精品解析：河北省张家口市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法的导数公式即可得到结论． 【详解】. 故选：C 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 21 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】利用的通项公式求解. 【详解】解：的通项公式为：， 令，得， 所以含的项为， 所以的系数为-35， 故选：B 3. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 4. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 5. 在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ） A. -960 B. 960 C. 1120 D. 1680 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再利用二项式系数的性质求解作答. 【详解】因的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有，解得， 即的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大，， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120. 故选：C 6. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）． A. 420 B. 180 C. 64 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论A，D同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域有5种涂法，有4种涂法， ，不同色，有3种，有2种涂法，有种， ，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题. 7. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令，因为函数在上是可导的偶函数，所以在上也是偶函数 又当时， 在上是增函数 由得 选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第6项和第7项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 常数项为84 D. 有理项有2项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解. 【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误； 由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 所以奇数项的二项式系数和为，故B正确； 展开式的通项为 ，令，解得． 故常数项为，故C正确； 有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误． 故选：BC 11. 五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】记第次去洗车店为，第次去洗车店为，根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记第次去洗车店为，第次去洗车店为， 由题意可知， ， 对于A：，故A正确； 对于B：， ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键在于理清事件间的关系，运用全概率公式、条件概率公式进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则__________. 【答案】1.6## 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：1.6. 13. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解. 【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则 ， 则， 故答案为：0.8 14. 已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入可得，构造函数，则的图像与直线只有1个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可得解. 【详解】设切点为， 由，得， 所以切线的斜率为， 切线方程为， 因为点在切线上，所以， 即， 令，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 当时，，当时，， 所以的图象如图所示， 因为过点且与曲线相切的直线只有1条， 所以的图像与直线只有1个交点， 由图象可得或， 即实数的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求函数的单调区间和极值． 【答案】单调递增区间为和单调递减区间为 极大值为，极小值为. 【解析】 【详解】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出单调区间，并求出极值. 试题解析： ，令 ， + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则函数的增区间为，，减区间为； 当时，取得极大值，当时，取得极小值. 16. 某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组． （1）求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率； （2）用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1）. （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 ，.【解析】 【分析】（1）根据排列组合知识以及古典概型的概率公式可求出结果； （2）根据题意求出的所有可能取值以及取每个值对应的概率，可得分布列，再根据数学期望公式可得数学期望. 【小问1详解】 从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组，共有种， 其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的有种， 所以所求概率为. 【小问2详解】 的所有可能取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 17. 从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （1）若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率； （2）记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. （2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 设“一辆车未遇到红灯”为事件， 则. 【小问2详解】 随机变量的所以可能的取值为， 则 . . . 随机变量的分布列： 0 1 2 3 随机变量的数学期望：. 18. 已知函数，其中是常数. (Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围． 【详解】解：(Ⅰ)由可得 . 当时,,. 所以 曲线在点处的切线方程为， 即 （Ⅱ） 令， 解得或 当，即时，在区间上，，所以是上的增函数. 所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根. 当，即时，随的变化情况如下表 ↘ ↗ 由上表可知函数在上的最小值为. 因为 函数是上的减函数，是上的增函数， 且当时，有. 所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是 . 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题． 19. 设函数， （1）证明：. （2）当时，证明：. 【答案】（1） 因为，其定义域为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，证毕. （2） 当时，， 而， 要证，即证，即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 且， 当时，，故只需证明， 由（1）知，在上成立， 故，即成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析得的单调性，进而得到其最小值，从而得证； （2）利用分析法与同构法，构造函数，将问题转化为证明，利用（1）中结论即可得证. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 21 D. 35 3. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 4. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ） A. -960 B. 960 C. 1120 D. 1680 6. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）． A. 420 B. 180 C. 64 D. 25 7. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第6项和第7项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 常数项为84 D. 有理项有2项 11. 五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则__________. 13. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________. 14. 已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求函数的单调区间和极值． 16. 某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组． （1）求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率； （2）用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望． 17. 从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （1）若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率； （2）记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望． 18. 已知函数，其中是常数. (Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. 19. 设函数， （1）证明：. （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $