第01讲 直线的斜率与倾斜角（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 【苏教版2019】 模块一 直线的斜率与倾斜角 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【变式1.3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式4.2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【变式4.3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式5.2】（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 三、填空题 12．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 13．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 14．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 16．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 19．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 【苏教版2019】 模块一 直线的斜率与倾斜角 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据即可求解出斜率． 【解答过程】直线的斜率为， 故选：C． 【变式1.1】（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【解题思路】利用斜率公式求解. 【解答过程】解：直线的斜率． 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】由斜率计算公式即可求解； 【解答过程】由， 可得， 故选：C. 【变式1.3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【解答过程】解：， 故，， 则， 故选：D. 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【解答过程】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用经过两点的斜率公式与，即可求得结果. 【解答过程】直线l经过两点，所以， 又倾斜角的取值范围为，所以. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【解答过程】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【解答过程】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B. 【变式3.3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【解答过程】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【解答过程】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【解题思路】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【解答过程】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式4.2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【解题思路】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【解答过程】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【解答过程】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C. 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【解题思路】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式。 【解答过程】三点A，B，C在同一直线上， ， ， 解得. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【解题思路】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【解答过程】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得， 解得． 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，所以，结合即可求出答案. 【解答过程】因为点在线段上， 所以，且， 即，所以， 设， 所以当时，. 故选：D. 【变式5.3】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【解答过程】由题设，，如下图示，所以． 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【解答过程】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【解答过程】依题意，得，解得， 故选：C． 3．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率公式即可求解. 【解答过程】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D. 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D. 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点求概率即可求参； 【解答过程】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【解答过程】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B. 7．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【解答过程】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【解答过程】由图像可知， 则， 故选：AD. 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【解题思路】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【解答过程】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【解答过程】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为：. 13．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【解题思路】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角. 【解答过程】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【解题思路】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【解答过程】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【解题思路】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 16．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【解题思路】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解. 【解答过程】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则 ， 即，解得， 所以当时，三点共线. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【解题思路】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【解答过程】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 19．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【解题思路】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【解答过程】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$