精品解析：2024年辽宁省铁岭市调兵山市中考二模数学试题

2023—2024学年度下学期随堂练习 九年数学（三） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 移动支付被称为中国新四大发明之一，据统计我国目前每分钟移动支付金额达3.79亿元，将数据3.79亿用科学记数法表示为（ ） A. 3.79×108 B. 37.9×107 C. 3.79×106 D. 379×106 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣3＝0（其中a为常数）的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 近日，某校组织“自然资源文化创意大赛”，旨在宣传“新时代、美自然、好生活”，大赛分为“平面类”、“视觉类”、“实物类”三个竞赛单元，各单元按成绩由高到低，分别设立金奖5名、银奖10名、铜奖15名、优秀奖30名．甲同学参加了“视觉类”竞赛，并且竞赛成绩进入了前30名，该同学想知道自己能否至少获得银奖，需比较自己的成绩与前30名同学成绩的（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在一次函数的图象上运动，当出现:以A、B、C为顶点的三角形构造成直角三角形时,就会发出警报,则点C在一次函数的图象上运动一次会发出几次警报(　　) A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次 9. 如图，边长为2的正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，当点A的对应点落在对角线上时，点B所经过的路径与围成的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险，于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为x分钟，水库中积水量为y吨，图中的折线表示某天y与x的函数关系，下列说法中： ①这天预警水库排水时间持续了80分钟； ②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分； ③预警水库最高积水量为1500吨； ④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为30吨/分． 其中正确的信息判断是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11 ________． 12. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为________s（结果保留整数）． 13. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________. 15. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，应购买A种型号帐篷至多多少顶？ 18. 为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表． 组别 男女生身高（） A B C D E 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，女生身高在B组的有________人； （2）在样本中，身高在之间的共有________人，人数最多的是________组（填组别序号）； （3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在之间的学生有多少人？ 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 20. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，） （1）求的长（不考虑其他因素）； （2）我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 21. 如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 22. 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 23. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期随堂练习 九年数学（三） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较及无理数的估算，估算出的范围，根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．正确估算的范围是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项各数中比大的数是． 故选：D． 2. 移动支付被称为中国新四大发明之一，据统计我国目前每分钟移动支付金额达3.79亿元，将数据3.79亿用科学记数法表示为（ ） A. 3.79×108 B. 37.9×107 C. 3.79×106 D. 379×106 【答案】A 【解析】 【详解】解：3.79亿= 3.79×108．故选A． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y≠0，这个条件. 【详解】A. 由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误； B. 由，可化为，且y≠0，故此项错误； C. ，化简为，由B项知故此项错误； D. ，可化为，故此项正确； 故答案选D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键． 5. 关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣3＝0（其中a为常数）的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝4a2﹣4×1×（﹣3）＝4a2+12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，，其中，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 6. 近日，某校组织“自然资源文化创意大赛”，旨在宣传“新时代、美自然、好生活”，大赛分为“平面类”、“视觉类”、“实物类”三个竞赛单元，各单元按成绩由高到低，分别设立金奖5名、银奖10名、铜奖15名、优秀奖30名．甲同学参加了“视觉类”竞赛，并且竞赛成绩进入了前30名，该同学想知道自己能否至少获得银奖，需比较自己的成绩与前30名同学成绩的（　　） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据设立金奖5名、银奖10名、铜奖15名，可知至少获得银奖，需比较自己的成绩与前30名同学成绩的中位数，即可求解． 【详解】甲同学参加了“视觉类”竞赛，并且竞赛成绩进入了前30名， ∵设立金奖5名、银奖10名、铜奖15名， ∴前15名至少获得银奖， ∴该同学想知道自己能否至少获得银奖，需比较自己的成绩与前30名同学成绩的中位数， 故选：C． 【点睛】本题考查了运用中位数作决策，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 8. 一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在一次函数的图象上运动，当出现:以A、B、C为顶点的三角形构造成直角三角形时,就会发出警报,则点C在一次函数的图象上运动一次会发出几次警报(　　) A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次 【答案】B 【解析】 【分析】分析题目，作出示意图，以AB为直径作圆与一次函数相交于点C，结合图形，由AB是直径，即可得到△ABC是直角三角形，过点B作圆的切线，根据切线的性质，即可解答. 【详解】根据题意,作出示意图,以AB为直径作圆与一次函数相交于点C.即可得到∠ACB=90°，则三角形ABC是直角三角形. 过点B作圆的切线与一次函数交于点E，则∠EBA=90°，则三角形ABCD是直角三角形. 故点C与点E都符合题意， 故选B. 【点睛】此题考查直角三角形的定义、圆的性质，切线的性质，解题关键在于作辅助线. 9. 如图，边长为2的正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，当点A的对应点落在对角线上时，点B所经过的路径与围成的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，扇形的面积，旋转变换等知识，连接，根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去两个三角形的面积，即可解答，解题的关键是理解题意，学会利用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 点为的中点， ， ， 正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，且点A的对应点落在对角线上， ， ， 故选：C． 10. 在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险，于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为x分钟，水库中积水量为y吨，图中的折线表示某天y与x的函数关系，下列说法中： ①这天预警水库排水时间持续了80分钟； ②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分； ③预警水库最高积水量为1500吨； ④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为30吨/分． 其中正确的信息判断是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图象得：分，水库开始积水，分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，分时，水库停止进水，只排水， 这天预警水库排水时间持续了分钟，故不符合题意； (吨/分)，也就是水位超过警戒位时预警水库排水速度比进水速度少吨/分，故符合题意； 从图象看出预警水库积水量为1500吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，故不符合题意； 从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为： (吨/分)，故符合题意； 综上，符合题意的有， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方和负整数指数幂的运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为________s（结果保留整数）． 【答案】2； 【解析】 【分析】物体回落到地面，也就是为0，求解即可． 【详解】解：物体回落到地面即为10x-4.9x2=0， 解得：x1=0（不合题意舍去），x2=≈2， 因此物体落回地面所需要的时间x约为2s． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是本题的关键． 13. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展开所有9种等可能的结果数，再找出两个中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解. 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个给“好评”的结果数为5， 所以两人中至少有一个给“好评”的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展开所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率. 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 15. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 又折叠图形可得， ，解得或， 即或． 在中，设， 当时，，，， ， 解得，即， 当时，，，， ， 解得，即． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）方程两边同乘，得：， 化简，得：， 解得：， 检验：时，， 是增根，原分式方程无解． 17. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，应购买A种型号帐篷至多多少顶？ 【答案】（1）每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元 （2）应购买A种型号帐篷至多5顶 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次不等式的应用， （1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，根据购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元列出二元一次方程组求解即可； （2）设A种型号帐篷购买m顶，则B种型号帐篷为顶，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． 【小问2详解】 解：设A种型号帐篷购买m顶，则B种型号帐篷为顶， 由题意得，得， 答：应购买A种型号帐篷至多5顶 18. 为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表． 组别 男女生身高（） A B C D E 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，女生身高在B组的有________人； （2）在样本中，身高在之间的共有________人，人数最多的是________组（填组别序号）； （3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在之间的学生有多少人？ 【答案】（1）12 （2）10；C （3）541人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体等： （1）根据男生的频数分布直方图求出女生的总人数，进而求出女生身高在B组的人数即可； （2）分别求出样本中男女生各个分组的人数即可得到答案； （3）用500乘以样本中男生身高在之间的人数占比，再加上480乘以女生身高在之间的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，样本中女生总人数为人， ∴在样本中，女生身高在B组有人， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：在样本中，身高在之间的共有人； 样本中女生A组有人，B组有12人，C组有人，D组有人，E组有人， ∴A组一共有10人，B组一共有16人，C组一共有26人，D组一共有18人，E组一共有10人， ∴C组人数最多； 故答案为：10；C； 【小问3详解】 解：人， ∴估计身高在之间的学生有541人． 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】（1） （2） （3）饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； 【小问2详解】 在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； 【小问3详解】 由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 20. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，） （1）求的长（不考虑其他因素）； （2）我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 【答案】（1） （2）符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得出，，根据，得出，求出，然后根据求出结果即可； （2）求出刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为：，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵， ∴， 同理，， 又∵，， ∴， 即 解得：， ∴， 答：的长约为； 【小问2详解】 解：， 刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为： ， ∵， ∴符合要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合． 21. 如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， 是的直径， ， ， ，即， 根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即， 解得，（舍去）， ，, 根据勾股定理，可得； 解法一：如图，过点作垂线段，交的延长线于点F， ， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 设，则， ， 可得方程，解得， ，， 根据勾股定理，可得． 解法二：如图，连接, ，， ， ， 又，，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键． 22. 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可． 【详解】（1）k＝1， 理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS） ∴EC＝DB，即k＝1； （2）①k值发生变化，k＝， ∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴，∠DAB＝∠EAC， ∴△EAC∽△DAB， ∴，即EC＝BD， ∴k＝； ②作EF⊥AC于F， 设AD＝DE＝a，则AE＝a， ∵点E为DC中点， ∴CD＝2a， 由勾股定理得，AC＝， ∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA， ∴△CFE∽△CAD， ∴，即， 解得，EF＝， ∴AF＝， 则tan∠EAC＝． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）长为或或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，由旋转可得，，则，进而证明，即可得证 （3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，勾股定理求得的长，进而求得的长，勾股定理即可求解；②当时，证明三点共线，即可求解．③当，且在上方时，过点E作于点G，得到，设，，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． 【小问2详解】 四边形是菱形， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 ①当时，如图所示，设交于点，过点作于点， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； ③如图，当，且在上方时，过点E作于点G ∴ ∴ ∴设， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了正切的定义，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$