第4讲 全等三角形-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第4讲全等三角形 (建议用时：50分钟满分：56分) C夯实圆础（第1~6题各3分，第7~8题各6 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC 分，共30分) =90°，AB=AC,D为BC上一 1.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠B=∠C.添 点，连接AD.过点B作BE⊥ B 加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是 AD于点E,过点C作CF⊥ 第6题图 AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1, A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC 则EF的长度为 C.AB=DC D.AF=DE 7.(2024乐山)如下图，AB是∠CAD的平分线，AC =AD,求证：∠C=∠D. B E 第1题图 第3题图 2.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了， 需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提 供相关数据.为了方便表述，将该三角形记为 △ABC,提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃 不一定符合要求的是 8.(2024南充)如下图，在△ABC中，D为BC边的 A.AB.BC.AC B.AB,BC,∠B 中点，过点B作BE∥AC,交AD的延长线于 C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC 点E 3.如图，在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD, (1)求证：△BDE≌△CDA: 连接BD,CE相交于点O,再连接AO,BC.若∠1 (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. =∠2，则图中全等三角形共有 ( A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 4.(2024成都)如图，△ABC≌△CDE.若∠D= 35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 「提升能力（第9~10各3分，第11题8分，共 0 14分) 第4题图 第5题图 9.(2024宜宾)如图，在△ABC中，AB= 5.(2024临夏)如图，在△ABC中，点A的坐标为 3√2，AC=2,以BC为边作Rt (0,1),点B的坐标为(4,1)，点C的坐标为(3， △BCD,BC=BD,点D与点A在BC 4),点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD 的两侧，则AD的最大值为 与△ABC全等，则点D的坐标为 A.2+32 B.6+22 C.5 D.8 集训本 195 【特例感知】(1)如图①，当MC=2时，∠CMN ∠DMF(填“>”“<”或“=”)： D B D 第9题图 第10题图 【类比迁移】(2)如图②，当MC=a时， 10.如图，AD是△ABC的角平分线，AD=CD,点 ①∠CMN ∠DMF(填“>”“<”或 E在边AC上，且CE=AB,连接DE.若∠C= “=”) 18°，则∠ADE的度数为 ②求证：△MCN≌△MDF. 11.如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE=62, 【拓展应用】(3)在图③中，过点A作CB的平行 ∠A=∠D=60°，DE边交BC边于点F,且 线交DF的延长线于点G.当MC=a时， ∠ABD=∠CBE. ①∠GEB的度数为 ②求GF+EN的值（用含a的式子表示）. D C 图① 图② (1)如图①，求证：△ABC≌△DBE: (2)如图②，当点D恰好落在AC边上时， ∠DBF=15°，求CD的长. 厂冲刺名校7（第12题12分） 12.(2024南昌模拟)如图，∠ACB=90°，AC=BC =4.M是AC上一点，以CM为边在∠ACB的 内部作等边三角形DMC.N是BC上一点，连 接MN,以MN为边在MN的上方作等边三角 形MNF,连接FD,并延长FD交BC于点E. 196A。2025江西数学3.解：(1)AC∥DB 43 (2)如图，过点F作FH⊥BC于点H,则FH∥AC ∴AC-2AB=4.3cm-8cm 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A AQ-AC-号m =60°， .∠ABC=90°-∠A=30°. 六(Q-VAC-AQ-48E 20 em. AC=2, .AB=2AC=4, ∴PQ=433_33_7 204 -(cm). 5 ∴.BC=√AB-AC=23 7.168"或52或20°【解析】，BE平分 F为AB的中点， ∠ABC,∠ABC=64°，∴.∠ABE .FH-TAC-1.CH-BC-B ∠CBE=32.:∠AEB=70°， :△EBD为等腰直角三角形，BE为直角边， ∴.∠BEC=110.当△BEF为直角三BB月C 角形时，∠EBF不可能是90°，分情况讨论如下：①当 ∴.∠BED=45, ∴△EFH为等腰直角三角形， ∠BFE=90°，且点F在AB上时，如图，过点E作EF ⊥AB于点F.∠ABE=32°，.∠FEB=58, ..EH=FH=1.:.CE=CH-EH=3-1. .∠CEF=∠FEB+∠BEC=58°+110°-168°： 4.C【解析】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2,AB=6, ②当∠BFE=90°，且点F在BC上时，如图，过点E作 ·BC=AB+AC=√6+2=2/10.当AM1 EF:⊥BC于点F,同理，得∠FEB=58°，∴.∠CEF BC时，Se-号AB,AC-号BC·AM.号X6X2 =∠BEC-∠F:EB=110°-58°=52°：8③当∠BEF= 90时，点F在BC上，如图，过点E作EF,⊥BE交BC -名×2而·AM,解得AW=3厘：点M不与 于点F,∴.∠CEF=∠BEC-∠FEB=110°-90°= 20°.综上所述，∠CEF的度数为168°或52或20， 点B.C重合3≤AM<6当AM的长度为 第4讲全等三角形 整数值时，符合条件的AM的值有2,3,4,5，共4个， 1.D2.C 5.D【解析】如图，设直角三角形的两直角边为a,b,斜 3.A【解析】①在△AEO与△ADO中， 边为。.，图①中大正方形的面积是24，小正方形的面 (AE-AD. 积是4，.a2+6=c2=24,(b-a)2=a2+B-2ab=4, ∠1=∠2，∴.△AEO≌△ADO(SAS): ∴ab=10,图②中大正方形的面积为=+4×db OA=0A, ②".△AEO≌△ADO,.OE=OD,∠AEO=∠ADO, =24十2×10=44. .∠BEO=∠CDO. 在△BEO与△CDO中， ∠BEO=∠CDO, OE-OD. .△BEO≌△CDO(ASA): L∠BOE=∠COD 图D 图2 ③：△BEO2△CDO,∴.BE=CD,BO=CO,OE= OD...CE=BD. 【解析】如图，过点C作CQ⊥AB于点Q,交MN BE=CD. 于点P 在△BEC与△CDB中，∠BEC=∠CDB, CE=BD. ∴.△BEC≌△CDB(SAS): AE-AD. ④在△AEC与△ADB中，∠AEC=∠ADB, 由题意可知，MN=5-2=3(cm). CE=BD, GD∥EF,∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴.△AEC≌△ADB(SAS): .∠BAC=60°，CP⊥MN,∠MNC=30°， ⑤：△AEC2△ADB,∴.AC=AB. AB=AC, ∴∠AcQ=30,∠MPC=90,CM=MN=号em, 在△AOB与△AOC中，OB=OC. :PM-CM-3 em.:CP-/CNF-PSF OA=0A. ∴.△AOB2△AOC(SSS). 33 综上所述，图中全等三角形共有5对. 4.100°5.(1.4) :AB=8.6cm, 6.3【解析】：BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BEA=∠F 参考答案69 90°，∴∠BAE+∠ABE=90.∠BAC=90. '∠DBF=I5,∠ADB=∠C+∠DBF, ∴∠BAE+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠ABE. .∠C=45 ∠BEA=∠F, 如图，过点B作BM⊥AC于点M, 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF,∴.△ABE .∠CBM=∠C=45. AB=CA. ,BC=62,∴.MB=MC=6. ACAF(AAS),..BE=AF.AE=CF. :∠A=60°， BE=4.CF=1...AF=BE=4.AE=CF=1, .AM=25,AD=AB=43, .EF=AF-AE=4-1=3. 7.证明：AB是∠CAD的平分线，∠CAB=∠DAB. .CD=AC-AD=AM+MC-AD=23+6-43 AC=AD, =6-25. 在△ABC和△ABD中，∠CAB=∠DAB, 12.解：(1)= AB=AB. (2)①= ∴.△ABC≌△ABD(SAS),∴.∠C=∠D. ②证明：：△MCD,△MNF是等边三角形， 8.证明：(1)：D为BC的中点， ∴.∠CMD=∠NMF=6O°，MC=MD,MN=MF, .BD=CD.BE∥AC, .∠CMN=∠DMF,.△MCN2△MDF(SAS) ∴.∠EBD=∠C,∠E=∠CAD, (3)①60 .△BDE≌△CDA(AAS). ②如图，连接ME,过点M作MH∥BC,交EG于点 (2),D为BC的中点，AD⊥BC H,过点H作HI⊥AG于点 ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA=CA. :MH∥BC,AG∥BC, 由(1)可知，△BDE2△CDA, ∴.∠MAG=∠ACB=∠AMH-90, ..BE=CA...BA=BE. ∠AGH=∠GEB=60°=∠MHE. 9.D【解析】如图，将BA绕点B顾 :H1⊥AG, 时针旋转90得到BE,连接AE, .四边形AMHI是矩形，AM DE,.BE=AB,∠ABE=90°， =IH. ∴.AE=√2AB=6.∠DBC=90 MC=q,AC=4,..AM=IH=4-a. =∠EBA,∴.∠DBE+∠CBE=∠CBA+∠CBE, :∠1HG=90°-∠1GH=30°，∴.HG=21G,H1= ·∠DBE=∠CBA.又：BD=BC,BE=BA, 3G. ∴.△DBE≌△CBA(SAS),.DE=CA=2.在△ADE HG-23HI-83-2/3a 中，AD<AE+DE, 3 3 ∴当A,D,E三点共线时，AD有最大值，∴AD的最大 :∠CED=180°-∠GEB=120°，∠NCD=90°- 值为AE+DE=8. ∠MCD=30°. 10.108°【解析】：AD=CD,∴.∠DAC=∠C=18°， .∠EDC=30°.∠MDE=60°+30°=90 .∠ADB=36° MD=MC.ME=ME, :AD是△ABC的角平分线，.∠BAD=∠DAC, ,.Rt△MCE≌Rt△MDE(HL). .∠BAD=∠ECD. .∠CEM=∠DEM=60°. (AB=CE, 又：∠MHE=60°，∴.△MEH是等边三角形， 在△BAD与△ECD中，{∠BAD=∠ECD, ∴.ME=MH,∠EMH=60°=∠NMF, AD-CD. .∠EMN=∠HMF. ,.△BAD≌△ECD(SAS), 又，'MN=MF ∴.∠BDA=∠EDC=36°，∴.∠ADE=180°-36° .△MEN≌△MHF(SAS),.EN=HF, 36°=108. GF+EN-GF+HF-HG-83-2/3a 11.解：(1)证明：：∠ABD=∠CBE,.∠ABD+∠DBC 3 =∠CBE+∠DBC,即∠ABC-∠DBE. 【解析】(3)①由(2)②可知，△MCN≌△MDF, I∠A=∠D, .∠MCN=∠MDF=∠MDE=90°，∴.∠CMD+ 在△ABC与△DBE中，{∠ABC=∠DBE, ∠CED=180°，.∠CED=180°-60°=120°， BC=BE, ∴.∠GEB=60°. ,∴.△ABC≌△DBE(AAS) 第5讲相似三角形 (2):△ABC2△DBE,.AB= 1.B2.A DB.,∠A=60°，∴△ABD是等 3.C【解析】过点A作平行横线 边三角形， 的垂线，交点B所在的平行横线 ∴∠ABD=∠ADB=60°，AB 于点D,交点C所在的平行横线 =AD. 于点E,如图， 70 2025江西 数学