精品解析：2025年贵州省贵阳市白云区初中学业水平模考数学试卷(二）

2025年贵州省贵阳市白云区初中学业水平模考数学试卷(二） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三大题共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 下列四个数中，属于正整数的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据贵州省统计局发布：全省年第一季度居民收入平稳增长，就业形势总体稳定，城镇失业人员实现再就业人，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 6. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（ ） A B. C. D. 7. 在一个不透明的口袋中装有白球、黑球、红球共60个，这些球除颜色外完全相同，小星通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右，则下列结论中正确的是（ ） A. 摸到白球的概率一定是 B. 袋子中白球的个数可能最多 C. 摸到黑球的概率一定是 D. 袋子中黑球和红球的个数相等 8. 如图，在的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段与网格线交于点点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（ ） A. B. 7 C. 23 D. 48 10. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（ ） A. 4cm B. C. 2cm D. 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分 13. 若分式的值为0，则x的值为____． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 15. 已知为方程的根，那么代数式的值为______． 16. 如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. （）计算：； （）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 某校进行了一次交通安全知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），将20名学生的成绩分为四组（A：，D：）进行整理． 【数据收集】部分信息如下： 抽取的10名女生的竞赛成绩：88，100，94，68，71，94，81，100，94，89，抽取的男生竞赛成绩在C组中的数据为：85，89，89，89． 性别 平均数 中位数 众数 最高分 女生 87.9 100 男生 89.8 89 100 男生竞赛成绩频数分布直方图 【数据分析】 （1）写出表格中______分，_______分，______分； （2）已知全校共1200名学生，若90分及以上同学被评为优秀，请估计本次竞赛获得优秀的学生有多少人？ 【作出决策】 （3）根据以上数据，请判断该校女生的竞赛成绩好，还是男生的竞赛成绩好？并说明理由． 19. 如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③． （1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题； （2）选择其中的一个真命题进行证明． 20. 如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 21. 如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 22. 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 23. 如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． （1）写出图中一个与相等的角； （2）求证：； （3）若，求的半径． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． （1）确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ （3）尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 25. 小红学习矩形性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年贵州省贵阳市白云区初中学业水平模考数学试卷(二） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三大题共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 下列四个数中，属于正整数的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正整数的概念，熟知大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 【详解】解：这四个数中，属于正整数的是3， 故选：C． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形得出这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，由此即可得出答案． 【详解】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，， 故这个几何体的主视图是 故选：B． 3. 据贵州省统计局发布：全省年第一季度居民收入平稳增长，就业形势总体稳定，城镇失业人员实现再就业人，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，的指数与小数点移动的方向和位数有关，本题中小数点向左移动了位，所以． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵道路是平行的，， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故选：D 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的角平分线，根据角平分线及平行四边形的性质可得，即得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 在一个不透明的口袋中装有白球、黑球、红球共60个，这些球除颜色外完全相同，小星通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右，则下列结论中正确的是（ ） A. 摸到白球的概率一定是 B. 袋子中白球的个数可能最多 C. 摸到黑球的概率一定是 D. 袋子中黑球和红球的个数相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 根据利用频率估计随机事件的概率，频率与频数，总数之间的关系去判断求解即可． 【详解】解：A、摸到白球的概率一定是，错误，不符合题意； B、利用频率估计随机事件的概率可得：袋子中白球的个数，黑球的个数，红球的个数，故袋子中白球的个数可能最多，正确，符合题意； C、摸到黑球的概率一定是，错误，不符合题意； D、由B可得袋子中黑球和红球个数不相等，错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段与网格线交于点点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（ ） A. B. 7 C. 23 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（ ） A. 4cm B. C. 2cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明四边形是菱形是解题的关键；过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明是菱形，则可得是等边三角形，利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； 故选：B． 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设共有辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于的方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 12. 如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的． 【详解】连接OP， ∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC． ∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB， ∴∠OPC＝∠DCP． ∴OP∥CD． ∴PO⊥AB． ∵OA＝OP＝1， ∴AP＝y＝(0＜x＜1)． 故选A． 【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用． 二、填空题：每小题4分，共16分 13. 若分式的值为0，则x的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 15. 已知为方程的根，那么代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 【详解】解∶由题意，得 ，则 ． ． 故答案为： 16. 如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，过A作交的延长线于G，证明，得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过A作交的延长线于G， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. （）计算：； （）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（）；（），数轴表示见解析 【解析】 【分析】（）根据零指数幂、乘方的定义及绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 18. 某校进行了一次交通安全知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），将20名学生的成绩分为四组（A：，D：）进行整理． 【数据收集】部分信息如下： 抽取的10名女生的竞赛成绩：88，100，94，68，71，94，81，100，94，89，抽取的男生竞赛成绩在C组中的数据为：85，89，89，89． 性别 平均数 中位数 众数 最高分 女生 87.9 100 男生 89.8 89 100 男生竞赛成绩频数分布直方图 【数据分析】 （1）写出表格中______分，_______分，______分； （2）已知全校共1200名学生，若90分及以上的同学被评为优秀，请估计本次竞赛获得优秀的学生有多少人？ 【作出决策】 （3）根据以上数据，请判断该校女生的竞赛成绩好，还是男生的竞赛成绩好？并说明理由． 【答案】（1）91.5；94；89；（2）540人；（3）男生的竞赛成绩好，因为男生的平均分高 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、平均数、中位数、样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握相关概念． （1）根据众数、平均数、中位数的定义解决问题即可； （2）利用样本估计总体思想解决问题即可； （3）根据平均分，中位数和众数进行解答即可． 【详解】解：（1）10名女同学的成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为89和94，因此中位数； 10名女同学的成绩中出现次数最多的是94，因此众数； 10名男同学的成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为89和89，因此中位数； （2）（人）， 答：估计本次竞赛获得优秀的学生有540人； （3）男生的竞赛成绩好，因为男生的平均分高．（答案不唯一） 19. 如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③． （1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题； （2）选择其中的一个真命题进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论，命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；命题三证明：导角证明，再证明，即可证明； （2）同（1）证明即可． 【小问1详解】 解：命题一：若①，则②，③； 命题二：若②，则①，③； 命题三：若③，则①，②． 命题一证明如下： 由正方形的性质，得， ， ， ， ， ， ， ； 命题二证明如下：由正方形的性质，得， ， ， ∴， ， ， ， ； 命题三证明如下：由正方形的性质，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：命题一证明如下： 由正方形的性质，得， ， ， ， ， ， ， ； 命题二证明如下：由正方形的性质，得， ， ， ∴， ， ， ， ； 命题三证明如下：由正方形的性质，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像与性质、解直角三角形、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确确定反比例函数解析式是解题关键． （1）首先根据三角函数确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质确定点的坐标，然后确定其是否在该函数图像上即可． 【小问1详解】 解：点轴上， ， ， 在中，，， ∴ 由旋转得，， ， 点， 将点代入反比例函数， 可得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 点，点关于直线AC的对称点为点， 点， 当时，， 点在的图像上． 21. 如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 22. 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】（1） （2）45个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； 【小问2详解】 设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 23. 如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． （1）写出图中一个与相等的角； （2）求证：； （3）若，求的半径． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，则可证明； （2）根据（1）所求即可证明结论； （3）由切线的性质可得，根据勾股定理即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接 ∵， ∴， ∵， ， 是的切线， ， ∵是直径， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， 【小问3详解】 解：是的切线， ， 在中，， 根据勾股定理即可得到， ， ， 的半径为． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． （1）确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ （3）尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 【答案】（1）见解析， （2）该隧道限高3米 （3）8米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题及二次函数的性质，建立直角坐标系，求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）首先建立坐标系，结合图象设出函数表达式，再用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后当车高一定，时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙，进而求解即可； （3）将代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为． 又图象经过原点， ， ， 抛物线的函数表达式为， 即； 【小问2详解】 解：设该隧道限高米， ， ， 当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， 由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙， ． 该隧道限高3米； 【小问3详解】 由题意，当时，， 解得， ， 两排灯的水平距离最小值是8米． 25. 小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③，在矩形中，，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$