八年级数学下学期期末模拟试卷（苏科版，培优卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）

八年级数学下学期期末模拟试卷（培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列问题，适合抽样调查的是(    ) A．了解一批灯泡的使用寿命 B．学校招聘老师，对应聘人员的面试 C．了解全班学生每周体育锻炼时间 D．上飞机前对旅客的安检 4．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．若顺次连接一个四边形的各边的中点所得的四边形是矩形，则原来的四边形的两条对角线（    ） A．互相垂直且相等 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直 7．关于x的分式方程1有增根，则a的值为（   ） A．－1 B．5 C．1 D．3 8．如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点 的运动，线段 长（   ） A．随着点 P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 9．使有意义的x的取值范围是 ． 10．对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 11．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 倍． 12．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有 ． 13．如图，为了考察七年级学生地理成绩情况，根据学号随机抽取样本，绘制出对应的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），若85分及以上记为“优秀”，则这次抽取的学生中地理成绩优秀的有 人． 14．如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm． 16．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③点P为中点；④，错误的是 ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算： （1）（； （2） 18．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 19．（10分）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 20．（8分）如图，已知ΔABC的三个顶点坐标为A(−3，4)、B(−7，1)、C(−2，1)． (1)请画出关于坐标原点的中心对称图形△，并写出点的对应点的坐标： ； (2)将绕坐标原点顺时针旋转，直接写出点的对应点的坐标： ； (3)请直接写出：位于第三象限且与A、B、C三个顶点构成平行四边形的D的坐标： ． 21．（8分）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 22．（8分）我市某区对参加市模拟考试的8000名学生的数学成绩进行抽样调查，抽取了部分学生的数学成绩（分数为整数）进行统计，绘制成频率分布直方图．如下图，已知从左到右五个小组的频数是之比依次是6：7：11：4：2，第五小组的频数是40． （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）若72分以上（含72分）为及格，96分以上（含96分）为优秀，那么抽取的学生中，及格的人数、优秀的人数各占所抽取的学生数的百分之多少？ （3）根据（2）的结论，该区所有参加市模拟考试的学生，及格人数、优秀人数各约是多少人？ 23．（10分）今年，我市某学校举办了为贫困生捐赠书包活动.该学校用2000元在某商店购进一批学生书包，随后发现书包数量不够，于是又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批的3倍，每个书包比第一批购买时贵了4元，结果第二批用了6300元． (1)该学校第一批购进的学生书包每个多少元？ (2)如果该商店第一批、第二批学生书包每个的进价分别是68元、70元，售给该学校的这些学生书包，该商店盈利多少元？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 25．（12分）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 26．（14分）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”． 解决问题： (1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号） (2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式； (3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末模拟试卷（培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、π是一个数，不是字母，故不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是不是分式，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的定义，关键是理解分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解决本题的关键． 3．下列问题，适合抽样调查的是(    ) A．了解一批灯泡的使用寿命 B．学校招聘老师，对应聘人员的面试 C．了解全班学生每周体育锻炼时间 D．上飞机前对旅客的安检 【答案】A 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】A. 了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，宜采用抽样调查；     B. 学校招聘老师，对应聘人员的面试，工作量比较小，宜采用普查； C. 了解全班学生每周体育锻炼时间，工作量比较小，宜采用普查；     D. 上飞机前对旅客的安检，事件比较重要，宜采用普查； 故选A. 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查. 4．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：A、，不能和合并，故本选项错误； B、，不能和合并，故本选项错误； C、，不能和合并，故本选项错误； D.=，能和合并，故本选项正确； 故选D． 5．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标关系，分别代入计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 当时，，因此选项A不符合题意； 当时，，因此选项B不符合题意； 当时，，因此选项C不符合题意； 当时，，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的关键． 6．若顺次连接一个四边形的各边的中点所得的四边形是矩形，则原来的四边形的两条对角线（    ） A．互相垂直且相等 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直 【答案】D 【详解】∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点, ∴EF,GF,GH,HE分别是的中位线， ∴EF∥AC∥GH,GF∥BD∥EH, ∵四边形EFGH是矩形. ∴EF⊥GF ∴AC⊥BD， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质及三角形的中位线的性质定理，熟练掌握矩形的各个内角是直角，三角形中位线的性质定理，是解题的关键． 7．关于x的分式方程1有增根，则a的值为（   ） A．－1 B．5 C．1 D．3 【答案】D 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据增根为x=2,代入即可求解． 【详解】解1 1-a+2=x-2 x=5-a ∵分式方程1有增根 ∴增根x=2=5-a 解得a=3 故选D． 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的解法． 8．如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点 的运动，线段 长（   ）    A．随着点 P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线性质和勾股定理，熟记性质以及定理并求出的值是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解． 【详解】连接，过点C作，交延长线于，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 9．使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得：4x-1≥0， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 10．对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】由题意得：， 解得： 故答案为：． 11．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 倍． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到． 【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 得到：． ∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 则此分式的值扩大为原来的 5倍． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用． 12．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有 ． 【答案】10个 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以袋中白球有10个． 故答案为：10个． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．如图，为了考察七年级学生地理成绩情况，根据学号随机抽取样本，绘制出对应的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），若85分及以上记为“优秀”，则这次抽取的学生中地理成绩优秀的有 人． 【答案】 【分析】找出85分及以上的各组人数相加即可. 【详解】解：这次抽取的学生中地理成绩优秀的有： （人）， 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 14．如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是 ． 【答案】 【分析】连接，，由旋转的性质可得，，，即为等边三角形，根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：连接，，如下图： 由旋转的性质可得，，， 即为等边三角形， ∴， 在中，，， 则， ∵点D是中点， ∴，即 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm． 【答案】5 【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CD=AB， ∴AB=2CD=2×5=10cm， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴EF=×10=5cm． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 16．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③点P为中点；④，错误的是 ． 【答案】④ 【分析】①证明四边形为平行四边形，得，得，再由正方形的性质得，即可判断选项正误； ②证明，进而得出是等腰直角三角形，即可判断选项正误； ③过H作，与交于点M，连接，证明四边形为矩形，再证明得，即可判断选项正误； ④将绕点A顺时针旋转，得，连接，证明得，进而得，即可判断正误． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ，①正确； ②是正方形，是正方形， ，，， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形，②正确； ③过H作，与交于点M，连接，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P为中点，③正确； ④将绕点A顺时针旋转，得，连接，则，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 由旋转性质知，，， ， ， ，④错误； 故答案为：④． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： （1）（； （2） 【答案】(1) ;(2) 2- 【详解】试题分析：根据二次根式的混合运算顺序进行运算即可. 试题解析： （1）原式    原式   18．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了分式的加减，以及解分式方程，熟练掌握相关的运算步骤和运算法则是解题的关键．解分式方程注意要检验． （1）先化简，再通分，最后进行分式的加减； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边都乘以，去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 是原分式方程的解． 19．如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 20．如图，已知ΔABC的三个顶点坐标为A(−3，4)、B(−7，1)、C(−2，1)． (1)请画出关于坐标原点的中心对称图形△，并写出点的对应点的坐标： ； (2)将绕坐标原点顺时针旋转，直接写出点的对应点的坐标： ； (3)请直接写出：位于第三象限且与A、B、C三个顶点构成平行四边形的D的坐标： ． 【答案】(1)图见解析，（3，-4） (2)（4，3） (3)（ -6，-2 ） 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点P，E，F即可； （3）根据平行四边形的性质，画出图形可得结论． 【详解】（1）解：如图，△即为所求，（ 3，-4 ）． 故答案为：（3，-4）； ； （2）解：如图，△PEF即为所求，P（4，3）． 故答案为：（4，3）； （3）解：如图，点D即为所求，D（-6，-2 ）． 故答案为：（-6，-2）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，图形与坐标，平行四边形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 21．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 22．我市某区对参加市模拟考试的8000名学生的数学成绩进行抽样调查，抽取了部分学生的数学成绩（分数为整数）进行统计，绘制成频率分布直方图．如下图，已知从左到右五个小组的频数是之比依次是6：7：11：4：2，第五小组的频数是40． （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）若72分以上（含72分）为及格，96分以上（含96分）为优秀，那么抽取的学生中，及格的人数、优秀的人数各占所抽取的学生数的百分之多少？ （3）根据（2）的结论，该区所有参加市模拟考试的学生，及格人数、优秀人数各约是多少人？ 【答案】（1）600；（2）80%，20%；（3）及格人数约为6400人，优秀人数约为1600人． 【详解】试题分析：（1）因总数一定；故频数的比值就是频率的比值，可得从左到右各小组的频率之比依次是6：7：11：4：2；且频率之和为1；可求得：第五小组的频率，进而求得共抽查的学生人数； （2）根据频率的计算方法，计算可得； （3）用样本估计总体，按照求得的比例，计算可得答案． 试题解析：（1）∵从左到右各小组的频数之比依次是6：7：11：4：2， ∴设第一小组的频数为6a，则其它小组的频数依次为7a，11a，4a，2a， ∵第五小组的频数是40， ∴2a=40， ∴a=20， ∴本次调查共抽取的学生数为6a+7a+11a+4a+2a=600（人）． 答：本次调查共抽取的学生数为600人． （2）由（1）知及格学生的人数为480人，优秀学生的人数为120人， ∴它们各占的百分比为×100%=80%，×100%=20%． 答：及格学生的人数，优秀学生的人数各占的百分比为80%和20%； （3）由（2）知：及格人数为8000×80%=6400（人）， 优秀人数为8000×20%=1600（人）． 答：8000名学生中，及格人数约为6400人，优秀人数约为1600人． 考点：1.频数（率）分布直方图；2.用样本估计总体． 23．今年，我市某学校举办了为贫困生捐赠书包活动.该学校用2000元在某商店购进一批学生书包，随后发现书包数量不够，于是又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批的3倍，每个书包比第一批购买时贵了4元，结果第二批用了6300元． (1)该学校第一批购进的学生书包每个多少元？ (2)如果该商店第一批、第二批学生书包每个的进价分别是68元、70元，售给该学校的这些学生书包，该商店盈利多少元？ 【答案】(1)该学校第一批购进的学生书包每个80元 (2)该商店共盈利元 【分析】（1）设该学校第一批购进的学生书包每个元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）结合题意，利用有理数四则混合运算列式计算即可． 【详解】（1）解：设该学校第一批购进的学生书包每个元，根据题意列方程： 解得 经检验是原分式方程的解 答：该学校第一批购进的学生书包每个80元. （2）第一批书包数量：. 第二批书包售价为80+4=84元， 第二批书包数量： 该商店共盈利：（元） 或（元）． 【点睛】题目主要考查分式方程及有理数混合运算的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或； (4)或． 【分析】（）把代入可得，把代入即可求得； （）根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标，观察函数图象即可求解； （）根据图象即可求解； （）根据即可求得，求得或； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把代入可得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴关于原点对称，， 由图象可知，当或时，， 故答案为：或； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性可知， 由图象可知，当或时，， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为:或； （4）∵的面积为， ∴， ∴， ∴或． 25．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 26．定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”． 解决问题： (1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号） (2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式； (3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 【答案】(1)①③ (2)y＝x (3)见解析 【分析】（1）根据反比例函数图像上点的坐标的特征可得答案； （2）根据矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标的特征可得A（2，4），，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式； （3）设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案． 【详解】（1）①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4）， ∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24， ∴A、C满足同一个反比例函数， ②∵A（1，5），C（2，3）， ∴1×5＝5，2×3＝6， ∴A、C不满足同一个反比例函数， ③∵A（3，4），C（2，6）， ∴3×4＝12，2×6＝12， ∴A、C满足同一个反比例函数， ∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③， 故答案为：①③； （2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点， ∴A（2，4），， ∴D（，4）， 设直线BD的解析式为y＝ax+b， 则， ∴， ∴y＝x； （3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上， 设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ）， 设直线BD的解析式为＝cx+d， 则， ∴， 即y＝x， ∴直线BD过原点． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$