第9讲函数奇偶性讲义（知识梳理+典型例题+对应练习+答案）-2026届高三数学一轮复习

奇偶性 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数定义域内为D，如果对D内的任意一个，都有且，则称为偶函数． 一般地，设函数定义域内为D，如果对D内的任意一个，都有且，则称为奇函数． 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于轴对称 关于原点对称 函数 举例 函数 函数 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 例：判断下列函数的奇偶性 （1） （2）， （3） （4） （5） （6） 常见函数的奇偶性： 偶函数：、、、、... 奇函数：、、、... 一个函数是奇函数或偶函数，我们就说这个函数具有奇偶性． 2．奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ．(填“相同”、“相反”) (2)在公共定义域内 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (3)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，内奇同外． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0． (5)如果函数是偶函数,则，若,则还有； 如果函数是奇函数,则，若,则还有． (6)既是偶函数，又是奇函数的函数只有一类，即,D，且D关于原点对称． 1．奇偶函数的判断 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( ) (4)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝－2．( ) (5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( ) 考点一 函数奇偶性、单调性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【训练1】1．若函数与的定义域均为，则（ ） A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．（20全国Ⅱ文）设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 4．（21全国乙文理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 6．（24天津）下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 考点二 利用奇偶性求值 【例2】1．已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，，则（ ） 2．已知，其中是偶函数，且，则( ) A． B．1 C． D．3 【训练2】1．（20江苏）已知是奇函数，当x≥0时，，则的值是____． 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则＝( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 3．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 4．已知函数，若是偶函数，则______． 5．（20江苏）已知是奇函数，当x≥0时，，则的值是____． 小结：若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的值互为相反数,即. 考点三 奇函数+常数模型 【例3】1．已知，且，则( ) A． B． C． D．10 2．已知为奇函数，，， ． 【训练3】1．已知是奇函数，，则的值是 ． 2．设函数的最大值为M，最小值为，则_________． 3．已知,均为R上的奇函数,且在上的最大值为5,则在上的最小值为_________． 小结：若函数为奇函数,（为常数）,则. 考点四 利用奇偶性求函数解析式 【例4】1．已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，的解析式． 2．已知奇函数则__________． 【训练4】1．已知是定义在上的奇函数,当时,，则时的表达式为_________． 2．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 3．已知函数是奇函数,则_________． 4．（19全国Ⅱ文）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式． 考点五 利用奇偶性求参数① 【例5】1．已知函数是奇函数，则实数 ． 2．若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( ) A．1 B．－ C．1或－ D．0 【训练5】1．函数为偶函数，则实数 ． 2．若函数是奇函数，则等于（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________． 4．已知函数为偶函数，则a＝________． 5．已知函数为偶函数，其定义域为,则的值为_________． 6．设为常数，函数.若为偶函数，则_________． 7．（2022全国乙文T16） 若是奇函数，则_____，______． 小结：①方法一：利用函数奇偶性的定义；方法二：特殊值法 ②对于函数： （1）当时,它是偶函数;（2）当时,它是奇函数. 考点六 利用奇偶性求参数② 【例6】1．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D．1 【训练6】1．设函数，是偶函数，则实数a=____________ 2．已知函数是R上的偶函数，求实数＝________． 3．（21全国Ⅰ）已知函数是偶函数，则______． 4．（23全国乙文理）已知是偶函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 小结：对于有乘除的解析式，一般先考虑“同偶异奇”推出含参的部分的奇偶性求解 考点七 证明函数奇偶性 【例7】已知函数，R，若对于任意实数，都有．求证：为奇函数． 【训练7】1．已知是定义在上的函数，且满足对任意，都有． （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明． 2．已知对一切都成立，且，试判断的奇偶性． 3．已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意R，都满足． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论． 4．若函数的定义域是R,且对任意R都有成立． （1）试判断的奇偶性； （2）若,求的值． 考点八 单调性与奇偶性综合 【例8】1．已知在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． 2．定义在上的偶函数在上单调递减，若，求实数的取值范围． 【训练8】1．已知奇函数，是减函数，解不等式． 2．已知偶函数在上单调递减，，若，则的取值范围是__________． 3．已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D．随的值的变化而变化 4．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（20新全国Ⅰ/Ⅱ）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数,R对任意实数都有，且当时，． （1）试判断函数的奇偶性； （2）求证:函数在上是增函数． 8．设函数对任意R都有，且当时，，. （1）证明：为奇函数； （2）证明：在R上是减函数； （3）若,求的取值范围； （4）求在上的最大值与最小值． 9．函数对任意R都有，并且当时，． （1）判断函数是否为奇函数； （2）证明:在R上是增函数； （3）解不等式． 10．设是定义在上的减函数，且满足，． （1）求，，的值； （2）若,求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 奇偶性 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数定义域内为D，如果对D内的任意一个，都有且，则称为偶函数． 一般地，设函数定义域内为D，如果对D内的任意一个，都有且，则称为奇函数． 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于轴对称 关于原点对称 函数 举例 函数 函数 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 例：判断下列函数的奇偶性 （1） （2）， （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数；（5）奇函数；（6）偶函数． 常见函数的奇偶性： 偶函数：、、、、... 奇函数：、、、... 一个函数是奇函数或偶函数，我们就说这个函数具有奇偶性． 2．奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (3)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，内奇同外． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0． (5)如果函数是偶函数,则，若,则还有； 如果函数是奇函数,则，若,则还有． (6)既是偶函数，又是奇函数的函数只有一类，即,D，且D关于原点对称． 1．奇偶函数的判断 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×) 【解析】具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，而(0，＋∞)显然不关于原点对称． (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) 【解析】奇函数只有定义域包含0时才过原点，如定义域不包含0，故不过原点． (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (4)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝－2．(√) (5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×) 【解析】∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数， ∴y＝f(x)在(0，+∞)上是增函数，∵f(a)≥f(2)，∴，解得． 考点一 函数奇偶性、单调性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数； 【解析】（1）函数的定义域为,不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． ∵∴该函数是奇函数； （3）函数的定义域为R,关于原点对称． ∵ ∴该函数是奇函数． 【训练1】1．若函数与的定义域均为，则（ ） A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 【答案】D 【解析】，所以为偶函数； ，所以为奇函数． 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0．又f(x)＝ex＋a在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)在R上是增函数，则e0＋a＝1＋a≥0，解得a≥－1，所以a的最小值是－1． 3．（20全国Ⅱ文）设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】， 又∵均在(0,+∞)为递增函数，∴在(0,+∞)单调递增． 4．（21全国乙文理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 5．（多选）已知函数，的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】AD 【解析】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R， 关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以函数是奇函数，故C错误； 对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确． 故选：AD． 6．（24天津）下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，， 则，故A错误；对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误.故选：B. 考点二 利用奇偶性求值 【例2】1．已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，，则（ ） 【答案】12 【解析】∵是奇函数，∴． 2．已知,其中是偶函数，且，则( ) A． B．1 C． D．3 【答案】C 【解析】∵是偶函数，∴. ∵，∴ ∵,∴ ∴. 【训练2】1．（20江苏）已知是奇函数，当x≥0时，，则的值是____． 【答案】 【解析】，因为为奇函数，所以，故答案为： 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则＝( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】A 【解析】由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，＝． 又y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝，因此＝0． 3．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1． 所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3． 4．已知函数，若是偶函数，则______． 【答案】 【解析】因为是偶函数，所以， ， 即，解得.故答案为：. 小结：若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的值互为相反数, 即. 考点三 奇函数+常数模型 【例3】1．已知，且，则( ) A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】①② ①②得：∵ ∴. 2．已知为奇函数，，， ． 【答案】6 【解析】由，可得，可得， 又∵为奇函数，∴． 【训练3】1．已知是奇函数，，则的值是 ． 【答案】2 【解析】由得，，解得， ∵是奇函数，∴，故答案为2． 2．设函数的最大值为M,最小值为,则_________． 【答案】2 【解析】设， 其定义域为R，关于原点对称．∵∴为奇函数 ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数，∴∴． 3．已知，均为R上的奇函数，且在上的最大值为5，则在上的最小值为_________． 【答案】 【解析】设,则 ∵,均为R上的奇函数∴也是R上的奇函数 ∵当时,∴ ∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为 ∴. 小结：若函数为奇函数，（为常数），则. 考点四 利用奇偶性求函数解析式 【例4】1．已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，的解析式． 【答案】 【解析】设，则，， 因为为奇函数，所以 2．已知奇函数则__________． 【答案】 【解析】当时，，， 则．故答案为：. 【训练4】1．已知是定义在上的奇函数，当时,，则时的表达式为_________． 【答案】 【解析】设，则， 因为为奇函数，所以 2．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝ 【解析】当x＜0时， －x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1． 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1． 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0． 综上可得f(x)的解析式为f(x)＝ 3、已知函数是奇函数，则_________． 【答案】 【解析】当时,∴ ∵函数是奇函数,∴∴∴. 4、（19全国Ⅱ文）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是奇函数， 时，．当时，， ，得．故选D． 5．若函数是偶函数，函数是奇函数，且,求函数的解析式． 【答案】 【解析】∵函数是偶函数,函数是奇函数 ∴, ∵∴， 解方程组得:. ∴函数的解析式为. 考点五 利用奇偶性求参数① 【例5】1．已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】0 【解析】由奇函数的定义有， 则，解得． 2．若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( ) A．1 B．－ C．1或－ D．0 【答案】C 【解析】由2a2－a－1＝0，得a＝1或－． 【训练5】1．函数为偶函数，则实数 ． 【答案】4 【解析】， ∵为偶函数，∴，∴． 2．若函数是奇函数，则等于（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由奇函数的定义和定义域包含0可得，解得． 3．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________． 【答案】2；1 【解析】由f(0)＝0，得b＝1，再由f(－1)＝－f(1)，得＝－，解得a＝2． 4．已知函数为偶函数，则a＝________． 【答案】0 【解析】∵是偶函数，则带入特殊值， 解得． 5．已知函数为偶函数,其定义域为,则的值为_________． 【答案】 【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称∴， 解之得：.∴， ∵∴ ∴,解之得：∴． 6．设为常数，函数，若为偶函数，则_________． 【答案】2 【解析】∵为偶函数，∴， 即，解得． 7．（22全国乙文T16） 若是奇函数，则_____，______． 【答案】①. ；②. ． 【解析】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：， 即函数的定义域为，再由可得，． 即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 小结：①方法一：利用函数奇偶性的定义；方法二：特殊值法 ②对于函数： （1）当时,它是偶函数；（2）当时,它是奇函数. 考点六 利用奇偶性求参数② 【例6】1．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵函数为奇函数，且， 又∵为奇函数，∴为偶函数，∴1－2a=0，解得a＝． 【训练6】1．设函数，是偶函数，则实数a=____________． 【答案】－1 【解析】∵为偶函数，为奇函数， ∴为奇函数，由g(0)=0，得a=－1． 2．已知函数是R上的偶函数，求实数＝________． 【答案】0 【解析】∵函数是R上的偶函数， ∴, ∴,,解之得:; 3．（21全国Ⅰ）已知函数是偶函数，则______． 【答案】1 【解析】因为，故， 因为为偶函数，故，时， 整理得到，故 4．（23全国乙文理）已知是偶函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵是偶函数，，为奇函数， ∴为奇函数，故，解得，选D． 小结：对于有乘除的解析式，一般先考虑“同偶异奇”推出含参的部分的奇偶性求解 考点七 证明函数奇偶性 【例7】已知函数，R，若对于任意实数，都有．求证：为奇函数． 【证明】由题意可知的定义域关于原点对称，令 ∵对于任意实数,都有 ∴∴ 令,则 ∴∴函数为奇函数. 【训练7】1．已知是定义在上的函数，且满足对任意，都有． （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明． 【答案】（1）；（2）为奇函数；证明见解析 【解析】（1）令 ∵对任意,都有∴; （2）函数为奇函数． 理由如下：由题意可知，函数的定义域关于原点对称． 令,则有 ∴∴函数为奇函数． 2．已知对一切都成立,且,试判断的奇偶性． 【答案】为偶函数 【解析】由题意可知函数的定义域为R，关于原点对称． 令，则有∴， ∵，∴令，则有 ∴，∴，∴函数为偶函数． 3．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意R,都满足． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】（1），；（2）为奇函数，证明见解析 【解析】（1）令，则.令，则，∴； （2） 函数为奇函数.理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称． （3） 令，则有∴ 令，则有∴函数为奇函数． 4．若函数的定义域是R，且对任意R都有成立． （1）试判断的奇偶性； （2）若,求的值． 【答案】（1）为奇函数；（2） 【解析】（1）∵函数的定义域是R∴其定义域关于原点对称． 令，则有∴ 令，则有 ∴∴函数为奇函数； （2）令，则有∴ ∵∴，，， ∵函数为奇函数∴ 考点八 单调性与奇偶性综合 【例8】1．已知在定义域上是奇函数，又是减函数,若，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】∵∴ ∵在定义域上是奇函数∴ ∴由题意可得:， 解之得：0≤.∴实数的取值范围是. 2．定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实数的取值范围． 【答案】 【解析】∵函数是定义在上的偶函数． ∴,,. ∵在上单调递减,∴,. 由题意可得:,解之得：≤.∴实数的取值范围是. 【训练8】1．已知奇函数,是减函数,解不等式． 【答案】 【解析】:∵∴∵是奇函数 ∴∴由题意可得:， 解之得:.∴不等式的解集为. 2．已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题意可得的解集为 ∵∴,解之得:∴的取值范围是. 3．已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D．随的值的变化而变化 【答案】B 【解析】∵函数是定义在上的偶函数∴,解之得: ∴函数的定义域为∵,∴,∴ ∵当≥0时,单调递增,≥0∴.由题意可得: ， 解之得：≤或≤.∴不等式的解集为 4．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增， ∴在区间上单调递减， .∵∴,∴， 解之得:.∴的取值范围是. 5．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减 又，可得，即 6．（20新全国Ⅰ/Ⅱ）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，， 当时，，所以由 可得：或或 解得或， 所以满足的的取值范围是，故选：D. 7．已知函数，R对任意实数都有,且当时,． （1）试判断函数的奇偶性； （2）求证:函数在上是增函数． 【答案】（1）为偶函数；（2）见解析 【解析】（1）由题意可知函数的定义域关于原点对称． 令，则，∴. 令，则,∴. 令，则∴函数为偶函数； （2）任取，且,则∵当时,，∴ ∴ ∴，∴函数在上是增函数． 8．设函数对任意R都有,且当时,,． （1）证明：为奇函数； （2）证明：在R上是减函数； （3）若，求的取值范围； （4）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）最大值为6，最小值为 【解析】（1）证明：令，则，∴ 令，则有∴ ∵函数的定义域为R,关于原点对称∴函数为奇函数； （2）证明：任取R，且,则 ∵当时，,∴ ∴. ∴,∴.∴在R上是减函数; （3）解:由（1）可知: 令,则 ∵， ∴, ∵在R上是减函数∴,解之得: ∴的取值范围是; （4）令,则 ∵在R上是减函数∴在上的最大值为6 ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数， ∴在上的最小值为. 9．函数对任意R都有,并且当时,． （1）判断函数是否为奇函数； （2）证明：在R上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1）不是奇函数；（2）见解析；（3） 【解析】（1）令，则∴ ∴函数不是奇函数； （2）任取R，且,则∵当时,，∴ ∴ ∴∴在R上是增函数； （3）由（1）可知:∵∴ ∵在R上是增函数∴,解之得： ∴不等式的解集为. 10．设是定义在上的减函数，且满足，． （1）求，，的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2） 【解析】（1）令，则有，∴， 令，则有 ;∵∴ ∴； （2）∵∴∴ ∵是定义在上的减函数， ∴，解之得:.∴的取值范围是. 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