19.1.1矩形的性质课件2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

19.1.1 矩形的性质 华东师大版数学八年级下册 新课讲授 导入新课 长方形 （也叫矩形） 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察. 矩形的性质 新课讲授 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形； 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也叫做长方形. 归纳总结 平行四边形不一定是矩形. A B C D 试一试 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢 ？ ∟ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 求证：矩形的四个角都是直角。 求证：矩形的对角线相等。 矩形的一般性质： A B C D O 具有平行四边形所有的性质 边 角 对角线 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 证一证 (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 性质1：矩形的四个角都是直角； 性质2：矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此 O 思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线. 做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条? O A B C D 四个同学正在做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对每个人公平吗？为什么？ 链接生活 公平 OA = OB = OC = OD 如果D位置的人没到位，其他三人构成了直角三角形的队伍继续游戏，这样对他们公平吗？ 公平 O A B C D BO是Rt△ABC斜边上的中线。 它与AC有怎样的大小关系？为什么？ BO等于AC的一半。 设矩形的对角线AC与BD交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？ 想一想 直角三角形的一个性质 ∟ A B C O ∟ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：∵在Rt△ABC中，BO是斜边上的中线 ∴BO= AC 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴ OA = AB = 4. ∴ AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 典例精析 方法小结： 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°则其中必有等边三角形 例1 如图，在矩形 ABCD 中，△AOB是等边三角形，AB = 4 ，求边BC的长度？ 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OB. ∵△OAB 是等边三角形. ∴ OA = OB=AB ∵AB=4 ∴ AC = BD = 2OA = 8. ∴在Rt△ABC中， BC====4 A B C D O 典例精析 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB C 5. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的______. A B C D O 第1题图 第4题图 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 3. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 4. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C C 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 课堂小结 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵ 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，即DE＝5. ∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积． $$