专题02 数列求通项与求和（6考点清单，知识导图+16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单02 第一章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+16题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【答案】64 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】因为，利用累加法可求得的通项公式，将代入通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以 ，. 故答案为：64 【变式1-1】.（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得. 【详解】数列中，，， . 故选：C 【变式1-2】.（多选）（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和 【分析】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项. 【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 【变式1-3】.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 . 【答案】/ 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、累加法求数列通项 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】由，得， 则当时，， 又满足上式，因此，， 所以. 故答案为： 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式2-2】.（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 【变式2-3】.（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】累乘法求数列通项、错位相减法求和 【分析】（1）由累乘法结合题意可得答案. 【详解】（1）， 则，，， ，则当时， ，满足上式， 所以数列通项公式为 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果； 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. 【变式3-1】.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）根据题设的递推关系可得，故可求的通项公式. 【详解】（1）因为①，故得②， ①－②得，得． 在中，令，得， 又，所以，解得，所以， 故，而，故是以2为首项、2为公比的等比数列， 所以． 【变式3-2】.（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； 【详解】（1）①，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【变式3-3】.（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）当时，由可得出，两式作差可得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； 【详解】（1）由，当时，， 则，整理得. 因为，所以是以为首项，以公比的等比数列， 所以. 【变式3-4】.（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用递推公式即可求解； （2）利用得，即数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求，最后即可求. 【详解】（1）， ． （2）由，得， 故． ， 即， 则， 所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ， 又，满足上式，． 当时，， 又适合上式，． 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、累加法求数列通项 【分析】（1）作差即可求解，同除以得为等差数列，即可求解，或者利用累加法求解， 【详解】（1）① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 【变式4-1】.（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【答案】 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求. 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 【变式4-2】.（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而满足，因此， 令， 因，则数列是等差数列， 由的最大值为，得，解得， 故实数的最大值是. 故答案为：. 【变式4-4】（24-25高二下·四川达州·期中）已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据的关系，作差可得是首项为7，公差为3的等差数列，即可求，作差即可求解， 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，即． 当时，，解得或（舍去）， 所以是首项为7，公差为3的等差数列，故， 因为，① 所以当时，，② ①-②得，也满足． 故的通项公式为，的通项公式为． 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由递推公式可得，从而得到是等比数列，利用等比数列通项公式得到从而得到的通项公式. 【详解】解：因为，所以， 又因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 故答案为： 【变式5-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【答案】64 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】因为，利用累加法可求得的通项公式，将代入通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以 ，. 故答案为：64 【变式5-2】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 【变式5-3】.（23-24高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】将变形为，然后利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【知识点】构造法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【变式6-1】.（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式. 【详解】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 【变式6-2】.（23-24高一下·辽宁营口·期末）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】． 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 故答案为：． 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式7-1】.（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 【变式7-2】.（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】取倒数即可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 【变式7-3】.（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知数列|中，，，则满足的n的最小值为 . 【答案】13 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】先构造数列得出等比数列计算得出，再计算不等关系结合指数幂的运算求解即可求参 【详解】由，得，则． 因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 由，可得，所以， 即，又，，故满足的n的最小值为13. 故答案为：13. 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【答案】4050 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据可得，结合函数得到当时，，进而结合倒序相加法求解即可. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 因此， 所以. 故答案为：4050. 【变式8-1】.（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【答案】1009 【知识点】倒序相加法求和、指数幂的运算 【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得，解得， 所以所求值为1009. 故答案为：1009 【变式8-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 【答案】4038 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合倒序相加法求和作答. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则， 由，当时，， 于是，令， 则 因此， 所以. 故答案为：4038 【变式8-3】.（2024高一·全国·单元测试）设，若，试求： （1） ； （2） ． 【答案】 1 500 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】（1）代入求和化简，即可得出答案； （2）根据（1）的结论，可推得，倒序相加，即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）由（1）可得，. 所以，， 所以. 故答案为：1；500. 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）数列为等差数列，由已知可求得首项和公差，进而可得数列的通项公式；又，可得数列是公比为2的等比数列，结合已知条件，可求得其首项，进而可得通项公式； （2）由（1）得，利用等差等比数列的求和公式，采用分组求和的方法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得， 所以； 数列满足，即，所以是公比为2的等比数列， 又，即，所以，解得，所以； （2）由（1）得，， 所以              . 【变式9-1】.（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等比中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 【变式9-2】.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)设， 求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据（1）求出的通项公式，是由一个等差数列加一个等比数列得到，利用分组求和法即可求出前n项和 【详解】（1）当时，， 当时，， 故是以1为首项,2为公比的等比数列， 所以通项公式为. （2）， 令为的前n项和； = . 【变式9-3】.（24-25高二下·河南南阳·期中）记是等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与前n项和公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由等差数列、等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为数列为等差数列，设其首项为，公差为， 由可得，解得， 则. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，，设， 则 由等差数列与等比数列的前n项和公式可得. 【变式9-4】.（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知正项数列满足，设是数列的前项和，且； (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由的关系结合等差数列的性质证明即可； （2）先由等差数列的基本量法求出的通项公式，再求出，然后由的关系可得； （3）采用分组求和法结合等比数列的求和公式可得. 【详解】（1）当时：， ， 即， 故是以公差为1的等差数列. （2）因为， 由（1）问知：，故， 当时：． 又由于也满足上式，. （3）由（2）问知， . 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； (3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； （2）数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； （3）， 则数列的前2n项和 . 【变式10-1】.（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 【变式10-2】.（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可； （2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 【变式10-3】.（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设的公差为d，利用已知条件求出可得答案； （2）求出n为奇数、偶数时，再利用分组利用等差数列、等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设的公差为d， 由得， 化简得，解得，所以； （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时 所以 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 【变式11-1】.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知等差数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得，再由通项公式即可求解； （2）由（1）可知，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 【变式11-2】.（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明； （2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案； （3）根据已知得出，进而裂项求和，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有， 所以，. （3）由（2）可知， 所以， 所以，， 所以有数列的前n项和. 【变式11-3】.（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、根据规律填写数列中的某项、由Sn求通项公式 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的性质先求出公比，再求出，即可求出等比数列通项公式； （2）先求出，并将其裂项，再根据裂项相消法即可求出的前项和. 【详解】（1）设递增等比数列的公比为，则． 因为， 所以，解得． 所以，解得， 所以． （2）因为， 所以， ． 【变式12-1】.（24-25高二下·四川内江·期中）已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故， 故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知．， 所以，- 故 由于，故， 【变式12-2】.（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足． (1)记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等比数列定义证明即可，再应用通项公式计算求解； （2）根据等差数列通项公式基本量运算求解； （3）应用裂项相消计算证明. 【详解】（1），，即， 又，所以数列为以6为首项，以3为公比的等比数列， 故 （2）由（1）知，，所以， 所以数列为等差数列，且公差为2所以， 即，所以． （3）因为， 所以 ． 【变式12-3】.（2025·湖南邵阳·二模）已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由等差中项求出，再由基本量法求出通项即可； （2）由递推关系构造数列，再由基本量法可证； （3）由裂项相消法可得. 【详解】（1）是等差数列，，． 又，． 等差数列的公差， ． （2），． 又，，为常数． 是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）得， 记， ． 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）由题意将题给等式变形为，则根据等差数列的定义可证明数列是等差数列； （2）由（1）先求出数列的通项公式，从而求得数列的前n项和，再根据可求出，从而求出的通项公式，最后利用错位相减法求出的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以，所以， 因，① ，② ②-①得，③ 则，④ ③-④得 所以. 【变式13-1】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知数列满足，令. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据，即可根据等比数列的定义证明为等比，求解首项，即可利用等比数列的通项公式求解， （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式即可化简求解. 【详解】（1）因为，则，所以， 又，则，故，因此是以4为首项，2为公比的等比数列, 则. （2）由（1）知，，所以①， 则②， 由①-②得到， 故 因此 【变式13-2】.（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）由已知可得，，代入变形可证结论； （2）由（1）可求得； （3）由（2）可得，利用分组求和法，结合错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 即， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. （3）由（2）得， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 【变式13-3】.（24-25高二下·广东·期中）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． （2）由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 【变式13-4】（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由已知条件列方程可求出公差，从而可求出，设等比数列的公比为，由已知条件列方程组求出，从而可求出； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，，则，得， 所以， 所以，， 因数列为单调递增的等比数列，则可设数列的公比为， 因为，所以，得或（舍）， 所以，解得， 所以， 则数列的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以． 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 【变式14-1】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】（1）由题意列方程组求解首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，讨论和，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由于， 则，解得， 故； （2）由（1）可知， 当时，， 则； 当时，， 则， 故. 【变式14-2】.（24-25高二上·河南·阶段练习）已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据给定条件，结合前项和公式及等差数列性质可得，由此求出公差的范围即可求得公差得解. （2）由数列的特性，结合等差数列前项和公式分段求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， ，解得，则， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，，， 则数列是递减等差数列，前49项均为正，从第50项起为负， 当时，， 当时，， 所以. 【变式14-3】.（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的性质和等差数列的通项公式即可求解； （2）根据数列的通项公式可以得出数列的前49项为正值，进而求解即可. 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，即. 设的公差为，因为，所以，即. 因为，所以，所以通项公式为. （2）由（1）知. 设数列的前n项和为，则. 当时，； 当时，. 综上，. 【变式14-4】.（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足. (1)设，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列、累加法求数列通项 【分析】（1）对已知的式子变形得，则，从而可得数列是以4为公比的等比数列，进而可求出的通项公式； （2）由（1）求出，从而可求出，进而可求出 【详解】（1）由可知，，即， 由可知，， 所以是以12为首项，4为公比的等比数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 , 又符合上式,所以, 所以， 所以的前20项和. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． (1)若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； (2)若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 【答案】(1)，数列是“m接近数列”， 的一个可能值为3； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，的一个可能值为. 【知识点】判断数列的增减性、求等比数列前n项和、构造法求数列通项、数列新定义 【分析】（1）根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出，进而求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断即可. （2）（ⅰ）把代入，利用构造法求出，再取其奇数项构成的子列，结合给定定义推理得证；（ⅱ）利用构造法求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断得解. 【详解】（1）数列是“m接近数列”，理由如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，整理得， 则，而，因此数列是首项、公比都为的等比数列，， ，，而数列是递减数列， 所以数列是“m接近数列”，的一个可能值为3. （2）（ⅰ）当时，数列中，， 则，而，即数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，， 当为正奇数时，，数列递增，且随着正奇数的无限增大，趋近于正无穷大， 故存在正整数，对任意，当时，是递增的， 所以不是“m接近数列”. （ⅱ）是否为“m接近数列”，理由如下： 当时，，则， 又，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，而， 数列是递减数列， 所以是“m接近数列”， 的一个可能值为. 【变式15-1】.（多选）（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）若无穷数列，存在正整数，对任意，均有，则称数列是弱增数列，下列说法正确的是（    ） A．公差大于的等差数列一定是“弱增数列” B．公比大于的等比数列不一定是“弱增数列” C．若，则数列不是“弱增数列” D．若，则数列是“弱增数列” 【答案】ABD 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】根据“弱增数列”的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，设等差数列的公差为， 所以， 因为正整数，， 所以，即，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为， 所以， 因为正整数，， 所以，当时，，即，故B正确； 对于C，因为， 所以， 因为，，所以单调递增， 所以，当时，恒成立，故C错误； 对于D，因为, 所以， 因为，， 所以当时，，此时，即， 故数列是“弱增数列”，D正确. 故选：ABD 【变式15-2】.（24-25高二下·广东·期中）设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则 【答案】 16 219 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】列举出数列的各项，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，得，分类讨论为或不为6的整数倍，求出对应的，即可求出；结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】由，且得， ， 所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…， 则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列， 所以， 当为6的整数倍时，； 当不为6的整数倍时，，所以； 当时， ， 故． 故答案为：16；219 【变式15-3】.（24-25高二下·北京·期中）已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的T称为的最小周期．设数列满足，其中，，，． (1)当，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列的最小周期； (2)当时，求证：对任意，的最小周期为定值； (3)当a为大于2的质数，时，设T为的最小周期，．求证：S为整数．（参考结论：若p为大于2的质数，则是p的倍数） 【答案】(1)4 (2)8 (3)证明见详解 【知识点】数列新定义 【分析】（1）直接列举数列的前几项，进而发现周期； （2）根据条件可知，，找出最小的值即可； （3）根据条件可知，，因此是的约数，求出数列在一个周期内的和，结合等比数列的前n项和即可证明. 【详解】（1）对于 数列是的最小周期是4； 对于 数列的最小周期是4； 对于 数列是的最小周期是4； 对于 数列是的最小周期是4； 故数列的最小周期是4. （2）当时，数列是由和递推关系定义的， 递推关系可表示为模运算： 该递推的周期与2在模17下的阶数有关，即最小的使得， 因为，，，． 因此，2的阶数为8，即， 推广到任意初始值，由于是质数，且，故与17互质， 此时，数列的周期仅取决于2的阶数，与初始值无关， 因此，无论取何值，数列的最小周期均为8. （3）数列是由和递推关系定义的， 数列的递推关系为， 因为，故数列的通项为： 根据费马小定理，，因此是的约数， 设T为的最小周期，即是2在模下的阶数，即最小的满足， 在一个周期内， 由等比数列前n项和可知， 因为是2的阶数，所以，因此： 即整除，从而整除， 因此：， 所以， 因为，所以是整数. 【变式15-4】（24-25高二下·重庆·期中）如果数列对任意的，则称为“中值偏大数列” (1)若数列为“中值偏大数列”，求正实数的取值范围； (2)若数列为“中值偏大数列”，且任意项，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)64 【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义 【分析】（1）利用“中值偏大数列”的定义可得，进而解不等式即可； （2）根据“中值偏大数列”的定义有，，，，，累加得，再结合已知求参数最大值即可. 【详解】（1）因为数列为“中值偏大数列”，， 则，则， 即，解得且， 所以正实数的取值范围为. （2）因为数列为“中值偏大数列”， ，，， 所以对，有，即，且， 所以，，，， 累加得， 所以， 由，得， 又，， 所以正整数的最大值为. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可. 【详解】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 3．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构造法求数列通项 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据给定的递推公式，利用取倒数及构造法求出通项公式即可. 【详解】由，得，，则， 而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 因此，所以． 故选：C 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据裂项相消法求前n项和为，从而可得的值. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：C. 6．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足（），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求得前10项和即可. 【详解】当时，； 当，且时，， 所以， 两式相减得，所以，， 所以（）， 所以（）， 所以数列的前10项和为： ． 故选：A． 7．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则 故选：A 8．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 10．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 【答案】AD 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由数列前项和求出数列通项，从而得到新的数列通项，然后利用裂项相消求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， ∴. ∴， ∴. 故答案为：. 12．（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】30 【知识点】分组（并项）法求和 【分析】根据已知通项公式写出，分组求和即可. 【详解】由题设. 故答案为：30 四、解答题 13．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， . 14．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知数列的首项，且满足（） (1)求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由（1）求得，再由裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）由得， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 . 15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）结合等比数列求和公式，利用累加法求解通项公式. （2）先利用累加法求和，然后根据数列的有界性证明即可. 【详解】（1）数列满足，， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故． （2）由（1）可知， 所以． 因为，所以． 16．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且． (1)求和d； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由列出方程组求解即可； （2）根据等差数列通项公式即可求解； （3）根据错位相减法即可求解． 【详解】（1），由，解得， 所以． （2）． （3）， 则①，②， ②①得，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第一章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+16题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【变式1-1】.（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 【变式1-2】.（多选）（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 . 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【变式2-1】．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； 【变式3-1】.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. 【变式3-2】.（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； 【变式3-3】.（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； 【变式3-4】.（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； 【变式4-1】.（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【变式4-2】.（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【变式4-3】.（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【变式4-4】（24-25高二下·四川达州·期中）已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【变式5-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【变式5-2】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ． 【变式5-3】.（23-24高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【变式6-1】.（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【变式6-2】.（23-24高一下·辽宁营口·期末）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【变式7-1】.（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【变式7-2】.（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 . 【变式7-3】.（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知数列|中，，，则满足的n的最小值为 . 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【变式8-1】.（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【变式8-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 【变式8-3】.（2024高一·全国·单元测试）设，若，试求： （1） ； （2） ． 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式9-1】.（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式9-2】.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)设， 求的前项和. 【变式9-3】.（24-25高二下·河南南阳·期中）记是等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式9-4】.（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知正项数列满足，设是数列的前项和，且； (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 【变式10-1】.（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【变式10-2】.（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【变式10-3】.（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【变式11-1】.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知等差数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式11-2】.（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前n项和. 【变式11-3】.（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【变式12-1】.（24-25高二下·四川内江·期中）已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【变式12-2】.（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足． (1)记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和，求证：． 【变式12-3】.（2025·湖南邵阳·二模）已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【变式13-1】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知数列满足，令. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式13-2】.（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【变式13-3】.（24-25高二下·广东·期中）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式13-4】（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式14-1】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式14-2】.（24-25高二上·河南·阶段练习）已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式14-3】.（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式14-4】.（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足. (1)设，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． (1)若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； (2)若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 【变式15-1】.（多选）（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）若无穷数列，存在正整数，对任意，均有，则称数列是弱增数列，下列说法正确的是（    ） A．公差大于的等差数列一定是“弱增数列” B．公比大于的等比数列不一定是“弱增数列” C．若，则数列不是“弱增数列” D．若，则数列是“弱增数列” 【变式15-2】.（24-25高二下·广东·期中）设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则 【变式15-3】.（24-25高二下·北京·期中）已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的T称为的最小周期．设数列满足，其中，，，． (1)当，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列的最小周期； (2)当时，求证：对任意，的最小周期为定值； (3)当a为大于2的质数，时，设T为的最小周期，．求证：S为整数．（参考结论：若p为大于2的质数，则是p的倍数） 【变式15-4】（24-25高二下·重庆·期中）如果数列对任意的，则称为“中值偏大数列” (1)若数列为“中值偏大数列”，求正实数的取值范围； (2)若数列为“中值偏大数列”，且任意项，求整数的最大值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足（），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 三、填空题 11．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 12．（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项和为，，则 . 四、解答题 13．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 14．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知数列的首项，且满足（） (1)求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项的和． 15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：． 16．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且． (1)求和d； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$