精品解析：江苏省海门中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试卷

江苏省海门中学2025届高三适应性考试试卷 数 学 2025.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ） A. 172 B. 204 C. 352 D. 364 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 10. 已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 的方程可以是 D. 的方程可以是 11. 甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为（），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，集合，则__________． 13. 中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 14. 已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记，求． 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 17. 如图，在三棱台中，，，，，，垂足为O，连接BO． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表： 预防药品 甲流病毒 合计 感染 未感染 未使用 24 21 45 使用 16 39 55 合计 40 60 100 （1）根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性； （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2025届高三适应性考试试卷 数 学 2025.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由方程得到，再由离心率公式计算可得答案. 【详解】由双曲线可得：， ，所以， 故选：B. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合图形即可得解. 【详解】依题意，，， 所以， ， 所以. 故选：C. 4. 如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ） A. 172 B. 204 C. 352 D. 364 【答案】D 【解析】 【分析】分数字“1”出现1次，3次和5次，三种情况下结合组合知识求出答案. 【详解】若数字“1”出现1次，则有种可能； 若数字“1”出现3次，有种可能； 若数字“1”出现5次，则有种可能， 故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦公式结合化简可得，即可得出答案. 【详解】由，可得， 则， 则，又，所以， 故选：B． 6. 已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和充分性、必要性的概念求解即可． 【详解】因为数列是公差不为0的等差数列，设其公差为，所以， 若成等比数列，则，解得，此时，为常数，充分性成立； 反之，若为常数列，则，则，得 ，则， 易知，故必要性成立，故“成等比数列”是“为常数列”的充要条件. 故选:C． 7. 已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，令，根据根的判定式得到有两个不相等的实根，不妨设，是的两实根，且，根据是函数的一个极大值点，即可得到，从而求出参数的取值范围． 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以有两个不相等的实根． 于是可设，是的两实根，且， 当时，， 所以当时，当或时，又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即不是的极值点，此时不合题意； 当且时，由于是的极大值点，故，即， 所以，即的取值范围是． 故选：D． 8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断. 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 的方程可以是 D. 的方程可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，即可求出，再求出过点与直线垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为点坐标，再设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为， 则切线长的最小值为，故A错误； 设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以，由，解得，所以，故B正确； 显然过点的切线的斜率存在， 设切线的方程为，则，解得或， 所以切线的方程为或，故CD正确. 故选：BCD 11. 甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由传球规则得，判断各选项的正误. 【详解】因为，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，即，C正确； 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以，D错误． 故选：AC． 【点睛】第次传球后，球回到甲处等价于第次传球后，球不在甲处且下一次传球给甲. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合中元素范围，再求即可. 【详解】，或， 则， 所以. 故答案为：. 13. 中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解. 【详解】因为， 所以， 即.， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得：. 因为， 所以，整理得：， 则， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为______ 【答案】－1或 【解析】 【分析】由已知可得函数有唯一零点，证明函数为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求的值. 【详解】因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点，又， ， 所以函数是偶函数，又函数有唯一零点， 则的零点为0，所以， 因为是R上的奇函数，所以， 由，解得， 所以，解得或. 经检验，时，对任意恒成立，因为是偶函数，所以对任意恒成立，即时由唯一零点，则有唯一零点，符合题意，同理符合题意． 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：解题关键是证明函数是偶函数，结合有唯一零点确定的零点为0，由此列式运算得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得出数列为等比数列，再根据条件求出，即可求出结果； （2）根据（1）得到，再利用错位相减法，即可求出结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，即，则， 则数列为等比数列，设其公比为，由， 得且，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得： ， 所以． 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 17. 如图，在三棱台中，，，，，，垂足为O，连接BO． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为，，， 所以，，所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，即可证明，再由，可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面； （2）取的中点，连接，由线面垂直和面面垂直的性质和判定定理可证明平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，，，所以， 同理可得：，所以是等边三角形， 取的中点，连接，所以， 由（1）知，平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 取的中点，连接，则， 所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，设，所以， 所以，所以， 可得. 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表： 预防药品 甲流病毒 合计 感染 未感染 未使用 24 21 45 使用 16 39 55 合计 40 60 100 （1）根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性； （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有效果 （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据代入计算即可； （2）根据全概率公式计算药品的治愈概率，再根据变量服从二项分布可得分布列和期望. 【小问1详解】 假设：使用预防药品与对预防甲流无效果， 由列联表可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品， 由题意可得， 且， 则， 治疗药品的治愈概率， 则， 所以，， ，， 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 . 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：是椭圆上的两个动点且，设，则. 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有. ∴，，且， 由，解得. 若直线的斜率都存在，设，则. 由，得，有；同理，得. 于是，. 由，可得. 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. ∴该定圆的方程为圆. 【解析】 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程. 【详解】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. （3）略 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $