精品解析：2025年辽宁省铁市 铁岭县莲花第一初级中学中考二模数学试题

2025年辽宁省铁岭县莲花一中二模 数学试卷 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（） A. B. C. D. 5. 数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A. B. 1 C. 或 D. 0或 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B. C. D. 7. 元旦汇演前，音乐老师给九年级（1）班和九年级（2）班推荐了《歌唱祖国》《团结就是力量》《明天会更好》三首歌曲，每个班级从这三首中任选一首作为合唱曲目，那么两班刚好选择相同曲目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下面是某同学的一次小考卷，她的得分应是（ ） 姓名：×××班级：九（3） 得分：__________ 判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”． ①盈利元表示亏损1000元（√） ②当时，分式有意义（√） ③长为，宽为的矩形面积一定比2大比3小（√） ④因式分解：（√） ⑤命题“矩形对角线相等”的逆命题也是真命题（√） A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程组的解为__________． 12. 如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为__________． 13. 在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则_________． 14. 如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）化简：． 17. 为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出方程为； 解法二：所列出的方程为． （1）解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月用电量； ③乙型号节能灯的数量 （2）请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 18. 某校运动会需要身高在165~185cm的学生组成彩旗方队，为此测量了一些学生的身高（单位：cm），经过整理、描述和分析（所选学生的身高x共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 信息一：所选学生身高数据的频数分布直方图和扇形统计图如下 信息二：平均数、中位数和众数如下表 统计量 平均数 中位数 众数 所选学生的身高（单位：cm） 174 m 175 信息三：D组10名学生的身高情况（单位：cm）如下 180，180，181，181，182，182，182，183，184，185． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求C组学生的人数，并补全频数分布直方图； （2）求B组所在扇形的圆心角的度数，并确定m的值位于哪个组中； （3）站在第一排的D组中有一名身高184cm的学生因病无法参加，为保证队伍的整齐效果，小明建议增加两名身高182cm的学生，同时去掉一名身高180cm的学生，请你通过计算，评价小明的建议是否正确． 19. 某商店以15元每袋价格购进了某种海产品，经过一段时间的销售，对销售单价和日销售量进行了统计（部分数据），如下表： 销售单价x（元） 18 19 20 25 日销售量y（袋） 34 32 30 20 （1）求y与x之间的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）根据以上的关系式，小李认为如果日销售量多，日销售利润（其他成本忽略不计）就大，请你通过计算判断小李的说法是否正确． 20. 图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． （1）求此时伸缩棚布的长度； （2）求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 21. 如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． （1）判断并说明与的位置关系； （2）当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 22. 【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P，总能在函数T的图象上找到一点Q，使得点P与点Q关于直线对称，我们把函数S与函数T称为关于直线的对称函数，点P与点Q关于直线互为对称点，直线称为函数S和函数T的对称轴．例如点在函数的图象上，点在函数的图象上，点P与点Q关于x轴（直线）对称，函数与函数关于x轴（直线）互为对称函数． （1）函数关于直线的对称函数是 ； （2）若函数与函数是关于直线的对称函数，求这两个函数的对称轴； （3）若函数是函数关于对称轴直线的对称函数． ①当时，求函数关于对称轴直线的对称函数； ②已知点，点，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省铁岭县莲花一中二模 数学试卷 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂乘法和除法，合并同类项，幂的乘方法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题关键能准确找出题目中的现期量、基期量和增长率； 根据同比增长率公式“现期量=基期量×(1+增长率)”，列出方程即可． 【详解】解：设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，根据题意得 ． 故选：A． 5. 数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A. B. 1 C. 或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数轴的两点间的距离，绝对值方程，关键是理解数轴上两点间的距离的含义； 设所求数为x，依据数轴两点距离公式列出绝对值方程，根据绝对值定求解即可。 【详解】解：设所求的数为x， ∵数轴上一点为，它与的距离是个单位长度， ∴，即． 当时，解方程可得； 当时，解方程可得． ∴距离表示的点是个单位长度的数是或． 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识，正确解该不等式组是解题关键．分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， ∴该不等式的解集为 ， 将其表示在数轴上如图所示： 故选：B． 7. 元旦汇演前，音乐老师给九年级（1）班和九年级（2）班推荐了《歌唱祖国》《团结就是力量》《明天会更好》三首歌曲，每个班级从这三首中任选一首作为合唱曲目，那么两班刚好选择相同曲目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解随机事件的概率，画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：记《歌唱祖国》《团结就是力量》《明天会更好》分别为， 树状图如图所示： 共有9种可能，九年级（1）班和九年级（2）班刚好选择相同曲目的情况数为3种， ∴九年级（1）班和九年级（2）班抽中相同歌曲的概率． 故选：B 8. 下面是某同学的一次小考卷，她的得分应是（ ） 姓名：×××班级：九（3） 得分：__________ 判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”． ①盈利元表示亏损1000元（√） ②当时，分式有意义（√） ③长为，宽为的矩形面积一定比2大比3小（√） ④因式分解：（√） ⑤命题“矩形的对角线相等”的逆命题也是真命题（√） A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负数的意义，分式的定义，矩形的面积及二次根式的乘法，公式法分解因式，矩形的性质及判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据负数的意义，分式的定义，矩形的面积及二次根式的乘法，公式法分解因式，矩形的性质及判定逐一判定即可． 【详解】解：①盈利元表示亏损1000元，故原说法正确，故①正确； ②不是分式，故原说法错误，故②错误； ③长为，宽为的矩形面积为，而，即，故原说法正确，故③正确； ④，故原说法错误，故④错误； ⑤命题“矩形的对角线相等”的逆命题是对角线相等的四边形为矩形，是假命题，故⑤错误， ∴答对2题，共得40分． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，证明四边形是矩形，故有，，通过勾股定理得，则有，从而求出顶点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：． 10. 如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在截取， ∵平分，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①+②，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， 故答案为：． 12. 如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系求出，即可求解． 【详解】解：∵为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，锐角三角形函数，把握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠以及得到，再由等角的正切相等即可求解． 【详解】解：连接交于点， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质及其尺规作图，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由勾股定理可得，由角平分线的性质可得，根据，可求出的长，则可求出，由作图方法可得垂直平分，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于H， 在中，， ∴ 由作图方法可知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，分式的化简等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用求一个数绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的运算法则逐步计算即可； （2）先进行括号内的分式的加法，利用提公因式法和公式法对分式进行因式分解，然后再约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． （1）解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 （2）请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1），； （2）每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 18. 某校运动会需要身高在165~185cm的学生组成彩旗方队，为此测量了一些学生的身高（单位：cm），经过整理、描述和分析（所选学生的身高x共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 信息一：所选学生身高数据的频数分布直方图和扇形统计图如下 信息二：平均数、中位数和众数如下表 统计量 平均数 中位数 众数 所选学生的身高（单位：cm） 174 m 175 信息三：D组10名学生的身高情况（单位：cm）如下 180，180，181，181，182，182，182，183，184，185． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求C组学生的人数，并补全频数分布直方图； （2）求B组所在扇形的圆心角的度数，并确定m的值位于哪个组中； （3）站在第一排的D组中有一名身高184cm的学生因病无法参加，为保证队伍的整齐效果，小明建议增加两名身高182cm的学生，同时去掉一名身高180cm的学生，请你通过计算，评价小明的建议是否正确． 【答案】（1）30人，图见解析 （2），m的值位于B组中 （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等统计知识，解题的关键是理解形统计量的意义，利用图表信息进行计算和分析． （1）根据组在扇形统计图中的占比以及已知的频数求出总人数，进而求出组人数并补全直方图； （2）先求出组人数及占比，再计算圆心角度数，根据中位数定义确定所在组； （3）分别计算调整前后数据的方差，根据方差判断数据波动情况，进而评价建议是否合理． 【小问1详解】 解：已知总人数为加上组人数．又因为组人数占总人数的， 设总人数为，则组人数为， 可得， 解得人， 所以组人数为人， 补全频数分布直方图： 【小问2详解】 解：组人数为40人， 组人数占总人数的比例为， 则组所在扇形的圆心角的度数为， 一共有100个数据，中位数是第、个数据的平均数，组有20人，组有40人，前两组共人，所以第、个数据在组中， 即的值位于组中； 【小问3详解】 评价小明的建议正确， 原组数据180，180，181，181，182，182，182，183，184，185， 平均数， 方差 ， 调整后的数据， 平均数， 方差 ， 因为，方差越小数据越稳定，说明调整后数据波动更小，队伍更整齐， 所以小明的建议正确． 19. 某商店以15元每袋的价格购进了某种海产品，经过一段时间的销售，对销售单价和日销售量进行了统计（部分数据），如下表： 销售单价x（元） 18 19 20 25 日销售量y（袋） 34 32 30 20 （1）求y与x之间的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）根据以上的关系式，小李认为如果日销售量多，日销售利润（其他成本忽略不计）就大，请你通过计算判断小李的说法是否正确． 【答案】（1） （2）小李的说法不正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式并检验即可； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质求出函数最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为（），把，代入得： ， 解得：， 故y与x的函数关系式为； 经检验符合题意． 【小问2详解】 解：设利润为元，则 ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，w有最大值，． ∴小李的说法不正确． 20. 图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． （1）求此时伸缩棚布的长度； （2）求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】（1） （2）E到墙距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的判定与性质，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）证明出为等边三角形，即可求解； （2）过点作于点，于点，可得四边形为矩形，则，解，求出，，则，解求得，再由即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，于点， 由题意得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， 答：E到墙的距离约为． 21. 如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． （1）判断并说明与的位置关系； （2）当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【答案】（1）直线与的位置关系是相切，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证； （）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解． 【小问1详解】 解：直线与的位置关系是相切，理由： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接，过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴弓形面积为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P，总能在函数T的图象上找到一点Q，使得点P与点Q关于直线对称，我们把函数S与函数T称为关于直线的对称函数，点P与点Q关于直线互为对称点，直线称为函数S和函数T的对称轴．例如点在函数的图象上，点在函数的图象上，点P与点Q关于x轴（直线）对称，函数与函数关于x轴（直线）互为对称函数． （1）函数关于直线的对称函数是 ； （2）若函数与函数是关于直线的对称函数，求这两个函数的对称轴； （3）若函数是函数关于对称轴直线的对称函数． ①当时，求函数关于对称轴直线的对称函数； ②已知点，点，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）设是函数的图象上一点，则可知点在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可得答案； （2）设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为，根据题意可得点在函数的图象上，据此求解即可； （3）①设点是函数的图象上一点，则 点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，设是函数的图象上一点，则点一定在函数关于直线的对称函数的图象上，据此可求出； ②同理可求出；在中，当时，，分别求出当点恰好在函数的图象上时，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，当点恰好在线段上时，当点恰好在函数的图象上时，四种情况下m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设是函数的图象上一点， ∵关于直线的对称点的坐标为， ∴点在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 【小问2详解】 解；设点是函数图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∵函数与函数是关于直线的对称函数， ∴点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴这两个函数的对称轴为； 【小问3详解】 解：①设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； ②设点是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为； 设是函数的图象上一点，则点关于直线的对称点坐标为， ∴点一定在函数关于直线的对称函数的图象上， ∴函数关于直线的对称函数为， 综上所述，； 在中，当时，， 如图3-1所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 如图3-2所示，当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时， ∴， 解得； 如图3-3所示，当点恰好在线段上时，则，解得； 如图3-4所示，当点恰好在函数的图象上时， ∴， 解得； 综上所述，当函数的图象与线段有且只有一个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于根据轴对称的性质得到对应函数的对称函数． 第1页/共1页 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