第2讲 矩形 菱形 正方形-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第2讲矩形、菱形、正方形 课题1矩形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：41分） 厂夯实悬硒（第1~4题各3分，第5题6分，共 18分) 1.(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 第1题图 2.(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形， 下列条件中，不能判定□ABCD为矩形的是 A.∠A=90 B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 3.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE 平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE=15°，OA =6,则BE的长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 提升能力（第6~7题各3分，第8题8分，共 D 14分) 6.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向 外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED, 第3题图 第4题图 △ABE,△ACD的面积分别为S,S,S.若要求 4.(2024河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点 出S一S,一S的值，只需知道 () 的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值” A.△ABE的面积 如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别 B.△ACD的面积 与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最 C.△ABC的面积 小的是 D.矩形BCDE的面积 A.点A B.点BC.点C D.点D 5.如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,AD⊥DB,E,F分别是CD,BC 的中点. (1)求证：四边形OEFB是矩形； 第6题图 第7题图 (2)若AD=4,AC=10,求四边形OEFB的面积. 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在 边AD上，且DE=3,M,N分别是边AB,BC上 的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连 接PM,PN.若PM+PV=4,则线段PC的长是 集训川本 203 8.(2024吉安模拟)【课本再现】 冲刺名校（第9题9分） 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过 9.(2024南昌一模)【问题发现】 来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ (1)如图①，矩形ABCD中，AB=9,BC=12,P 【定理证明】 是矩形ABCD内一点.过点P作EF⊥AD,分别 (1)如图①，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 交AD,BC于点E,F,PE=4,AE=3,则： 于点O,且AC=BD,求证：□ABCD是矩形： ①PA= ，PB= 【知识应用】 PC= ,PD= (2)如图②，AD是△ABC的中线，AE∥BC,且 ②PA+PC与PB+PD的关系是 AE=号BC,连接DE,CE (用“>”“<”或 “=”连接). ①求证：AB=DE: 【类比探究】 ②当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是 (2)如图②，P是矩形ABCD外一点，过点P作 矩形？请说明理由. EF⊥AD分别交AD,BC所在直线于点E,F, (1)中②的结论还成立吗？请说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图③，在R1△ABC中，∠BAC=90°，P是 Rt△ABC外一点，PA=1,PB=3,PC=√5，则 BC的最小值为 三④ 204.2025江西数学 课题2菱形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：44分) 厂夯实星础（第1~5题各3分，第6题6分，共 21分) 1.(2024临夏)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的 D 顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3， 4),则顶点A的坐标为 () 图② A.(-4,2) B.(-√3,4) C.(-2,4) D.(-4W3) 第1题图 第2题图 2.如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°，则 AC的长为 () A司 B.1 c D.5 3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,E为边BC的中点，连接OE.若AC=6,BD= 8,则OE= A.2 C.3 D.4 第3题图 第4题图 4.中考新方向·条件补充题如图，在口ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何铺 提升能力（第78题各3分，第9题8分，共 助线的情况下，要使口ABCD是菱形，可以添加 14分) 的一个条件是 7,(2024武威)如图①，动点P从菱形ABCD的点 5.(2024九江浔阳区一模)已知菱形的两条对角线 A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时 分别是一元二次方程x2一14x+48=0的两个实 停止.设点P的运动路程为x,PO的长为yy与 数根，则该菱形的面积是 x的函数图象如图②所示，当点P运动到BC中 6.(2024扬州)如图①，将两个宽度相等的矩形纸条 点时，PO的长为 () 叠放在一起，得到四边形ABCD. (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由： (2)若矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至 如图②所示位置时，四边形ABCD的面积为 图① 图② 8cm.求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的 第7题图 度数 A.2 B.3 C.5 D.22 集训本。205 8.如图，已知AB=6,P为线段AB上的 一冲刺名校（第10题9分） 一个动点，分别以AP,PB为边在AB 10.(2024吉安一模)【课本再现】 的同侧作菱形APCD和菱形PBFE 菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直 点P,C,E在一条直线上，∠DAP 【定理证明】 60°，M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P (1)如图①，已知四边形ABCD为菱形，前面已 在线段AB上移动时，点M,N之间的距离最短 证菱形的四条边相等，请进一步证明对角线AC 为 ⊥BD: 【知识应用】 (2)如图②，已知四边形ABCD为菱形，等腰三 角形EFG的顶点F在BC上，底边FG交CD 边于点M,M为FG的中点，N为AD与EM的 第8题因 交点，且DM=DN: 9.(2024云南)如下图，在四边形ABCD中，E,F, ①求证：AC⊥FG: G,H分别是各边的中点，且AB∥CD,AD∥BC, ②若AB/EF,AE/FG,sin∠BAC-号，AE 四边形EFGH是矩形. 2,求EG的长. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB的长 206.2025江西数学 课题3正方形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：44分) 厂夯实星础（第1~5题各3分，第6题6分，共 (2)若正方形ABCD的面积为72，BF=4,求菱 21分) 形AECF的面积. 1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与x轴、y 轴的正半轴重合，则点C的坐标为 A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3.-3) E 第1题图 第2题图 2.原创题如图，在正方形ABCD中，点E,F分 别在BC和AD边上，BE=2,AF=6,AE∥CF, 则四边形AECF的面积为 () A.36 B.40 C.48 D.64 3.(2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正 方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若 AB=6,CE=2,则DH的长为 () A.2 B.3 n.号 第3题图 第4题图 4.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一 「提升能力（第7~8题各3分，第9题8分，共 点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB 14分) 的距离为 7.(2024重庆B卷)如图，在边长为4的正方形 5.(2024福建)如图，正方形ABCD ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一 的面积为4，E,F,G,H分别为边 点，连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点 M.若BE=DF=I,则DM的长度为 () AB,BC,CDAD的中点，则四边 形EFGH的面积为 第5题因 A.2 B.5 C.6 12 D. 6.(2024长沙一模)如下图，四边形AECF是菱形， 对角线AC,EF交于点O,D,B是对角线EF所 在直线上两点，且DE=BF,∠ADO=45,连接 AB.CD.CB. B E (1)求证：四边形ABCD是正方形： 第7题图 第8题图 集训川本 207 8.中考新方向·古代文化七巧板是一种拼图玩 【猜想证明】 具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，若七 (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由； 巧板中标有3的平行四边形的面积S=2,则图 (2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与E'F 中标有5的正方形的面积S的值为 的数量关系并加以证明： 9.如下图，已知四边形ABCD为正方形，AB= 【解决问题】 32,E为对角线AC上一动点，连接DE,过点E (3)若图①中AB=15,CF=3,则DE= 作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作 矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形： (2)探究：CE十CG的值是否为定值？若是，请求 出这个定值：若不是，请说明理由. 图② 一冲刺名校（第10题9分） 10.(2024赣州大余二模)【问题情境】 如图①，E为正方形ABCD内一点，∠AEB 90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转 90°，得到△CBE(点A对应点C).延长AE交 CE'于点F,连接DE, 208.2025江西数学:四边形ABCO是平行四边形， y米 形AFBD是平行四边形，∴.SAm=2S△A.又BD .BC=OA,BC∥OA. C(1,2) =DC,.S△c=2S△ee.SwiD=S△M.∠BAC OALy轴，BC⊥y轴. A(3,0),C(1,2),.BC=OA=3,O =90,AB=4,AC=6,∴SC=2AB·AC=号×4 A(3,0) CD=1,OD=2, ×6=12,.Ss边形wm=12 .BD=CD+BC=1+3=4,,.B(4,2). 11.√4T【解析】如图，作点A关 7.证明：：四边形ABCD是平行四边形， 于直线BC的对称点A',连接 ∴.AB=CD,AB∥CD,.∠BAE=∠DCF A'D交BC于点M',则AH= 又AE=CF. AH=2AB=2,AH⊥BC. .△BAE≌△DCF(SAS),..BE=DF 8.解：①（答案不唯一） AM=A'M',.当点M,M重合时，MA+MD最小， (1)证明：：∠B=∠AED,.BC∥DE. 最小值为A'D的长.AD∥BC,AA'⊥AD.:AD 又，AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形. =5,AA=2AH=4,∴AD=√4+5=√V4T,即 (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， MA+MD的最小值为/4I. .DE=BC=10. 12.解：(1)证明：E是AB的中点，AE-BE .AD LAB, :DF=BF,∴.EF是△ABD的中位线， AE=√DE-AD=√I0-8=6. EF∥AD,.CF∥AD. 9.B【解析】由题意可知，点P从A到D需12s,点Q从 :AF∥CD,.四边形AFCD为平行四边形. C到B(或从B到C)需4s.设P,Q两点的运动时间为 (2)由(1)知，AD=2EF=2. t8.分以下三种情况讨论：①当0≤1≤4时，由题意可 ∠EFB=90°，tan∠FEB=3,.BF=3EF=3, 知，AP=tcm,CQ=3tcm.:PD∥CQ,PQ=CD,∴.四 ∴.DF=BF=3. 边形CQPD是等腰梯形或平行四边形.当四边形 AD∥CE,∴∠ADF=∠EFB=90, CQPD是等腰梯形时，如图①，过点Q作QH⊥AD于 AF=√AD+DF=√I3. 点H,过点C作CG⊥AD于点G,则∠QPH=∠D= :四边形AFCD为平行四边形，.CD=AF=I3. ∠B=60°，GH=CQ=3tcm,.∠PQH=∠DCG= :DF=BF,CE⊥BD,∴.BC=CD=I3. 30.PQ-CD-AB-6cm.:.PH-PQ-3 cm. 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥BC, DG-7CD=3 cm.AP+PH+GH+DG-AD= ∴·∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC, BC=12,t+3+3t+3=12,解得t=1.5.当四边形 ,∴.△OAD≌△OCB(ASA). ..OA=OC.OD=OB. CQPD是平行四边形时，如图②，此时PD=CQ= 31cm,1+31=12,解得1=3.故1为1.5或3时，PQ (2)BE=2AP.证明如下： =CD:②当4<t≤8时，若四边形CQPD是平行四边 如图，过点B作BH∥AE交DE于点H,连接 形，如图③，此时BQ=(3t-12)cm,AP=tcm.,AD PH.CH. =BC,PD=CQ,∴.BQ=AP,.3t-12=t,解得t=6. ∴∠DBH=∠BAC=6O. 由①知，若四边形CQPD是以CD,PQ为腰的等腰梯 AB=CE,AC=BD,..AB+BD 形，则PD>6cm,且PD>CQ,这种情况在4<t≤12 =AC+CE,即AD=AE, 时不存在，∴1为6时，PQ=CD:③当8<≤12时，若 ∴△ADE是等边三角形，∴∠D 60°，DE=DA, 四边形CQPD是平行四边形，如图④，此时CQ=(3t -24)cm.PD=(12-t)cm,∴.3t-24=12-t,解得1= △DBH是等边三角形，.BH BD=DH,,∴.BH=AC. 9,∴，t为9时，PQ=CD. 又，BH∥AC,.四边形ABHC是平行四边形， 综上所述，PQ=CD出现的次数是4 AH,BC互相平分. PH G D P为BC的中点，A,P,H三点共线，AH =2AP AD-ED. 在△ADH和△EDB中，∠D=∠D, DH=DB. ,∴.△ADH≌△EDB(SAS),∴.AH=BE,.BE=2AP. 图6 图4 10.I2【解析】：AF∥BC,∴.∠AFC=∠FCD.又 第2讲矩形、菱形、正方形 :∠AEF=∠DEC,AE=DE,∴.△AEF≌△DEC 课题1矩形的性质与判定 (AAS),AF=DC.BD=DC,AF=BD,∴.四边 1.C2.D 参考答案 73 3.B【解析】，四边形ABCD是矩形，AE平分∠BAD, 如图，作点N关于EC的对称点N',则点V在直线 .∠BAE=45°，∠ABC=90°，OA=OB=6, CD上，连接PN', ∴.∠AEB=∠BAE=45,∴.BE=BA ∴.PN=PN,CN=CN :∠CAE=15°，∠BAE=45°，.∠BAC=60 :PM+PN=4,.PM+PN=4=BC,∴.M.P,N三 又：OA=OB,∴.△OAB为等边三角形， 点共线且MN'∥AD∥BC,∴△CNP是等腰直角三 .BA=BO=6...BE=BA=6, 角形，四边形MBCN是矩形，.PN=CN'=BM, 4.B【解析】设点A的坐标为(a,b),AB=m,AD=m 四边形ABCD是矩形，AD=BC=,AB=CD ∴BN=BM-CV=CN,∴CN=BC=2,CN PN=2,.PC=22 m心D(a,h+m),B(a+m,b),C(a+m,b十n.a十m 8.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， <台<告，且m<中品 0A-AC.OB-OD-BD. .该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B 5.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AC-BD,:OA-OD-OB-7BD, ∴.∠ABO=∠BAO,∠ADO=∠DAO ∴OB=OD=2BD,AD∥EBC. ∠ABO+∠BAO+∠ADO+∠DAO=180°， 又：E,F分别是CD,BC的中点， ∴.∠BAO+∠DAO=90°， .EO,EF是△CDB的中位线， ∴.∠BAD=90°，∴□ABCD是矩形. ∴.EO∥BC,EF∥DB, (2)①证明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD ∴.四边形OEFB是平行四边形. AD⊥DB,AD∥BC, c .∠CBD=∠ADB=90°， AE-BC.AE-BD. .四边形OEFB是矩形. 又，AE∥BC, (2)四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABDE是平行四边形，AB=DE. AO-CO-AC-5.BC-AD-4. ②当△ABC满足AB=AC时，四边形ADCE是矩形. 在R1△ADO中，AD=4,AO=5,∠ADO=90°. 理由如下： .DO-VAO-ADT=3...OB=DO=3. :AE=2BC,BD=CD=专BC∴AE=CD 由(1)可知，EO是△CDB的中位线，四边形OEFB是 :AE∥BC,.四边形ADCE是平行四边形. 矩形 .AB=DE,AB=AC, OE=2BC=2,四边形OEFB的面积是OE·OB ∴.AC=DE,.四边形ADCE是矩形 =2×3=6. 9.解：(1)①53每/10丽/7 6.C【解析】如图，过点A作AG⊥ED ②PA+PC=PB+PD (2)成立.理由如下： 于点G,交BC于点F ,四边形BCDE是矩形， :四边形ABCD是矩形， ·∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°，BC ∴.∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， ∥ED,BC=ED,BE=CD. .∠EAB=∠FBA=90, ∴.四边形BFGE是矩形，AF⊥BC, :EF⊥AD, ∴.FG=BE=CD, ∴∠E=90, ,.四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， ∴S-S-S=2ED·AG-BE·EG-2CD ∴.AE=BF,DE-CF. DG-2ED·AG-2FPG·(BG+DG)=2ED·AG PD=DE+PE =CF+PE,PA=AE +PE= BF+PE, 2PG:ED=2ED·AF=2BC·AF=Sx .PD-PA =CF-BF PC=CF+PF PB:=BE +PF. ∴.只需知道△ABC的面积，就可求出S-S一S ∴.PC-PB=CF-BF, 的值. .PC-PB=PD-PA°， 7.2巨【解析】：四边形ABCD是矩 ∴.PA+PC=PB+PD. 形，∴.∠D=∠BCD=90°. (3)/厅-1【解析】(3)如图，过点P作PM⊥CA交 :DE=AB=CD=3,∴△CDE是等 CA的延长线于点M,则∠PMC=90°，BN⊥PM交 腰直角三角形，∴.∠PCD=∠PCN PM的延长线于点N,CT⊥NB交NB的延长线于点 =45°. T,连接AT,PT,∴.PC=Pf+CF,PA=Pf+ 74己025江西数学 AM.'∠BAC=90°，.∠BAM 120°，∠EPB=60°.M,N分别 =90°. 是对角线AC,BE的中点， '∠AMN=∠N=∠CTN= .∠CPM= 90,.四边形ABNM和四边形 2∠APC=60, CTNM都是矩形，.TN=CM. ∠EPN=2∠EPB=30,∠MPN=60°+30=90 BN=AM,..PT PN +TN:PN:+CM,PB= PN+BN=PN+AM. 设PA=2x,则PB=6-2x,PM=x,PN=3(3-x). :.PT-PC=PN-PM,PB:-PA=PN:-PM :.PT-PC PB:-PA. MN=F+B3-j-√(-+，x PA=1.PB=3,PC=3, 号时，点M,N之间的距离最短，最短距离为2 ∴PT=√PB+PC-PAF=√3+(3)-1=√/T. 9.解：(1)证明：如图，连接AC,BD交于点O,交FG于点 TA+PA≥PT,.TA+1≥1I,.TA≥T-1. N,交HG于点M. AB∥MN,.∠ABT=∠N=90°，.四边形ABTC :AB∥CD,AD∥BC, 是矩形，，TA=BC,∴.BC≥√/T-1,.BC的最小值 ∴四边形ABCD是平行四边形. 为T-1. :四边形EFGH是矩形，∴∠HGF =90°， 课题2菱形的性质与判定 :H,G分别是AD,DC的中点， 1.C2.D 3.B【解析：四边形ABCD是菱形，0C-AC,OB :HG∥AC,HG=AC,∠HGF=∠GNC ∴.∠GNC=90 -BD.ACLBD. :G,F分别是DC,BC的中点， AC=6.BD=8,..OC=3,0B=4. GF∥BD.GF=2BD∠GNC=∠M0C=90, ∴.在Rt△BOC中，BC=/OB+OC=5. ∴BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形 又E为边C的中点0E-号BC-多 (2),矩形EFGH的周长为22， ..HG+FG=11...AC+BD=22. 4.AB=BC(答案不唯一)5.24 6.解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下： :2AC·BD=10,ACBD=20. 如图①，过点C作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂 (AC+BD)=AC+2AC.BD+BD, 足为G ∴.AC+BD=444, :两个纸条为矩形，，AB∥CD,AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形. ∴AC+子BD=l.∴A0+B0=1. Sn=AB·CH=AD·CG且CH=CG, ∴.AB=AO+B0=111,.AB=/11I. ∴.AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形. 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ..AB=BC,OA=OC..'.ACI BD. (2)①证明：如图，设AC交MF于点P :等腰三角形EFG的顶点F在BC上，底边FG交 CD边于点M, 图2 ..EF=EG. (2)如图②，过点A作AM LCD,垂足为M M为FG的中点，∴.EMLFG,∠EMG=90, :Sern=CD·AM-8cm且AM=2cm, :四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=BC=CD. ..CD=4 cm,.AD=CD=4 cm. 在R△ADM中.m∠1-0号∠1=30 :DM=DN,器-D DM DN 又∠D=∠D,∴.△DMN∽△DCA, 7.C【解析】结合图象可知，当x=0时，PO=AO=4;当 ∴∠DMN=∠DCA,.AC∥ME, 点P运动到点B时，PO=BO=2.:四边形ABCD为 ∴.∠APM=∠EMG=90°，∴.AC⊥FG. 菱形，.AC⊥BD,.∠AOB=∠BOC=90°，.AB= ②如图，设AC交EF于点Q BC=√OA+OB=2/5.当点P运动到BC中点时， :四边形ABCD是菱形， P0的长为2BC=5. ∴∠PCF=∠PCM,AB∥CD, ∴.∠PCF-∠PCM-∠BAC 8,3【解析】如图，连接PM,PN~四边形APCD和 由①可知AC⊥FG,∴.∠FPC=∠MPC=90°. 'PC-PC,∴.△FPC≌△MPC(ASA),∴.PF-PM. 四边形PBFE都是菱形，∠DAP=6O°，.∠APC= 参考答案75 :AE∥FG,∴.∠PAE=∠MPC=90 ∠DNE=∠FME, AC⊥FG,EM⊥FG,∴.四边形AEMP是矩形， 在△DEN和△FEM中， EN=EM, .PF=PM=AE=2,AP∥EM,.FM=4,∠FQP ∠DEN=∠FEM. =∠FEM. ∴.△DEN≌△FEMCASA),∴.DE=FE :AB∥EF,.∠FEM=∠FQP=∠BAC “,·四边形DEFG是矩形，，矩形DEFG是正方形 n∠BAC=告∴n∠FPEM-=告 (2)CE+CG的值是定值. :四边形DEFG和四边形ABCD都为正方形，.DE 即序-青∴BG=EF=5, =DG.AD=DC. '∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°， 课题3正方形的性质与判定 ∴.∠CDG=∠ADE. 1.C2.C AD-CD. 3.B【解析】由题意，得AB=AD-DC=6,CE=FG- 在△ADE和△CDG中，∠ADE=∠CDG, cG-2,AD/GE,∴△ADH△FGH,2器-0 DE=DG. .△ADE2△CDG(SAS),,AE=CG 3.DG=6-2=4DH=(DH+GH)= 34 ∴.CE+CG=CE+AE=AC=2AB=√2X3√2=6. =3. 10.解：(1)四边形BEFE是正方形 4.35.2 理由：，△CBE是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向 6.解：(1)证明：：菱形AECF的对角线AC和EF交于 旋转90°得到的， 点0， ∴.∠CEB=∠AEB=90°，∠EBE'=90. ∴.AC⊥EF,OA=OC,OE=OF 又：∠BEF+∠AEB=180°， DE-BF,.BO-DO. ∠BEF=90°，四边形BEFE是矩形. 又AC⊥BD,,.四边形ABCD是菱形. 由旋转可知，BE=BE, ∠AD0=45°，.∠DAO=∠ADO=45, ∴四边形BEFE是正方形 .AO=DO,∴.AC=BD. (2)猜想：CF=EF. ∴.四边形ABCD是正方形 证明：如图①，过点D作DH⊥ (2),正方形ABCD的面积为72， AE于点H,则∠AHD=90 ∠DAH+∠ADH=90. 2ACBD=72,号×4B0=72, .DA=DE. ∴.B0=D0=CO=AO=6,∴.AC=12. ∴AH=EH=合AE, BF=4,.OF=2. 四边形AECF是菱形， :四边形ABCD是正方形，.AB=DA,∠DAB ∴.EF=2OF=4,AC⊥EF, =90°， ·∠DAH+∠EAB=9O°，∴.∠ADH=∠EAB. ∴菱形AECF的面积-号AC·EF=24. ∠AHD=∠BEA, 7.D【解析】：四边形ABCD是正方形，.AB=AD, 在△ADH和△BAE中， ∠ADH=∠BAE, ∠ABE=∠ADF=9O°，BE=DF,.RI△ABE2 AD-BA. R△ADF(SAS),.AE=AF.:AM平分∠EAF, .△ADH≌△BAE(AAS),.AH=BE ∴.∠EAM=∠FAM.又AM=AM,△AEM≌ 由旋转可知，AE=CE △AFM(SAS),.EM=FM.,四边形ABCD是正方 由(1)可知，四边形BEFE是正方形， 形，∴.BC=CD=4,∠BCD=90°.设DM=x,则MC= CD-DM=4-x.CE=BC-BE=4-1=3.EM=FM .BE-EF :EF-AH-TAE-TCE..CF- =FD+DM=1十x,在R1△MCE中，根据勾股定理， E'F. 得Ef=MC+CE,即(1+x)=(4一x)+3,解得 (3)317【解析】(3)如图②. 过点D作DH⊥AE于点H.由 (2)可得△ADH2△BAE 8.2【解析】根据题意可得S,十S,=S十S.又，S,= ..AH=BE=E F.CF=3. S,.S=S=2 ..DH=AE=CE'=CF+EF= 图2 9.解：(1)如图，作EMLBC于点M,EN⊥CD于点N, 3+EF=3+BE.在Rt△ABE中，AB=15,根据勾股 ∴.∠MEN=90°. 定理，得AE+BE=AB,∴.(3+BE)+BE=15, ,E是正方形ABCD对角线上的点， .BE=9(负值已舍去)，∴.DH=AE=3+BE=12, .EM=EN. .EH=AE-AH=AE-BE=3.在Rt△DEH中， ∠DEF=90°，.∠DEN=∠FEM DE=√DHP+EH=/12+3=317. 76己025江西数学