专题13 几何模型之“隐圆”模型四大题型（四点共圆、定边对直角、动点到定点定长、定弦定角）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题13 几何模型之“隐圆”模型 （四边共圆、定边对直角、动点到定点定长、定弦定角） 在中考数学中有一类高频率考题几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“隐圆模型”形毕露，则答案手到擒来! 模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型 1 模型2.“隐圆”模型之定边对直角模型 44 模型3.“隐圆”模型之动点到定点定长 67 模型4.“隐圆”模型之定角定弦模型 82 模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型 如图1-1所示，若平面上 A、B、C、D 四个点满足∠ABC+∠ADC =180°，则 A、B、C、D 四点共圆 ①四边形对角互补；②四边形外角等于内对角也可推出对角互补. 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质 进行求解。 （1）如图1所示在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上，称为四点共圆。 （2）如图3所示AB、DC的延长线相较于点P，PA×PB=PD×PC，所以A、B、C、D四点共圆。 证明：∵PA×PB=PD×PC，∴，∵∠P是公共角，∴△PAD∽△PBC，∴∠ADP=∠B，∠ADP+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，A、B、C、D四点共圆。 例1．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点．连接交于点H．连接，的延长线交于点M．下列结论正确的是（   ） ① ② ③平分 ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】证明，得出，求出，即可判断此项正确； ②取的中点G，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，，说明，证明垂直平分，即可判断此项正确； ③连接，证明B、E、H、F四点共圆，得出，，即可得出，判定此项正确； ④设，则，证明，得出，求出，，，，即可判断此项正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②取的中点G，连接，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故②正确； ③连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴B、E、H、F四点共圆， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ④设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴，故④正确． 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：A． 例2．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则 D．若，，则最小为 【答案】C 【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得，证得，即可判断选项A正确；若，根据等腰三角形的性质可得，利用直角三角形的性质得，得证，即可判断选项B正确；过点作于点，根据矩形的性质得是等腰直角三角形，推出，即、、、四点共圆，通过圆周角定理得出，利用勾股定理求出、的值，通过即可判断C选项错误；通过题意可得点在以中点为圆心，为直径的圆上，当、、三点共线时，最小，利用勾股定理求出，再通过即可判断D选项正确． 【详解】解：A、四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，， ，故A选项正确； B、如图， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形，故B选项正确； C、如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故C选项错误； D、如图， ， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆上， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，故D选项正确． 故选：C． 1．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的是（    ） ①； ②与的周长比为； ③； ④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵相似三角形周长比等于相似比， ∴与的周长比为，故②正确； ∵，且和共有底， ∴A，B，C，D四点共圆； 若，则，则，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确； ∵和共有高， ∴， ∵和共有高， ∴， ∴， 即，故④正确； ①②④正确， 故选：C． 2．如图，等腰直角△ABC中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三线合一的性质证明，即可判断①；证明A、B、D、M四点共圆，则，得到，即可判断③；证明，过点D作于点H，则，设，则，得到，则，即，即可判断②；求出，过点D作于点P，求出，即可判断④；证明，则，利用等量代换即可判断⑤. 【详解】解：∵，，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴①正确； ∵， ∴A、B、D、M四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴平分 ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点D作于点H，则， ∴， 设，则， ∴ ∵ ∴，即， ∴； 故②正确； ∵， ∴ ∴， 过点D作于点P， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上可知，正确结论是①②③⑤， 故选：C 3．如图，△ABC中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得，设直线交于点G，连接，，由由作图可得是的垂直平分线，从而证得，根据相似三角形的性质求出，根据作图有，根据等边对等角及三角形的内角和求得，得到，从而点A，C，F，D四点共圆，因此，则，在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴． 设直线交于点G，连接，， ∵由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由作图可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点A，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为： 4．如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】延长，过点D作，交的延长线于点H，证明A、B、C、D四点共圆，得出，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长，过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 5．矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，证明是解题的关键． 作，，证明，推出，当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于，于， ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴A、D、G、E四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 6．如图，是△ABC内一点，，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】构造的外接圆，连接，延长交于点，连接，由圆周角定理可得为等边三角形，再由求解即可． 【详解】解：构造的外接圆，连接，延长交于点，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴由勾股定理得， ∵四点共圆， ∴由托勒密定理得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．如图，在中，，．P是外任意一点，满足，连接，若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形、圆周角定理的应用等知识，根据得到点A、B、C、P四点共圆，是圆的直径，取的中点O，以点O为圆心，长为半径画圆，得到，根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴点A、B、C、P四点共圆，是圆的直径， 如图，取的中点O，以点O为圆心，长为半径画圆， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 8．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 【答案】（1）见解析（2）是直角三角形，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、四点共圆、构造相似三角形、垂线段最短等知识点，善于运用相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）通过角度的转换得到，即可证得，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）通过角度的转换得到，可推出A，C，B，E四点共圆可得，即可判定三角形的形状； （3）以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点，通过构造相似三角形，得到点E在过点且与垂直的直线上运动．因为点B固定，再由垂线段最短，可得到最小值的情况，并通过勾股定理求此时的长． 【详解】证明：∵在△ABC中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴A，C，B，E四点共圆， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点， ∴， ，则． ∵， ∴， ∴， ∴点E在过点且与垂直的直线上运动． 如图：过点B作，垂足为，即为最短的，连接． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，在△ABC中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，由垂心，得到垂直关系，得到证明四边形是平行四边形，根据中位线性质得出，从而得到结果； （2）先求出，再结合，证明，得到四点共圆； （3）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果． 【详解】（1）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 是直径， ∴， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ∵，O为外心， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即； （2）解：连接，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： ， ∴， 为垂心， ，，， ∴， ∴， ∴， ， 、、、四点共圆； （3）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 设， ， ， ∵，， ， 在直角中，， ，， 根据解析（1）可知：四边形为平行四边形， ∴，， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或（舍去）， ． 10．如图，在菱形中，，点E，F分别为边上的动点，且满足．    (1)【问题解决】求证：； (2)【问题探究】如图②，过点B作交于点G，交于点H，连接．探究之间的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】若，在点E从点A到点B的运动过程中，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，四点共圆，解直角三角形及全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质及等边三角形的判定与性质，利用证明即可； （2）连接，延长至点K，使，连接，先证明D，H，B，C四点共圆，再证明，最后证明为等边三角形，即可得出结论； （3）由D，H，B，C四点共圆，可得当为的直径时取得最大值，此时，据此求解可得出答案． 【详解】（1）证明：如解图①，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）．理由如下： 如解图②，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D，H，B，C四点共圆， 延长至点K，使，连接，则， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）∵D，H，B，C四点共圆， ∴当为的直径时取得最大值，此时， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)__________． (3)若的面积被△ABC的一条边平分时，求的值． (4)当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)4(2)(3)2或(4)或4或 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质证明四点共圆，则，故，则； （3）①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则，由，得，故，，则，，可证为等腰直角三角形，则，故，解得：；②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，可得，则，由，求得，故，在中，由勾股定理，，解得：，综上所述，或； （4）①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G，根据，得，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍）；②当四边形是矩形时，如图：此时，由上知；③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接，可得，则，而，故，解得：，综上所述，或4或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点D为中点， ∴， ∴，， ∵边平分的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由， 得：， 解得：； ②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，如图， 此时点H为中点，同（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， 得：， ∴， 解得：， 综上所述，或； （4）解：①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G， ∵四边形是等腰梯形，是轴对称图形， ∴， ∴， ∴， 由上知， ∴在中，由勾股定理， 得：， 解得：或（舍）； ②当四边形是矩形时，如图： 此时， 由上知； ③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或4或． 12．如图，已知正方形，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据旋转得出，，根据等腰三角形性质得出，求出，证明，得出即可； （2）过点A作于点H，过点C作于点G，根据等腰三角形的性质得出，解直角三角形得出，，证明点B、C、D、F四点共圆，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：过点A作于点H，过点C作于点G，如图所示： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点B、C、D、F四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 13．如图，，，将绕点逆时针旋转为△BDE，交于，过作交于，连接，，． (1)当经过点时，求与△ABC的面积比值； (2)当△ABC是面积的6倍，求的值． 【答案】(1)与△ABC的面积比值为(2)或 【分析】本题考查直角三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，得到，，，共圆． （1）画出图形，由，将绕点逆时针旋转为，可得是等边三角形，有，，在中，，，可得，故； （2）过作于，在中，，，可得，，，由，知，，，共圆，有，故，可得，，，根据是面积的6倍，得，化简整理即可得到答案． 【详解】（1）如图： ， ，， ， ， ， 将△ABC绕点逆时针旋转为， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ，， ， ， 与△ABC的面积比值为； （2）过作于，如图： ， ，， ， 在中，，， ，， ， 将△ABC绕点逆时针旋转为， ， ， ， ，，，共圆， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 是面积的6倍， ， 即， 化简整理得：， 或， 或． 14．【基本图形】    （1）如图1，在正方形中，点E在边上，连接，点F在上，且，连接并延长，交于点H，过点F作交于点G，探究与之间的数量关系； 【知识迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，连接，点F在上，且，点G在边上，连接，，且，若，，求菱形的边长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E在边上（点E不与点B，C重合），在射线上有一点F，，连接，过点F作交射线于点G，若，，直接写出矩形的面积． 【答案】（1）（2）（3）24或54 【分析】（1）连接，利用正方形性质得到，，，进而推出、、、四点共圆，得到，结合等腰三角形性质和平行线性质进行等量代换得到，证明，得到，即可解题． （2）连接，延长交于点，过点作的延长线于点，利用菱形的性质得到，进而得到、、、四点共圆，由（1）同理可证，，利用等腰三角形性质和判定和菱形的性质得到，，设，则，，，，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． （3）根据题意分情况讨论：①当在延长线上，连接，记交于点，利用矩形性质和垂线定义证明、、、四点共圆，推出，进而证明，得到，推出，利用矩形性质和等腰三角形性质与判定，得到，设，则，，，根据勾股定理，建立等式求出的值，即可得到矩形的面积，②当在线段上，解法与①类似． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，   四边形为正方形， ，，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，延长交于点，过点作的延长线于点，   在菱形中，， ， ， ， 、、、四点共圆， 由（1）同理可证，， ， ， 四边形为菱形，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，，，， ， ， 解得（舍去）或， （3）解：①当在延长线上， 连接，记交于点，   四边形为矩形， ，，，， ， 交射线于点G， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得（舍去）或． ，， 矩形的面积为． ②当在线段上， 连接，延长交于点，    由①同理可得，， ， 设，则，，， ， ， 解得（舍去）或． ，， 矩形的面积为． 综上所述，矩形的面积为或． 15．已知正方形，E，F为平面内两点．    (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，，且E，C，F三点共线．求证：； (3)如图3，当点E在正方形外部时，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）猜想：，证明，推出．即可； （3）连接，取的中点，连接，．证、、、四点共圆，得，则，再由（2）可知，．然后证，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图2中，   四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． （3）解：如图3中，连接，取的中点，连接，．   四边形是正方形，， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 模型2.“隐圆”模型之定边对直角模型 如图2-1所示，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的运动轨迹是以AB为直径的圆 例1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 例2．如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论： 的正切值为时，的长为； 在点运动过程中，的最小值为； 当点在射线上运动时，的最小值为； 其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，由矩形的性质得，所以，由的正切值为，，求得，证明四边形为矩形得，，再结合，所以，然后根据，解出，即可判断；因为于，所以点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，过点作于，交于，由得，，再结合得，当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为，代入即可判断；连接，当点在上时，有最小值，最小值为，由勾股定理得，，所以的最小值为，由此可判断． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， 的正切值为，， ， ， ， ， ， 又∵， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得，故正确； 于， 点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上， 如图（在矩形的内部）， 过点作于，交于， ， ， ， ， ， 当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为， 的最小值为，故正确； 连接，当点在上时，有最小值，最小值为， 由题意可得， ， ，， 的最小值为，故正确； 综上所述，正确的有个， 故选：D． 1．如图，正方形边长为，点是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键．如图所示，连接交于H，取中点O，连接，先证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，即点E运动到点H时， 当三点共线时，有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④． 【详解】解：如图所示，连接交于H，取中点O，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∵， ∴点H在圆O上， ∵， ∴当三点共线，即点E运动到点H时，，故①正确； ∵点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，即，故②正确； 如下图所示，当与相切时有最大值， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数最大值不是，故③错误； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 2．如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 3．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 4．如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】证明A、B、E、F四点共圆，则，即可判断①；延长，截取，连接，证明，则证明，得到，则，即可判断②；作交的延长线于点H，连接，证明，则,得到,则，即可判断③；作，截取，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，得到，则，即可判断④；证明，设，则，得到，由得到，解得,则，即可判断⑤；证明，则，由②可知，，则,证明，得到连接证明，则，证明，则，得到，则，即可判断⑥． 【详解】解：①∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴A、B、E、F四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故①正确； ②由①可知，， ∴A、G、P、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， 延长，截取，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③作交的延长线于点H，连接，如图， 由正方形的对称性得到， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， 故③正确； ④作，截取，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤由②可知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得, ∴， ∴， 故⑤正确； ⑥∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 由②可知，， ∴, ∵ ∴， ∴ 连接 则， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故⑥正确， 综上可知，①②③④⑤⑥均正确． 故选：A 5．如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对应点E落在边上，点D的对应点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作于，通过证明，进而说明，可得，可得②不正确；③由折叠可得：，由可得，结论③成立；④连接，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，得到，所以四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明④成立． 【详解】解：①四边形是正方形， ． 由折叠可知： ．故①正确； ②过点作于， 由折叠可得：， ， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， ∴， ∴②不正确； ③由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 即平分． ∴③正确； ④连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． 由折叠可得：， ∴． ∴． 由折叠可知：． ∴． ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④． 故选：C． 6．如图，已知△ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】连接，由以为直径作，，，得，，即可得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，，故．本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，圆中动点问题，解题关键是动中抓不变． 【详解】解：连接， 由以为直径作，，， 得，， 得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， 当，，在一直线上时，， 故， 即的最小值， 故答案为：． 7．如图，在正方形中，，E为边上一点，F为边上一点．连接和交于点G，连接．若，则的最小值为多少？ 【答案】 【分析】如图，取的中点O，连接，首先利用全等三角形的性质证明，求出，根据，当O，G，B三点共线时BG取得最小值，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点G在以为直径的圆上移动， 取的中点O，连接，如图， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当O，G，B三点共线时取得最小值． ∴BC的最小值为：． 8．【学习心得】（1）小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，，D是△ABC外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角， 从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是△ABC内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴点P在以 (定弦)为直径的上，请直接写出线段长的最小值 ． 【问题解决】（2）如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，求线段的最小值． 【问题拓展】（3）如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①45，②90；2；（2）4；（3）①相等且互相垂直，见解析；② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得； ②根据题意得出，得出点P在以 (定弦)为直径的上，当点，，三点共线时，的长最小，根据勾股定理得出，即可求出结果； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为4； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得； ②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】解：（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：45； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称可知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性可知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 模型3.“隐圆”模型之动点到定点定长 如图3-1所示，若有AB=AD=AC，则B、C、D三点在以A为圆心AB为半径的圆上。 例1．如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的判定，勾股定理，得到点P的运动轨迹是解题的关键． 在上取点Q，使得，可得，从而证得，得到，因此点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动．连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时，根据勾股定理求出，进而即可解答． 【详解】解：在上取点Q，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：D 例2．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 1．如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与△ABC相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与△ABC相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 2．如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 先利用直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，然后利用直角三角形的三角函数即可得出答案． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为点，则， 轴，点是线段的中点，且， ， 点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆， ，， ， 面积为， 则当面积取得最小值时，应最小， 由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值， ， ∴， 又，， ， ∴， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 4．如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是运用平方差公式进行化简计算． 设圆心为O，连接，则，则，那么，那么，再化简变形得到，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 则 ， 故选：A． 5．如图，在等腰△ABC中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，等边对等角，得到，三线合一结合锐角三角函数，求出的长，折叠得到，取的中点，连接，过点作，三角形的中位线定理，得到，进而得到点在以点为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，最大，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 取的中点，连接，，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，的值最大为； 故选B． 6．如图，在等腰中，，点在的左侧，作于，连接． （1）则 ； （2）则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）如图，取的中点，连接，过作交于，证明，可得在以为圆心，为半径的圆上，可得； （2）证明，，可得，可得，再计算即可. 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，过作交于， ∵在等腰中，， ， ∴，，，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， ∴， （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（1），（2） 7．如图，E是矩形内部一动点，且，．在点E运动过程中，当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，设此时，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何动态中的最值或特定位置关系的处理，涉及矩形的性质、直线与圆相切的条件、相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质以及方程的求解．当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，与垂直，作于，证明，建立方程得成比例的线段求解即可． 【详解】解：作于， ， ， ， 当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，， ， 矩形中，， ， ， ， ，，， ， ，， ， 故答案为：． 8．菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，中位线的判定和性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．如图所示，延长到点，使得，连接，则是等边三角形，，在中，是线段的中点，是线段的中点，，当取得最大值时，取得最大值，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∴， ∴是等边三角形，， 在中，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵将线段绕点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大， ∴， ∴， ∴旋转一周的过程中线段的最大值是 故答案为： ． 9．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 模型4.“隐圆”模型之定角定弦模型 如图4-1所示，若有一固定线段AB以及线段所对的∠C大小也固定，根据圆的知识可知点C并不是唯一固定的点，C点在⊙O的优弧ABC上均可（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则在优弧上运动；等于90°则C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动。） 例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 【答案】C 【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P， 此时PC取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6， ∴OB=OP=AB=4， 由勾股定理得CO=， PC= 故选：C． 例2．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为，连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选：C． 1．如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到当E与B、D重合时相应的F点、，因为在以为直径的圆上，所以劣弧即为点所经过的路径，连AO，由，得，依据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到，，运用锐角三角函数求出，依据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，可得是等边三角形，从而，最后用弧长公式计算即可. 【详解】解：∵为直径， ∴于点， 如图，取的中点为， ∵当E与B重合时，于点，当E与D重合时，于点， ∴劣弧即为点所经过的路径， 连AO， ∵, ∴ ∴，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，, ∴==， 故选：C. 2．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 【答案】 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2， ∵∠PAB=∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP=60°， ∴∠APC=120°， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA=PC，OB⊥AC， 则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边作等腰直角三角形，连接、，圆周角定理，易得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 4．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 5．如图，在△ABC中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， 过点作，垂足为，      是等腰三角形， ∴，， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：2．   6．阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，，，是△ABC外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，，，是△ABC内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ． ， ． ．（定角） 点在以（定弦）为直径的上． 又点在△ABC内部， 点在弧上（不包括点、点），（如图）请完成后面的过程．    （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，点的运动路径长为______． 【答案】（1）①26；②如图2，最小值为4；（2）2；（3） 【分析】（1）①以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案；②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，，由，点B，点M关于直线对称，得出，进而推出点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值； （3）由正方形性质可证可得，，由余角的性质可证,由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1：        ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以(定弦)为直径的上，如图2，连接交于点P，此时最小，    ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴最小值为4； （2）如图3，连接，，      ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 如图4，连接，交于点O，    ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为 ． 故答案为：． 7．如图，△ABC中，，，是△ABC所在平面上的一个动点，且，求面积的最大值． 【答案】 【详解】解：如解图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，长为半径的上运动， 延长交于点，当时，的面积最大，最大值为：． 1 / 95 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何模型之“隐圆”模型 （四点共圆、定边对直角、动点到定点定长、定弦定角） 在中考数学中有一类高频率考题几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“隐圆模型”形毕露，则答案手到擒来! 模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型 1 模型2.“隐圆”模型之定边对直角模型 44 模型3.“隐圆”模型之动点到定点定长 67 模型4.“隐圆”模型之定角定弦模型 82 模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型 如图1-1所示，若平面上 A、B、C、D 四个点满足∠ABC+∠ADC =180°，则 A、B、C、D 四点共圆 ①四边形对角互补；②四边形外角等于内对角也可推出对角互补. 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质 进行求解。 （1）如图1所示在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上，称为四点共圆。 （2）如图3所示AB、DC的延长线相较于点P，PA×PB=PD×PC，所以A、B、C、D四点共圆。 证明：∵PA×PB=PD×PC，∴，∵∠P是公共角，∴△PAD∽△PBC，∴∠ADP=∠B，∠ADP+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，A、B、C、D四点共圆。 例1．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点．连接交于点H．连接，的延长线交于点M．下列结论正确的是（   ） ① ② ③平分 ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 例2．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则 D．若，，则最小为 1．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的是（    ） ①； ②与的周长比为； ③； ④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，等腰直角△ABC中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，△ABC中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． 4．如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 5．矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是 ． 6．如图，是△ABC内一点，，，，，则的长为 ． 7．如图，在中，，．P是外任意一点，满足，连接，若，则 °． 8．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 9．如图，在△ABC中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 10．如图，在菱形中，，点E，F分别为边上的动点，且满足．    (1)【问题解决】求证：； (2)【问题探究】如图②，过点B作交于点G，交于点H，连接．探究之间的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】若，在点E从点A到点B的运动过程中，求的最大值． 11．如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)__________． (3)若的面积被△ABC的一条边平分时，求的值． (4)当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 12．如图，已知正方形，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，求线段的长． 13．如图，，，将绕点逆时针旋转为△BDE，交于，过作交于，连接，，． (1)当经过点时，求与△ABC的面积比值； (2)当△ABC是面积的6倍，求的值． 14．【基本图形】    （1）如图1，在正方形中，点E在边上，连接，点F在上，且，连接并延长，交于点H，过点F作交于点G，探究与之间的数量关系； 【知识迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，连接，点F在上，且，点G在边上，连接，，且，若，，求菱形的边长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E在边上（点E不与点B，C重合），在射线上有一点F，，连接，过点F作交射线于点G，若，，直接写出矩形的面积． 15．已知正方形，E，F为平面内两点．    (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，，且E，C，F三点共线．求证：； (3)如图3，当点E在正方形外部时，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求的长． 模型2.“隐圆”模型之定边对直角模型 如图2-1所示，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的运动轨迹是以AB为直径的圆 例1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 例2．如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论： 的正切值为时，的长为； 在点运动过程中，的最小值为； 当点在射线上运动时，的最小值为； 其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．如图，正方形边长为，点是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 2．如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对应点E落在边上，点D的对应点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，已知△ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 7．如图，在正方形中，，E为边上一点，F为边上一点．连接和交于点G，连接．若，则的最小值为多少？ 8．【学习心得】（1）小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，，D是△ABC外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角， 从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是△ABC内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴点P在以 (定弦)为直径的上，请直接写出线段长的最小值 ． 【问题解决】（2）如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，求线段的最小值． 【问题拓展】（3）如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 模型3.“隐圆”模型之动点到定点定长 如图3-1所示，若有AB=AD=AC，则B、C、D三点在以A为圆心AB为半径的圆上。 例1．如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 例2．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 1．如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与△ABC相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 2．如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在等腰△ABC中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰中，，点在的左侧，作于，连接． （1）则 ； （2）则的值为 ． 7．如图，E是矩形内部一动点，且，．在点E运动过程中，当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，设此时，，则代数式的值是 ． 8．菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 9．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 模型4.“隐圆”模型之定角定弦模型 如图4-1所示，若有一固定线段AB以及线段所对的∠C大小也固定，根据圆的知识可知点C并不是唯一固定的点，C点在⊙O的优弧ABC上均可（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则在优弧上运动；等于90°则C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动。） 例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 例2．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 3．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 4．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 5．如图，在△ABC中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    6．阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，，，是△ABC外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，，，是△ABC内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ． ， ． ．（定角） 点在以（定弦）为直径的上． 又点在△ABC内部， 点在弧上（不包括点、点），（如图）请完成后面的过程．    （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，点的运动路径长为______． 7．如图，△ABC中，，，是△ABC所在平面上的一个动点，且，求面积的最大值． 1 / 95 学科网（北京）股份有限公司 $$