案】135 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的判定，三角形面积公式，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M，构造矩形，矩形的面积减去，，，的面积即为六边形的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M， ，， 轴， 又 轴，x轴轴， 四边形为矩形， ，，，均为直角三角形， 六边形的面积 ， 故答案为：135． 7．在平面直角坐标系中，已知一个四边形的顶点坐标分别为、，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形；根据坐标特点，利用割补法即可求解． 【详解】解：如图，，， 点A到的距离，点A到的距离； ∴四边形的面积为： ； 故答案为：． 8．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且线段被轴平分，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解题的关键是先联立，求出，，设点C的坐标为，根据线段被轴平分，求出，得出点C的坐标，最后求出k的值即可． 【详解】解：联立， 解得：，， ∴，， 设点C的坐标为， ∵线段被轴平分， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 9．在一块表面光滑的木板上按如图所示的方式建立直角坐标系，并且分别在点、处各钉一枚钉子，再把一条长2018个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处的钉子上，然后按的规律缠绕在点这四处的钉子上，形成一个矩形线圈，假设线圈都在同一个平面上，那么细线缠绕完后，它的另一个端点所在的位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．先求出四边形的周长为10，得到的余数为8，由此即可解决问题． 【详解】解： 、， ，，，， 绕四边形一周的细线长度为， ， 细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置， 即细线另一端所在位置的点在处上面个单位的位置，坐标为． 故答案为：． 10．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】设点，根据二次函数和直角坐标系的性质，分别求出点A横坐标、点D横坐标、点E横坐标，通过计算即可完成求解． 【详解】解：设点， 根据题意，得点C纵坐标为，点E纵坐标为 ∵点在抛物线上 ∴点C横坐标 ∴点A横坐标 ∵点A在抛物线上， ∴点A纵坐标 ∴点D纵坐标 ∵点在抛物线上 ∴点D横坐标 ∴ ∵点E纵坐标为，点E在抛物线上， ∴点E横坐标 ∴ ∴ 故答案为：． 11．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和．点C和点D分别是x轴和y轴上的动点．    (1)当四边形的周长最短时，求点C，D的坐标． (2)求（1）中四边形的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查坐标与图形，轴对称——最短路径问题，求一次函数解析式，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作A点关于x轴的对称点，B点关于y轴的对称点，连接，与坐标轴的交点即为点C和点D； （2）连接，则轴，根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，作A点关于x轴的对称点，B点关于y轴的对称点，连接交x轴于点C，交y轴于点D，    由轴对称的性质可得，， ， C，D两点即为所求的点． 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，；当时， ，； （2）解：如图，连接，则轴，    ． 12．直线与交于第二象限内一点，直线交y轴于点，交x轴于点A，． (1)求点A的坐标及a的值． (2)若，求直线的解析式． 【答案】(1)，3 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积与一次函数，待定系数求函数解析式的综合应用． （1）根据和列出关于的方程，A点坐标，再根据求a即可； （2）利用求出，再利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：由已知，，点， ∴点M到y轴距离为2，， ， ∴， ， ∴， ． （2）， ∴ ∴，， 又∵， 设的解析式为， 则， 解得， 的解析式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题33 平面直角坐标系 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）如图，将一个三角板按如图所示的方式放在一个平面直角坐标系中，然后绕点按顺时针方向旋转到的位置．如果，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理以及30度角所对直角边等于斜边的一半等知识，由旋转的性质得得过点C作轴于点，求得 ，从而得出点C坐标． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴ 过点C作轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为， 故选：B 考点突破 一、平面直角坐标系中点的特征 【学霸笔记】 1. 对于点， 在第一象限时，； 在第二象限时，； 在第三象限时，； 在第四象限时，. 2. 对于点， 在x轴上时，； 在y轴上时， 3. 对于点， 在第一、三象限的角平分线上时，； 在第二、四象限的角平分线上时，. 4. 点到x轴的距离为，到y轴的距离为. 5. 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）在第四象限内有一点，且，那么点M关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标，先求得点M的坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：依题意，， ∴点关于原点对称的点是． 故选：A． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若分式不论取何值总有意义，则点在第 象限． 二、点的坐标规律 【典例】（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转30°得到点，延长到，使得；再将点绕点按逆时针方向旋转30°得到点，然后延长到，使得；…；如此操作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．也考查了规律型问题的解决方法．根据题意，每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上，据此即可求解． 【详解】解：， 每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2014次，点依次落在点、的位置，则点的横坐标为（    ） A．1343 B．1510 C．1610 D．2014 三、坐标与图形性质 【典例】 （2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，图中每一个小正方形方格的边长都为1． (1)在图中画出线段关于轴的对称线段； (2)在（1）的条件下，将线段绕点旋转一定的角度得到对应线段，使得轴，画出满足条件的线段； (3)在（2）的条件下，若有一条直线将四边形的面积平分为相等的两部分，请直接写出满足条件的实数，并在图中画出这条直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点的位置，然后连接即可； （2）根据轴对称的性质找出点关于直线的对称点，即为所求的点； （3）首先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可知，平分四边形面积的直线经过该平行四边形的中心，然后求出的中点，代入直线计算即可求出值． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求； （2）如图，作点关于直线的对称点， ∵， ∴， ∴轴， 即线段即为所求； （3）由轴对称的性质可得，， 又∵轴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴平行四边形的中心坐标为， 将点代入直线， 可得 ， 解得 ， 作直线，则直线可将四边形的面积平分为相等的两部分． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、平行四边形的判定与性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握轴对称的性质和平行四边形的性质是解题关键． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）矩形的顶点A在函的图象上，边在x轴上，点E是的中点，且在函数上的图象上，已知点A的坐标为，点E的横坐标为t． (1)求函数的解析式； (2)当时，求t的值 模拟演练 1．若点关原点对称的点在第一象限，则整数的解的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第秒时质点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 5．在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是点，点，点，点，则四边形的面积为 ． 6．如图，六边形的面积为 ． 7．在平面直角坐标系中，已知一个四边形的顶点坐标分别为、，则四边形的面积为 ． 8．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且线段被轴平分，则的值为 ． 9．在一块表面光滑的木板上按如图所示的方式建立直角坐标系，并且分别在点、处各钉一枚钉子，再把一条长2018个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处的钉子上，然后按的规律缠绕在点这四处的钉子上，形成一个矩形线圈，假设线圈都在同一个平面上，那么细线缠绕完后，它的另一个端点所在的位置的坐标为 ． 10．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 11．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和．点C和点D分别是x轴和y轴上的动点．    (1)当四边形的周长最短时，求点C，D的坐标． (2)求（1）中四边形的面积． 12．直线与交于第二象限内一点，直线交y轴于点，交x轴于点A，． (1)求点A的坐标及a的值． (2)若，求直线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$