专题04 二元一次方程组（6个知识点+7个核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题04 二元一次方程组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 二元一次方程的概念】 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【详解】解：①符合二元一次方程的定义； ②最高次项的次数是2，故不符合二元一次方程的定义； ③还有3个未知数，故不符合二元一次方程的定义； ④符合二元一次方程的定义； 故属于二元一次方程的是①④． 故答案为：①④． 【典例2】已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴，， 解得， 故答案为：2． 【知识点2 二元一次方程的解】 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 【典例3】已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：23． 【知识点3 二元一次方程组的概念】 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 【典例4】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【知识点4 二元一次方程组的解】 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【典例5】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程组的解 ∴将代入到，得 ∴ ∴ 故答案为：0． 【知识点5 三元一次方程组的概念与解】 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 【典例6】若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴将代入中得： ， 解得：， 故答案为：． 【知识点6 解二元（三元）一次方程组】 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【典例7】用指定的方法解下列方程组 (1)（代入法） (2)（加减法） 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得： 将代入①得 ∴原方程组的解为： （2）解： ①②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 考点一：由二元一次方程组的解的情况求参 例1.若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组两方程左右两边相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得：， 整理得：， 代入得：， 解得：． 故选：B． 【变式1-1】m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1-2】关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则 ． 【答案】75 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，一元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，求出，，再代入即可求得k的值． 【详解】解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， 把，代入，得 ， ∴． 故答案为：75． 【变式1-3】关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． 【答案】②③④ 【分析】把m，n的值代入原方程，解方程组即可． 【详解】解：①当m＝1，n＝﹣3时， 原方程为4y＝2，3x＝1， 此时组成方程组的解为，不符合题意； ②当m＝1且n≠﹣3时， 原方程为4y＝2，3x+（n+3）y＝1， 组成方程组，解得：，符合题意； ③当m＝7，n＝﹣1时， 方程组为， 第一个方程化简得3x+2y＝1，与第二个方程相同， 所以有无数个解，符合题意； ④当m＝7且n≠﹣1时， 方程组为， 消去x，解得：y＝0或n＝﹣1， ∵n≠﹣1， ∴y＝0，此时x＝， ∴有且只有一个解，符合题意； 故答案为：②③④． 考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题 例2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． 【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【变式2-2】已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 【变式2-3】已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在． （1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：因为关于x，y的方程组与方程组有相同的解， 所以这两个方程组的解也是方程组的解， 解得； （2）把分别代入方程与方程，得 解得 考点三：二元一次方程组的特殊解法 例3.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，原方程可化为，根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：，即， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式3-1】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 【变式3-2】已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握整体思想的应用是解题关键． 把，，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出，由此即可求解． 【详解】解： 根据题意可知：， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 考点四：二元一次方程组的整数解 例4．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 【变式4-1】已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解出、，再根据解的情况求出的值即可． 【详解】解：解方程组，得， 为正整数， 必为正整数， 又、均为整数， 为和的公约数， 或， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 【变式4-2】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 【变式4-3】已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 考点五：二元一次方程组中多结论问题 例5.已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和解是解题的关键． 根据方程组得，然后再依据题目信息即可依次判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得，， 由①②可得，， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①②得， 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①②得， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①②得， 当方程组的解满足时， 解得， 代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 【变式5-1】已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 根据相反数的定义，得到，得出，将方程组加减消元，得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解： ， 当这个方程组的解的值互为相反数时，则， 则， 得： ， ∴， ∴结论①正确； 当时，， 解得：， 将代入中，得：， 解得： ， ∴方程组的解不是方程的解，②结论错误； 得，， ， 解得：， ∴无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ， ∴，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：D． 【变式5-2】已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组，不等式的运用，掌握解二元一次方程组的方法，根据不等式的性质进行求解是解题的关键，把代入方程组求解可判定①；把代入方程组求解，可判定②；把代入计算即可判定③；用含的式子表示出，再根据不等式的性质可判定④． 【详解】解：当时，方程组为， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，； ∴的值互为相反数，故①正确； 当是方程组的解，则， ∴解⑴得，； 解⑵得，；故②正确； 当时，方程组得， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，， ∴，故③正确； 方程组， ⑴⑵得，， ∵， ∴， 解得，，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D ． 考点六：二元一次方程组中新定义问题 例6.定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 【变式6-1】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 【变式6-2】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答． （2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答． （3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 【变式6-3】定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 考点七：二元一次方程组的实际应用 例7.已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； (2)有3种租车方案：方案一：A型车11辆，B型车4辆；方案二：A型车6辆，，B型车8辆；方案三：A型车1辆，B型车12辆； (3)最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，进行列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）结合某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，得，结合m，n均为正整数，进行作答即可； （3）由（2）得出有3种租车方案，再分别算出每种方案的费用，然后进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货x吨和y吨， 依题意，列方程组， 解得， 答：1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； （2）解：∵计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，且由（1）得1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨， ∴， ∴ ∵m，n均为正整数， ∴时，；时，；时，； ∴有3种租车方案： 方案一：A型车11辆，B型车4辆； 方案二：A型车6辆，，B型车8辆； 方案三：A型车1辆，B型车12辆； （3）解：由（2）得出有3种租车方案， ∵A型车每辆需租金1500元/次，B型车每辆需租金2000元/次， ∴方案一需租金：（元）， 方案二需租金：（元）， 方案三需租金：（元）， ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【变式7-1】已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车a辆，型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨 (2)方案一：租2辆A型车，7辆B型车；方案二：租6辆A型车，4辆B型车；方案三：租10辆A型车，1辆B型车 (3)方案一：租2辆A型车，7辆B型车最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （3）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车10辆，型车1辆； 方案二：型车6辆，型车4辆； 方案三：型车2辆，型车7辆； （3）解：∵型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车2辆，型车7辆，最少租车费为1040元． 【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块 (2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块 (3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可； （2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可； （3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论． 【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头的总重及体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵石头总重11斤， ∴，即； ∵石头的体积为27立方寸， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 2．已知关于x，y方程组的解满足，则a的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将方程组中两个方程左右两边分别相加，得，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：将方程组中两个方程左右两边分别相加，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 5．若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴，则 故答案为：． 6．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 7．已知关于，的二元一次方程组，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题： (1)已知方程组，由可得__________； (2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值； (3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)7 (3)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法： （1）由，即可求解； （2）由，即可求解； （3）由，得，即可求解． 【详解】（1）解：由可得：； 故答案为：， （2）解： 由得：， 解得：． （3）解： 由得：， 整理得：， ， 无论取何值，的值始终不变． 8．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 9．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 10．已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 【答案】(1)牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元 (2)①第二次购买咖啡35箱；②11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，再列出正确的方程组，然后解得，即可作答． （2）①先理解某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，再设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，，进行分类讨论，并列出相应的方程组，即可作答． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为，再算出打折牛奶价格以及打折咖啡价格，即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，再列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得， 解得， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； （2）解：①∵某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量， ∴设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，， ∴当时，则， ∴（元） 有 解得：（不合题意，舍去）， 当时，则， ∴（元） 有 解得：， 当时，则， 有， 方程组无解． ∴第二次购买咖啡35箱． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得： 整理得：， ∵a、b均为正整数，得或 ∵， ∴，， 即此次按原价采购的咖啡有11箱 故答案为：11． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 二元一次方程的概念】 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【典例2】已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【知识点2 二元一次方程的解】 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 【典例3】已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【知识点3 二元一次方程组的概念】 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 【典例4】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【知识点4 二元一次方程组的解】 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【典例5】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【知识点5 三元一次方程组的概念与解】 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 【典例6】若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【知识点6 解二元（三元）一次方程组】 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【典例7】用指定的方法解下列方程组 (1)（代入法） (2)（加减法） 考点一：由二元一次方程组的解的情况求参 例1.若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式1-1】m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 【变式1-2】关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则 ． 【变式1-3】关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． 考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题 例2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【变式2-2】已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【变式2-3】已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 考点三：二元一次方程组的特殊解法 例3.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【变式3-2】已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 ． 【变式3-3】解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 考点四：二元一次方程组的整数解 例4．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【变式4-1】已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 【变式4-2】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【变式4-3】已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 考点五：二元一次方程组中多结论问题 例5.已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式5-1】已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【变式5-2】已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点六：二元一次方程组中新定义问题 例6.定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【变式6-1】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【变式6-2】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【变式6-3】定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 考点七：二元一次方程组的实际应用 例7.已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式7-1】已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车a辆，型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x，y方程组的解满足，则a的值 ． 3．已知方程组和方程组的解相同，则 ． 4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 5．若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 6．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 7．已知关于，的二元一次方程组，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题： (1)已知方程组，由可得__________； (2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值； (3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 8．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 9．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 10．已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$