专题03 平面直角坐标系（5个知识点+6个核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题03 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 【典例1】在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 【典例2】已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【典例3】已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为 ． 【典例4】在平面直角坐标系中，将点向左平移了个单位后得到点，点到轴的距离为，到轴的距离为，请你写出符合条件的所有点的坐标 ． 【知识点3 利用坐标表示位置】 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为，棋子“帅”所在的位的坐标为，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【知识点4 点在坐标系中的平移】 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 【典例6】平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【知识点5 图形在坐标系中的平移】 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出，并直接写出点的坐标______． 考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征 例1．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，求点的坐标； (2)若将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，求点的坐标． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，试求点的坐标． 【变式1-2】已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【变式1-3】已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若，求点P的坐标； (2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值； (3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值． 考点二：坐标系中的平移变换 例2.已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为． (1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标； (2)三角形的面积为___________； (3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形，其中． (1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点的坐标； (2)点是三角形上任意一点，将三角形平移，得到三角形平移后的对应点为．画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． (1)直接写出，的值及点的坐标； (2)画出平移后的三角形； (3)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积，请直接写出点的坐标． 【变式2-3】如图，三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)画出三角形，并直接写出点D、E、F的坐标； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标． 考点三：坐标系中的新定义问题 例3.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“4级关联点”点的坐标为，即． (1)若点的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点的坐标） 【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点，，在一条直线上，则；若点，，不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题： (1)_____． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【变式3-3】若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． (1)已知点为“横和点”，求的值； (2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 考点四：坐标系中点的坐标规律探索 例4.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为 ． 考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标） 例5.如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式，． (1)求a，b的值． (2)求四边形的面积． (3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点六：坐标与图形综合（探究角的数量关系） 例6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，． (1)请写出A，B，C，D四点坐标； (2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与重合），请直接写出，，的数量关系． 【变式6-1】如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【变式6-2】如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 【变式6-3】已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 1．大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 3．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点M对应点的坐标是，已知点A的坐标是，则平移后点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（5，1） C．（4，1） D．（4，2） 5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点的对应点分别为． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)若线段上一点的坐标为，写出平移后点的对应点的坐标； (3)若点在坐标轴上，三角形的面积为4，求点的坐标． 8．已知点，解答下列各题： (1)点在轴上，直接写出点的坐标为_______； (2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_______； (3)若点在第二象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知点点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点的坐标； (2)如图2，若，且分别平分，求的值； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 【典例1】在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：当时，则， ∴可能是正数，也可能是负数， ∴点可能在第二或第三象限； 当时，则， ∴不可能是负数， ∴点不可能在第四象限； ∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第四象限． 故选：D． 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 【典例2】已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵线段， ∴，或， ∴点的坐标为或， 故选：C ． 【典例3】已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为 ． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【典例4】在平面直角坐标系中，将点向左平移了个单位后得到点，点到轴的距离为，到轴的距离为，请你写出符合条件的所有点的坐标 ． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为或或或， ∵将点向左平移了个单位后得到点， ∴点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【知识点3 利用坐标表示位置】 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为，棋子“帅”所在的位的坐标为，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵棋子“士”所在位置的坐标为，棋子“帅”所在的位的坐标为， 确定直角坐标系如图， ∴棋子“炮”所在位置的坐标是． 故选：A． 【知识点4 点在坐标系中的平移】 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 【典例6】平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴点B的对应点的坐标是． 故选：A． 【知识点5 图形在坐标系中的平移】 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出，并直接写出点的坐标______． 【详解】（1）解：因为点的坐标为， 所以点在轴的正半轴上，且距离原点为， 可确定原点的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示： 则； （2）解：经平移后对应点为，则顶点，，均向轴正方向移动，向轴负方向移动，可得到顶点，，平移后的对应点，顺次连接，，，即为，如图所示： 则的坐标为． 考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征 例1．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，求点的坐标； (2)若将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移是解题的关键． （1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7， ， 解得， ，， 点的坐标为． （2）解：将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上， ， 解得， ， ， 点的坐标为． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，试求点的坐标． 【分析】本题主要考查了点的坐标与象限的关系，点的坐标的几何意义，解题的关键是准确掌握点的坐标的几何意义． （1）利用点的坐标和象限的关系以及点的几何意义可得，，解方程即可求出点的坐标； （2）根据轴，两个点的纵坐标相等，列出求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点到两个坐标轴的距离相等，且点在第二象限， ∴， 解得， ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵轴， ∴， 解得， ∴， 点的坐标为； 【变式1-2】已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得： 【变式1-3】已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若，求点P的坐标； (2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值； (3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值． 【分析】本题考查了点的坐标的特点，实数的混合运算，求不等式组的解集，利用到两坐标轴的距离相等列出方程是解题关键． （1）把化简后代入求解即可； （2）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等列方程求解即可； （3）分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．． 【详解】（1）∵， ∴，即． （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：当点P在第一象限时， 由题意，得， 解得：， ，符合题意； 当点P在第二象限时， 由题意，得， 解得，不合题意； 当点P在第三象限时， 由题意，得， 解得， ，符合题意； 当点P在第四象限时， 由题意，得， 解得：，不合题意； 当点P在x轴上，则， 解得：x=，此时，不合题意； 当点P在y轴上，则， 解得：，此时，不合题意； 综上可知，x的值为或． 考点二：坐标系中的平移变换 例2.已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为． (1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标； (2)三角形的面积为___________； (3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值． 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解题关键． （1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点的位置并顺次连接即可得到三角形，然后确定的坐标即可； （2）根据割补法求出三角形的面积即可； （3）由点，的坐标可知轴，故当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为， 则该三角形的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度， 故平移后三角形的位置如下图所示， 此时； （2）三角形的面积． 故答案为：11； （3）连接， ∵，， ∴轴， 当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，如下图， ， 此时． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形，其中． (1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点的坐标； (2)点是三角形上任意一点，将三角形平移，得到三角形平移后的对应点为．画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 【分析】本题考查平移作图，点的坐标，正确建立平面直角坐标系和根据平移的性质进行平移作图是解题的关键． （1）根据，建立平面直角坐标系，再根据点C的位置写出点C坐标即可； （2）根据平移后的对应点为得到平移方式为：向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，所此作出平移后三角形，再根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，． （2）解：∵点平移后的对应点为． ∴向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度， 如图所示，即为所求；，，． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． (1)直接写出，的值及点的坐标； (2)画出平移后的三角形； (3)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积，请直接写出点的坐标． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的关键． （1）由点A，可得左右平移方式，由点C，可得上下平移方式，据此求解即可； （2）根据（1）所求先描出，再顺次连接即可； （3）计算出三角形的面积，进而得到三角形的面积，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：由三角形得到三角形的平移方式为向右平移：个单位长度；向下平移：个单位长度 ∴，即； （2）解：如图所示，三角形即为所求； （3）解：， ， ∵三角形的面积等于三角形面积， ∴ 解得：或 故点的坐标为：或． 【变式2-3】如图，三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)画出三角形，并直接写出点D、E、F的坐标； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标． 【分析】本题考查平移作图、坐标的平移变化，平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，熟练掌握平移的规律是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，进而画图、求解坐标． （2）根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可． （3）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，列方程组求解即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；，，； （2）解：根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，三角形是由三角形向右平移4个单位再向上平移2个单位得到的． （3）解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2， 得， 解得， ， ． 考点三：坐标系中的新定义问题 例3.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“4级关联点”点的坐标为，即． (1)若点的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点的坐标） 【分析】本题考查了新定义，点的坐标，在轴上的点的纵坐标为，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由“2级关联点”的定义得，再结合点在轴上，故，得，即可作答． （2）由（1）得点,因为轴，且，故点的横坐标为2，纵坐标为或，即可作答． 【详解】（1）解： 点的“2级关联点”是点， 点， 又点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：由（1）得点． 轴，且， 点的横坐标为2，纵坐标为：或， 点的坐标为或． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ，解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“完美点”． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点，，在一条直线上，则；若点，，不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题： (1)_____． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点的坐标为，点的坐标为，则，，然后通过即可求解； （）由，点的坐标为，所以点在一条直线上，即点在轴上，设，然后通过即可求解； （）设，由，得，然后代入求解即可； （）设点的横坐标为，由，则，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点的坐标为， ∴点在一条直线上，即点在轴上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的纵坐标为， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：设点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标． 【变式3-3】若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． (1)已知点为“横和点”，求的值； (2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】(1)q的值为4 (2)①或；②点是“横和点”，理由见解析 【分析】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换． （1）直接代入“横和点”的定义方程求解． （2）①利用平移向量确定点的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解． ②通过平移确定点的坐标，验证是否满足“横和点”的条件． 【详解】（1）∵点是“横和点”， ， ． ∴q的值为4． （2）①∵点和点是“横和点”， ， ，， ， ， 点和点的纵坐标相同， 轴 ， 点的横坐标为 点，点分别对应点和点， ， ，解得：， 当时， 当时， 或． ②点是“横和点”， 理由：点，点分别对应点和点， ， ， ， 点的对应点， ， ， ， 点是“横和点”． 考点四：坐标系中点的坐标规律探索 例4.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，，因此第2025次运动到点． 【详解】解：根据题意可知，动点的运动规律是： 第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， ， 由此可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环， ， 第2025次运动到点，即， 故选：D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变换平移，掌握平移的性质是解题的关键．本题考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形，根据题目所给点的坐标，总结出一般变化规律为每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为，第二个点坐标为，第三个点坐标为，第四个点坐标为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：，，，， ，，，，， 每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为，第二个点坐标为，第三个点坐标为，第四个点坐标为， ， 为第507组第1个数，则， 故选：D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， …… 第次跳动至点的坐标是， 则第2026次跳动至点的坐标是， 第2025次跳动至点的坐标是． ∵点与点的纵坐标相等， ∴点与点之间的距离． 故答案为：2027． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律问题，根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．由规律可知，第10个正方形的终点为，前10个正方形一共有个点，据此可得答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前三个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 由规律可知，第10个正方形的终点为，前10个正方形一共有个点，则第121个点是第10个正方形的终点为． 故答案为：． 考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标） 例5.如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式，． (1)求a，b的值． (2)求四边形的面积． (3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角坐标系中三角形面积的求法是解题的关键． （1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b的值； （2）由点，，点，可得四边形为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可； （3）根据点，列出，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，， ，； （2）由（1）得，，， ， ， ， 点、点， 轴，轴， ， 四边形为直角梯形，且，，， 四边形的面积； （3）存在，理由如下： 的面积，， ， ， 点P的坐标为或． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性得出，进而得出，即可求解； （2）根据平移可得，设，根据得出，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接，根据得出，即可求解； （3）设，当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线，根据，得出，根据得出，进而求得,当在轴的左侧时，同理可得的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， （2）∵使点平移到，平移到，， ∴平移方式为向右平移5个单位，向下平移5个单位， ∴， 设， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 如图所示，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接 ∵ ∴ 解得： ∴ （3）将线段平移使点平移到，点平移到， 设 当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线， ∴ ∵， ∴即 如图， 过点分别作的垂线交于点，连接， ∵ ∴， ∴ 即 将代入得 解得： ∴ ∴ 当在轴的左侧时，如图 ∵ ∴， ∴ 即， 如图，过点分别作的垂线与过点平行于的直线交于点，则 ∴ ∵， ∴即 代入，得 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和，可得四边形是矩形，进而根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积列出方程解答即可求解； （）由，得，，，进而根据与的面积相等，可得，即得或，再分情况解答即可； 本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴的面积矩形的面积的面积的面积的面积 ， 解得； （3）解：存在，理由如下： 如图， ∵，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴， ∴或， 当时，， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【变式5-3】在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两咱情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 考点六：坐标与图形综合（探究角的数量关系） 例6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，． (1)请写出A，B，C，D四点坐标； (2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与重合），请直接写出，，的数量关系． 【答案】(1)，，，； (2)存在，点的坐标为或 (3) 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得出点的坐标，再根据点的坐标的平移规律即可 （）先求出的面积为，设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得，解方程即可求解； （）如图，过作 ，可得，再根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将点分别向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到点的对应点， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设点的坐标为，则， ∴， 当三角形的面积与三角形的面积相等时，， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过作 ， 由题意可知， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，点平移的规律，一元一次方程的几何应用，平行线的性质及平行公理的推论，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式6-1】如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3)的度数不变， 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解： ，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：的度数不发生变化， 理由如下：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键． 【变式6-2】如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①1；②，；（Ⅱ）证明见解析；③或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）①求出此时的长，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； ②（Ⅰ）求出此时的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求可得，再根据图形面积之间的关系可证明结论； ③先根据题意补全图形，设，设，则，再求出，的度数，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）解：①当时，点Q的运动路程为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴， ∴； ③如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴ ， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【变式6-3】已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值是定值，定值为 【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标； （）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可； （）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴点坐标为，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点， 连接，由题可知，， 轴于点，且点三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又， ， ， 、满足的关系式为； ②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设， ， ， ， ， 解得，     ； 当点在点的右侧时，如图，，连接、， ∵， 此时不存在符合题意的点； 综上所述，满足条件的点的坐标为； （3）解：∵线段是由线段平移得到， 过、分别作，， 则， 设，则， ， ， 同理可证，， ，， ， ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1．大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，由根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：F，G的坐标为，根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，如图： 由图可得：点A的坐标为， 故选：D． 2．下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知平面直角坐标系中点的坐标代表的意义是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的坐标特征分别判断即可． 【详解】解：A、点在第二象限，故此选项错误，不符合题意； B、点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3， 则点的坐标为，故此选项错误，不符合题意； C、平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么，故此选项正确，符合题意； D、已知点，，则直线轴，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点M对应点的坐标是，已知点A的坐标是，则平移后点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键，根据点，先向右平移，再向下平移，得到点的坐标是，可得平移规律，再由平移规律即可求得点的坐标． 【详解】解：∵点，先向右平移，再向下平移，得到点的坐标是， ∴平移规律为：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位， ∵点A的坐标， ∴点的坐标， 故选：C． 4．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（5，1） C．（4，1） D．（4，2） 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减. 根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案. 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故选：B. 5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标规律变换，结合图形求出，…，发现当下标为偶数时，其横坐标是下标的3倍，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 同理可求：，，，，…， ∴当下标为偶数时，其横坐标是下标的3倍，纵坐标为2，当下标为奇数时，横坐标比前一个下标为偶数的横坐标大4，纵坐标为0， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 故选C． 6．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点的对应点分别为． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)若线段上一点的坐标为，写出平移后点的对应点的坐标； (3)若点在坐标轴上，三角形的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了坐标与图形变换——平移，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是概念． （1）根据点的平移方式，确定点的对应点，再依次连接，并写出坐标即可； （2）根据线段的平移方式写出的坐标即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上时，当点在轴上时，根据三角形面积公式分别求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求作的图形，； （2）解：由题意可知，线段的平移方式为先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度， 若线段上一点的坐标为，则平移后点的对应点的坐标为； （3）解：到轴的距离为2，到轴的距离为3，且， 当点在轴上时，， 解得：， 则或， 当点在轴上时， 解得：， 则或． 综上可知，点的坐标为或或或． 8．已知点，解答下列各题： (1)点在轴上，直接写出点的坐标为_______； (2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_______； (3)若点在第二象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形． （1）根据在轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标互为相反数，即，解出，再把代入求解即可作答． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ， ， ， ∴点P的坐标为； （2）解：点Q的坐标为，直线轴， ， ， ； ； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等， ∴点的纵坐标和横坐标互为相反数， ∴， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、平行线的性质与判定，结合图形添加平行线求出角度之间的关系是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，结合点的坐标即可得出点的坐标； （2）根据平移的性质得到，再利用三角形的面积公式求出的长，结合点的坐标即可得出点的坐标； （3）过点作，过点作，利用平行线的性质与判定得到，，根据角平分线的定义得到，，结合，即可求出的度数； （4）由（3）中的结论得，，，，再根据角度之间的等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段， ，， 又， ， 线段与之间的位置关系和数量关系分别是、，点的坐标为． 故答案为：、；． （2）解：由平移的性质得，， ， ， ， 三角形的面积为6， ， 解得：， 又，点在线段上， 点的坐标为． （3）解：如图，过点作，过点作，   ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 平分，平分， ，， ， 度． 故答案为：35． （4）解：，理由如下： 由（3）得，，，，， ， ． 10．在平面直角坐标系中，已知点点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点的坐标； (2)如图2，若，且分别平分，求的值； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案； （3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作，交轴于点，   ， 又∵， ， ， ， ∴； （3）解：存在． ∵，，， ∴的面积， 当点在轴上时，设， ，， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$