19.1 矩形-1.矩形的性质-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 八年级下册 HS 1 2 第19章 矩形、菱形与正方形 3 19.1 矩形 1.矩形的性质 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 矩形的定义 （第1题图） 1.如图，四边形 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那 么需要添加的条件是( ) D A. B. C. D. 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 四边形 是平行四边形.根据矩形的定义，可知添加D选项中的条件，可使 为矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识点2 矩形的性质定理1、2 2.【2023河南济源模拟】两个矩形的位置如图所示，若 ，则 ( ) C （第2题图） A. B. C. D. 【解析】如图,由题意可知 ， ， ， ， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第3题图） 3.【2024四川凉山州二模】如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点作，交于点，连结.若 ， 则 的度数是( ) C A. B. C. D. 【解析】 矩形的对角线相交于点， . 又，， , , ， , , .又, , , ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第4题图） 4.【2023福建龙岩期中】如图，矩形中， ，两条对角 线，所夹的钝角为 ，则对角线 的长为( ) B A.3 B.6 C. D.10 【解析】 四边形是矩形，， ， ， ，， 是等 边三角形，， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第5题图） 5.如图，在矩形中，，，作 的垂直平分 线分别与，边交于点，，则 的长为( ) B A. B. C. D.5 【解析】连结，如图. 四边形 是矩形， ， ， ， 的垂直平分线分别与 ，边交于点，，，.设 ，则 .在中，，即 ，解得 ，即 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 技巧总结 矩形的四个角是直角，因此常常与勾股定理相结合，建立方程求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第6题图） 6.【2024江苏扬州期末】如图，矩形的对角线， 交于 点，点是上的一点，连结并延长交于点 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积为____. 24 【解析】 四边形是矩形，， ， ，， ， ..， ， ，， . 在中，， ，故答案 为24. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 7.【2024四川广元期末】如图，折叠矩形，使点落在 边 上的点处，已知，，则 ___. 3 【解析】 四边形为矩形，，， ， .设，则 ，由折叠的性质可得 ，.在 中，由勾股定理可得 ,，.在 中，由勾股定理可 得，解得 ，故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 思路分析 设,则,根据折叠的性质可得，，在 中利用勾股定理求得长，即可得到长，在 中利用勾股定理列方程求 解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 8.【2023山东青岛期中】如图，矩形的对角线， 相交 于点，点，在上， . （1）求证： ； 【证明】 四边形是矩形，,, ， ，即.在和 中, , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）若, ，求矩形 的面积. 【解】 四边形是矩形，,,, . ，是等边三角形, , .在中, , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 1.【2024江苏盐城质检，中】矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成 和 两部分，则矩形的周长为( ) A A.或 B.或 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】如图（1），当,时，平分 ， 四边形为矩形，， ， ，， 矩形 的周长为 .如图（2），当， 时，同理可得， ， 矩形的周长为 综上所述，矩形的周长 为或 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （第2题图） 2.［中］如图，在矩形中，，相交于点， 平分 交于，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 四边形是矩形， ， ，，， 平分 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （第3题图） 3.［中］如图，在矩形中，是边上的动点， 于 点，于点，如果，，那么 的值 为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，连结，过点D作于点 四边形 是 矩形， ，，， ， ，.由勾股定理，得 ， ， . ， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 思路分析 连结，过作于，求出, ，根据三角形面积公式得出 ，即可得出答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第4题图） 4.【2023重庆沙坪坝区调研，中】如图，在矩形中，， 分别为，上一点，，，若 ，矩形 的周长为26，则矩形 的面积为____. 40 【解析】 四边形是矩形，，， 矩形 的周长为26，， ， ，.在 和 中，.. ， ，， ， ，， ，故答案为40. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 5. ［较难］如图，在矩形中，，，，分别从， 同 时出发以相同的速度向点运动，则 的最小值为____. 17 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】设 四边形是矩形， ， ， .欲 求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点 到 ，的距离和最小，如图，作点关于轴的对称点 ，连 结,， ， ， 的最小 值为17， 的最小值为17.故答案为17. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 技巧总结 可以将前边得到的 的式子和平面直角坐标系中求两点间距离的公式相联 系，那么可以看作是到 的距离，同理另一个式子可以看 作是到的距离，的式子就可以看作是到和 的距 离之和. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 6.【2023四川成都期中，较难】如图，在矩形中，对角线， 相交于点 ，， ，点在线段上从点向点运动，连结，以 为边作等边三角形，点和点分别位于 两侧. （1）求证： ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【证明】 四边形是矩形,,, , ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （2）求证： ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【证明】如图，连结.在和 中， . ， ， .， . ，.在 和 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）求点 运动的路程. 【解】如图，延长至，使，连结 ， 为 等边三角形, 点在线段上从点往点运动的过程中，点从点沿线段 运 动到.在中,设,则,,解得. ,,， 点运动的路程是 . 思路分析 延长至,使,连结,由 得 为等边三角 形，进而得到点的运动轨迹是从点沿线段运动到 ，再由勾股定理求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2024重庆北碚区质检，难】如图（1），四边形 是矩 形，是边上的一点，是边的中点，平分 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）求证： . 【证明】如图（1），延长交的延长线于点 . 四边形是矩形，，平分 ， ，为的中点， . 在和中， ..，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）如图（2），若四边形 是平行四边形，其他条件不变，（1）中的结论 是否成立? 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解】（1）中的结论依旧成立. 理由：如图（2），延长交的延长线于点 . 四边形是平行四边形， ， . 平分 ， ， . 为的中点， . 在和中， ..， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $$