第3讲 等腰三角形与直角三角形-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第3讲等腰三角形与直角三角形 课题1等腰三角形 (建议用时：30分钟满分：33分) 「夯实尽（第1~4题各3分，第5题9分，共 (2)若CE=AB,AE=BE,求∠C的度数. 21分) 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，则 ∠ACD的度数为 A.70° B.100° C.110°D.140 C D 「提升能力（第68题各3分，共9分） 第1题图 第3题图 2.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC底边 6.(2024自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱 BC上的高.若点F到直线AB的距离为3，则点 CD⊥AB于点D,AB的长为12m,现将钢架立 F到直线AC的距离为 () 柱缩短成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢 () A是 B.2 C.3 A.(24-123)m B.(24-83)m 3.(2024南昌青山湖区模拟)如图，BD是等边三角 C.(24-63)m D.(24-4w3)m 形ABC的边AC上的中线.以点D为圆心，DB 长为半径画弧，交BC的延长线于点E,则 ∠BDE的度数为 ( A.120° B.110° C.100° D.140 4.(2024重庆B卷)如图，在△ABC 第6题图 第8题图 中，AB=AC,∠A=36°，BD平分 D 7.已知P为等边三角形ABC的边BC上的一点. ∠ABC交AC于点D.若BC=2, 若∠APC=104°，则在以线段AP,BP,CP为边 则AD的长度为 的三角形中，最小内角的大小为 () 第4题图 5.如右图，在△ABC中，点D,E分 A.14 B.16° C.24 D.26 别在边AB,AC上，DE∥BC,EB 8.(2024内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40°， 平分∠DEC. AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 (1)求证：BC=CE: 「冲刺名松（第9题3分） 9.(2024赣州寻乌一模)如图，在△ABC中，∠A 76°，D为AC边上一点，若BD将△ABC分成了 两个等腰三角形，则∠C的度数为 第9题图 集训本 193 课题2直角三角形 (建议用时：30分钟满分：24分) 厂夯实悬础（第1~2题各3分，第3题6分，共 厂提升能力7（第4~6题各3分，共9分） 12分) 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2,AB 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为边BC的 6,在边BC上取一点M(不与点B,C重合)，连接 中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度2cm AM.当AM的长度为整数值时，符合条件的AM 和8cm,则AD的长为 的值共有 () A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 0m123456789 第1题图 第2题图 B 图D 图2 2.(2024安徽)如图，在R1△ABC中，AC=BC=2, 第4题图 第5题图 点D在AB的延长线上，且CD=AB,则BD的 5.中考新方向·古代文化如图，图①是北京国 长是 ( 际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家 A.√10-√2 B.6-√2 赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼 C.22-2 D.22-√2 成.图①中大正方形的面积为24，小正方形的面 3.如下图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=60°，E 积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图② 是CB边上一动点，以BE为直角边构造等腰直 中大正方形的面积为 () 角三角形EBD,∠DBE=90°，DE交AB于点F. A.24 B.36 (1)AC与DB的位置关系是 C.40 D.44 (2)若AC=2,当F为AB的中点时，求CE 的长 6.(2024高安模拟)如图，一把直尺DEFG的一边EF 与含30°角的直角三角尺ABC的斜边AB重合，另 一边DG分别交AC,BC于点M,N.若点M,N在直 尺上的读数分别为2cm,5cm,且AB=8.6cm,∠C =90°，∠ABC=30°，则直尺的宽DE为 cm. B 第6题田 第7题图 厂冲刺名校7（第7题3分）】 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, BE平分∠ABC.若∠ABC=64, ∠AEB=70°，点F从点A出发沿A→ BC的路径向终点C运动，则当△BEF为直角 三角形时，∠CEF的度数为 194.2025江西数学=∠C=a.,AB的垂直平分线交AD于点F,FA= FB,∴.∠FAB=∠FBA.:∠ABC+∠C+∠BAC= 6/5 m BD-60DE-m 180°，即∠FBA+∠DBF+∠C+∠FAB+∠DAC= 品=4,5m·新钢架减少用钢为AB+AC AF=BD 180°，∠FAB+3+a+∠FAB+a=180°，∴.∠FAB +BC+CD-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD +a=90- 2A,即∠BAC=90-A -AE-BE-DE=(24-4√3)m. 8.100°【解析】：CD是边AB上的高，∴.∠CDB= 7.B【解析】如图，过点P分别作PD∥ ∠CDA=90°.：∠BCD=30°，∠ACB=80°.∴.∠ACD AB交AC于点D,PE∥AC交AB于 =∠ACB-∠BCD=50°，∠B=90°-∠BCD=60°， 点E,则四边形AEPD为平行四 ÷∠CAB=90°-∠ACD=40°.：AE是∠CAB的平 边形， 分线，∴∠EAB=∠CAB=20,∠AEB=180°- .DP=AE. :△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°. ∠EAB-∠B=100° :DP∥AB,.∠CPD=∠B=60°，∠CDP=∠BAC 9.12:15:10【解析】由题意，得BF⊥AC, =60°，∴△CDP为等边三角形， ÷2ABCE-7BC·AD-2AC:BR :.CP=DP=CD.:.CP=DP=AE. ,PE∥AC,∴.∠BEP=∠BAC=60°，∠BPE=∠C= AB=5,BC=4.AC=6, 6O,∴△BEP为等边三角形，∴.BP=PE=BE, ∴号×5CE-专×4AD=2X6BF, ∴△AEP就是以线段AP,BP,CP为边的三角形 .CE:AD:BF=12:15:10. :∠APC=104°，∴∠APB=180°-∠APC=76, 10.减少10”【解析】延长EF交CD于点G,如图 ∴∠APE=∠APB-∠BPE=16°，∠PAE=∠APC ,∠ACB=180°-50°-60°=70°， D×20P 一 -∠B=44,∠AEP=180°-∠BEP=120°， ∴.∠ECD=∠ACB=70°， 30 ∴.以线段AP,BP,CP为边的三角形的三个内角分别 ∴.∠DGF=70°+30°=100°. 为16,44°，120°， ∠EFD=110°，.∠D=110°- 50° 060 最小内角的大小为16 A× 100°=10°， 8.100°【解析】：AC=AE,BC=BD,∴.设∠AEC= .∠D应减少20°-10=10 ∠ACE=x,∠BDC=∠BCD=y,∴.∠A=180°-2x ∠B=180°-2y.,∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC 第3讲等腰三角形与直角三角形 +∠AEC+∠DCE=180°，∴.∠ACB+(180°-2.x)+ 课题1等腰三角形 (180°-2y)=180°，180°-(x+y)=∠DCE,∴∠ACB 1.C2.C +360°-2(.x+y)=180°.∴.∠ACB+2∠DCE=180. 3.A【解析】，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60. :∠DCE=40°，∴.∠ACB=100°. 又：BD是AC边上的中线，.BD平分∠ABC, 9.38°或26或14°【解析】由题意可知，△ABD与 ∴∠CBD=专∠ABC=30,由题意，得BD=ED, △DBC均为等腰三角形.对于△ABD,可分以下三种 情况讨论：①当AB=BD时，∠ADB=∠A=76, ∴.∠E=∠CBD=30,∴.∠BDE=180°-∠DBE ∠E=120°. ÷∠BDC=180-∠ADB=10,∠C=号×a80 4.2【解析】：AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C= -104)=38,②当AB=AD时，∠ADB=号×(180 72°.，BD平分∠ABC,.∠CBD=∠ABD=36, ∴.∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°= -∠A)=52°，∠BDC=180°-∠ADB=128 72°.∴∠BDC=∠C..BD=BC=2.:∠A=∠ABD ÷∠C=号×(180°-128)=26：0当AD=BD时， =36°，∴.AD=BD=2. 5.解：(1)证明：：EB平分∠DEC,.∠DEB=∠BEC ∠ADB=180°-2×76°=28°，∠BDC=180° ,DE∥BC,∴.∠DEB=∠EBC, ∠ADB=152∠C=专×180°-152)=14.综上 ∴·∠BEC=∠EBC,.BC=CE 所述，∠C的度数为38°或26°或14° (2):BC=CE,CE=AB,∴.BC=AB,∠C=∠A. 课题2直角三角形 设∠C=∠A=x. AE=BE,∴∠ABE=∠A=x, 1.A ∴.∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x, 2.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB .2x十2x+x=180°.解得x=36°.∠C=36 于点H.:AC=BC=2,∠ACB 6.D【解析】：△ABC是等边三角形，CDLAB,AB的 90°，CH⊥AB,.AB=22,AH 长为12m,.∠ABC=60°，AB=BC=AC=12m,BD BH=CH=√2.：CD=AB=22,.DH =AD=号AB=6m,BE=AE,∴CD=BC·Sin60°= CD-CΠ=6，∴.BD=√6-√2. 68 。己025江西数学 3.解：(1)AC∥DB ∴AC-2AB=4.3cm-8cm, 43 (2)如图，过点F作FH⊥BC于点H,则FH∥AC 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A =60°， ∴AQ-AC-号m, .∠ABC=90°-∠A=30 CQ-AC-AQ-43 20 cm. AC=2, ∴.AB=2AC=4, PQ=485_35-7✉ (cm). 20 4 5 ∴.BC=√AB-AC=23. 7.168或52或20°【解析】：BE平分 F为AB的中点， ∠ABC,∠ABC=64°，.∠ABE= :.FH-AC-1.CH-BC-. ∠CBE=32°.：∠AEB=70, :△EBD为等腰直角三角形，BE为直角边， .∠BEC=110°.当△BEF为直角三 D FF O ∠BED=45, 角形时，∠EBF不可能是90°.分情况讨论如下：①当 ∠BFE=90°，且点F在AB上时，如图，过点E作EF ,'.△EFH为等腰直角三角形， ⊥AB于点F.∠ABE=32°，∴.∠FEB=58, .EH=FH=1,∴CE=CH-EH=√3-1. ∴∠CEF,=∠FEB+∠BEC=58°+110°=168： 4.C【解析】在△ABC中，∠BAC=90,AC=2,AB=6., ②当∠BFE=90°，且点F在BC上时，如图，过点E作 .BC=√AB+AC=√6+2=2√10.当AM⊥ EF:⊥BC于点F,同理，得∠F:EB=58°，·∠CEF BC时.Sam=AB·AC=号BC·AM.号X6X2 =∠BEC-∠F2EB=110°-58°=52°：③当∠BEF= 9O时，点F在BC上，如图，过点E作EF:⊥BE交BC =号×2西·AM,解得AM=3.:点M不与 于点F,∴∠CEF=∠BEC-∠FEB=110°-90°= 5 20°.综上所述，∠CEF的度数为168或52或20. 点B,C重合3<AM<6,当AM的长度为 第4讲全等三角形 整数值时，符合条件的AM的值有2,3,4,5，共4个. 1.D2.C 5.D【解析】如图，设直角三角形的两直角边为4，b,斜 3.A【解析】①在△AEO与△ADO中， 边为c.:图①中大正方形的面积是24，小正方形的面 (AE=AD. 积是4，∴.a2+6=c2=24.(b-a)=a+6-2ab=4, ∠1=∠2，∴.△AEO≌△ADO(SAS): OA=0A. b-10,∴图②中大正方形的面积为=+4×号山 @△AEO≌△AD),.OE=OD,∠AEO=∠ADO, =24十2×10=44. ∴·∠BEO=∠CDO. 在△BEO与△CDO中， ∠BEO-∠CDO. OE=OD. ∴，△BEO≌△CDO(ASA): ∠BOE=∠COD, 图2 ③：△BEO≌△CDO,∴.BE=CD,BO=CO.OE= 613 OD,∴.CE=BD 5 【解析】如图，过点C作CQ⊥AB于点Q,交MN BE-CD. 于点P 在△BEC与△CDB中， ∠BEC=∠CDB, CE-BD. .△BEC≌△CDB(SAS): AE=AD ④在△AEC与△ADB中， ∠AEC=∠ADB. 由题意可知，MN=5-2=3(cm). CE=BD. GD∥EF,∠ACB=90°，∠ABC-30°， ∴.△AEC≌△ADB(SAS): ∴∠BAC=60°，CP⊥MN,∠MNC=30 ⑤：△AEC≌△ADB,.AC=AB. AB=AC, ∴∠AcQ-=30,∠MPC=90,CM=2MN=号em, 在△AOB与△AOC中，OB=OC, .PM-CM-3 cm.CP-C-PF- OA=OA, ,∴.△AOB≌△AOC(SSS). 9cnm 综上所述，图中全等三角形共有5对： 4.100°5.(1.4) .AB=8.6 cm, 6.3【解析】：BE⊥AD,CF⊥AD,∠BEA=∠F 参考答案 69