专题04 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单04 第二章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间． 【变式1-1】.（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式1-2】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高二下·全国·课堂例题）求函数的单调区间. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．1 【变式2-1】.（24-25高二下·北京东城·期中）函数在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高二下·山东·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高二下·福建·期中）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高二下·江苏扬州·期中）若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二下·河北·期中）已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（多选）（24-25高二下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例5】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【变式5-1】.（2025·江西·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； 【变式5-2】.（2025·江西新余·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； 【变式5-3】.（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)当时，讨论函数在上的单调性. 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例6】（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式6-1】.（2024·江西·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； 【变式6-2】.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式6-3】.（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例7】（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数 . (1)求函数的单调区间. 【变式7-1】.（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)证明：当时，只有1个零点； (2)当时，讨论的单调性； 【变式7-2】.（23-24高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的最大值； (2)讨论的单调性； 【变式7-3】.（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 【考点题型八】求函数极值（点）（） 【例8】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数在处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求的极值. 【变式8-1】.（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数在点处的切线的斜率为 (1)求； (2)求的单调区间和极值． 【变式8-2】.（2024·安徽·二模）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【变式8-3】.（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值和函数的解析式； (2)求函数的单调区间和极值． 【变式8-4】（23-24高一上·江西南昌·期末）设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极值． 【考点题型九】已知函数极值（点）求参数（） 【例9】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【变式9-1】.（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【变式9-2】.（23-24高三上·河南·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的取值范围． 【变式9-3】.（23-25高二·全国·单元测试）已知函数． (1)当在处取得极值时，求函数的解析式； (2)当的极大值不小于时，求的取值范围． 【变式9-4】（23-24高三上·江西赣州·期末）函数（且为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处取得极大值，求实数m的取值范围. 【考点题型十】函数最值问题（） 【例10】（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； (2)若，求的最大值. 【变式10-1】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 【变式10-2】.（2024·江西·一模）已知函数． (1)若在R上单调递减，求a的取值范围； (2)若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 【变式10-3】.（2024·江西·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间与最大值． 【考点题型十一】根据函数最值求参数（） 【例11】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)当时，的值域为，求的值． 【变式11-1】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值是，求的值． 【变式11-2】.（23-24高二下·北京丰台·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 【变式11-3】.（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 提升训练 一、单选题 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 4．（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）函数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 二、多选题 9．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 10．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若函数有极值，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 11．（24-25高二下·天津·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是 . 12．（24-25高二下·天津·期中）已知函数在处有极值0，则的值为 ． 四、解答题 13．（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 14．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 15．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若是减函数，求的取值范围. 16．（2025·吉林·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； (3)当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第二章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，再整理成一般式方程即可； （2）求出函数导数后，解不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线斜率， 因为，所以切线方程为，即. （2）由已知可得. 令，解得或， 所以的单调增区间为和. 【变式1-1】.（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 【变式1-2】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间为，结合选项可知只有D符合题意. 故选：D 【变式1-3】.（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系分析函数的递增区间，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，，其定义域为， 其导数， 若，即，解可得或， 即的递增区间为、， 只有C符合． 故选： C 【变式1-4】（24-25高二下·全国·课堂例题）求函数的单调区间. 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； 【详解】函数的定义域为． ． 因为，所以． 由，解得；由，解得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意，将函数在区间上单调递增，转化成在上恒成立，利用分离参数法结合函数单调性求出最值即可得到的取值范围. 【详解】由题意，函数求导可得， 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递减，所以，则. 故选：D. 【变式2-1】.（24-25高二下·北京东城·期中）函数在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，依题意恒成立，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为定义域为，且， 又函数在上是减函数， 所以恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，若，不恒成立，所以不合题意， 若，因为恒成立，则恒成立； 综上可得. 故选：D 【变式2-2】.（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2-3】.（24-25高二下·山东·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立， 参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可. 【详解】由函数，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，等价于恒成立， 令，则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 【变式3-1】.（24-25高二下·福建·期中）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】分析可知，即在上有解，结合能成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：，即在上有解， 又因为在上单调递增，则， 则，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】.（24-25高二下·江苏扬州·期中）若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意有解，分离参数利用有解法则化为，结合，利用二次函数性质求得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在存在单调减区间，所以有解， 即有解，则， 又，且， 当时，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 【变式3-3】.（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离得到实数的取值范围. 【详解】由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 所以 故实数的取值范围是. 故选：D 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将问题转化为在区间上有零点，求导确定的根，验证的单调性，即可得实数a的取值范围为. 【详解】函数在区间上不单调， 则在区间上有零点， 所以，得（舍）， 故，使得函数在上递减，在上递增， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式4-1】.（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】函数，其定义域为， 对求导得， 令，可得. 当时，，单调递减； 当时，，，单调递增. 因为函数在区间上不单调，所以， 所以的取值范围是， 故选：B. 【变式4-2】.（24-25高二下·河北·期中）已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数单调性求出导函数列不等式计算求出参数. 【详解】当函数在上单调，或恒成立， 所以或恒成立， 所以或，因为函数在上不单调，所以. 故选：D. 【变式4-3】.（多选）（24-25高二下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数研究函数单调性，根据题意确定区间内导函数存在零点，从而利用零点存在性定理来求解即可. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，则，则在上单调递减， 所以，即，解得，则的取值范围是. 故选：BC. 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例5】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 【变式5-1】.（2025·江西·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为，又 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，令，得，所以在上单调递增； 令，得，所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在区间上单调递增. 【变式5-2】.（2025·江西新余·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； 【详解】（1）当时，， 则，所以，， 所以切线方程为；，即. （2）由，， 当时，，在上单调递增； 当时，令. 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式5-3】.（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)当时，讨论函数在上的单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由导数的几何意义结合点在切线上列方程组求解即可； （2）求导后分和讨论函数的单调性；根据讨论结果再分函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）． 由已知在点处的切线的斜率为2，且当时，． ∴，∴， 解得，． （2）当时，， ，． ①当时，，在上单调递增； ②当时，． 令，解得，（舍去） 若，则，， 又∵，∴， ∴时，，时，． ∴在上单调递减，在上单调递增． 若，则，， 又∵，∴，． ∴． ∴时，在上单调递增． 若，则，， 又∵， ∴时，，时，． ∴在上单调递增，在上单调递减． 综上所述， 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减． 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例6】（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性； 【详解】（1）的定义域为， 故， 若时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，若时，，故在上单调递增， 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式6-1】.（2024·江西·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间； 【详解】（1）解：因为， 可得， ①当时，，令，则；令，则． 即的单调递增区间为，单调递减区间为； ②当时，，则的单调递增区间为； ③当时，则，令，则或；令，则． 即的单调递增区间为和，单调递减区间为； ④当时，则，令，则或； 令，则，即的递增区间为和，单调递减区间为， 综上可知，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【变式6-2】.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，， 则， 故曲线在处的切线方程为． （2）的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【变式6-3】.（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数单调性； （1）中的单调性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例7】（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数 . (1)求函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再分类求出函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数递增区间为； 当时，函数递增区间为，递减区间为； 当时，函数递增区间为，递减区间为. 【变式7-1】.（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)证明：当时，只有1个零点； (2)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析； (2)详见解析； 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）由得到，再利用导数法求解； （2）求导，分和求解； 【详解】（1）证明：当时，，定义域为 ， ， 所以 在 上递减，又， 所以当时，只有1个零点； （2）当时，的定义域为 ， ， 当，即时，恒成立，即； 当，即时，有两个根， 又， 所以， 当时，；当时，； 综上：当时，在 上递增； 当时，在 ，上递增，在上递减； 【变式7-2】.（23-24高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的最大值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意，在上恒成立，即对恒成立，结合基本不等式求的最大值； （2）先求原函数的导数，再对参数分类讨论，通过导函数的符号即可得出函数的单调性； 【详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立． 因为，所以，即对恒成立． 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即实数的最大值是2． （2）． ①当时，，则在上单调递增； ②当时，，则在上单调递增； ③当时，令，得， ，解得或； ，解得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【变式7-3】.（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、裂项相消法求和、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 【考点题型八】求函数极值（点）（） 【例8】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数在处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可. （2）利用导数研究函数的极值即可. 【详解】（1）由已知可得， 由直线的斜率为， 所以，解得. （2）由（1）知，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故的极大值为，极小值为. 【变式8-1】.（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数在点处的切线的斜率为 (1)求； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为、，的单调递减区间为，极大值，极小值. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由求得； （2）由确定的单调区间和极值． 【详解】（1），则， 解得； （2）由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 【变式8-2】.（2024·安徽·二模）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，赋值求得，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由（1）的信息，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. 【详解】（1）函数，求导得， 则，解得，于是，， 所以所求切线方程为：，即. （2）由（1）知，函数，定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 【变式8-3】.（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值和函数的解析式； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)，； (2)单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）由切点在切线上求得值，由切线在函数图象上求得值，由导数几何意义求得值； （2）求出导函数，由导函数的正负确定单调区间，确定极值. 【详解】（1）函数的定义域为， 把点代入切线方程为得：， 所以切点坐标为（1，1），由题意得：，① 因为，且函数的图象在点（1，1）处的切线斜率为， 所以，② 由①②解得：，，综上，． （2）由（1）知，，所以，令，解得：； 令，解得：， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数的极小值为，无极大值． 【变式8-4】（23-24高一上·江西南昌·期末）设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极值． 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）极小值为，极大值为． 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导函数，分别求解不等式与即可得出单调区间； （2）根据单调区间判断极值点，即可求得极值． 【详解】（1）因为， 则 得或， 当或时，； 当时，， 所以函数f(x)的单调减区间为；单调增区间为； （2）由（1）知 的极小值为 ， 的极大值为 . 【考点题型九】已知函数极值（点）求参数（） 【例9】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）要证明不等式，只需证明当时，，构造函数，利用导数与函数的单调性关系，即可证明； （2）求出函数导数，讨论a的取值范围，结合零点存在定理说明导函数只有一个零点，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则. 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，即时，，得证. （2）， 令， ①当时，在上无极值点，不符合题意； ②当时，，即在上单调递减，且. 取，其中. 显然，， 则. 由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得. 当时，，即；当时，，即. 此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意. 综上，. 【变式9-1】.（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明； （2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在上为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 【变式9-2】.（23-24高三上·河南·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，得到切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程； （2）求定义域，求导，由导函数等于0得到或，分，和三种情况，得到答案. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为，即． （2）的定义域为， ，， 令，则或． ①当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极大值点，不符合条件； ②当时，，在单调递增，故无极值点； ③当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极小值点，符合条件． 综上，的取值范围为． 【变式9-3】.（23-25高二·全国·单元测试）已知函数． (1)当在处取得极值时，求函数的解析式； (2)当的极大值不小于时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数求导，根据求出m，并验证此时函数在x=1处取得极值，进而求得答案； （2）对函数求导，进而求出函数的单调区间和极大值，然后求出m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 因为在处取得极值，所以，所以，此时，时，，单调递减，时，，单调递增，即在处取得极小值，故. （2），令，解得. 时，，单调递增，时，，单调递减，时， ，单调递增. ，即的取值范围是. 【变式9-4】（23-24高三上·江西赣州·期末）函数（且为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处取得极大值，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）时，求导，分析函数的单调性即可得到最小值；（2）函数在处取得极大值，即在附近先正后负，且，分类讨论的范围即可. 【详解】（1）当时，有， 从而当时，；当时，； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 此时. （2）由，得 记，则， ①当时，在上恒成立，故即在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 从而函数在上单调递减，不合题设； ②当时，在R上单调递增，又， ⅰ）当，此时在上恒成立，故在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 从而函数在上单调递增，不合题设， ⅱ）当时，此时， 故存在唯一，使， 且当时，，故在上单调递减， 因为，所以当时，；当时，， 从而函数在上单调递增，在上单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题设， 综上：实数m的取值范围为. 【考点题型十】函数最值问题（） 【例10】（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，注意隐零点的应用得到，进而求函数最值. 【详解】（1）当时，，则， 设过原点的直线l与的图象在处相切，则切线斜率， 所以，即，所以，则，且， 所以l的方程为，则. （2）当时，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 存在，使得，即，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，则的最大值为4. 【变式10-1】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1) (2)的最大值为，无最小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先对求导，得出，即可求解； （2）设，注意到同号，所以可以用的正负来研究函数的单调性，进而求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，， 从而曲线在点处的切线方程为； （2）设，显然同号， 则， 所以在上单调递减， 注意到， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 当趋于负无穷时，也是趋于负无穷，当趋于正无穷时，趋于0， 所以的最大值为，无最小值. 【变式10-2】.（2024·江西·一模）已知函数． (1)若在R上单调递减，求a的取值范围； (2)若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，最大值为e 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，得到恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围； （2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 因为在R上单调递减，所以恒成立， 所以，，所以a的取值范围是． （2）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以当时，单调递增，当，时，单调递减， 当时，， 又时，， 所以有最大值，最大值为e． 【变式10-3】.（2024·江西·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间与最大值． 【答案】(1)， (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求曲线切线的斜率（倾斜角）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先根据切点在曲线上确定切点的坐标；再根据切点在切线上和导数的几何意义列出方程组求解即可. （2）根据导函数的符号与原函数单调性的关系即可得出单调区间；再根据单调性可求出最大值.. 【详解】（1）因为， 所以，， 则切点坐标为. 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得． （2）由（1）可得：函数的定义域为：，. 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 【考点题型十一】根据函数最值求参数（） 【例11】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)当时，的值域为，求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，代入计算可得； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、两种情况讨论，求出函数的最小值，从而求出参数的值. 【详解】（1）因为，所以． 依题意，解得． （2）由（1）可得，则． 令函数，则． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以当时，，即； 当时，，即． 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，在上的最小值为，解得，舍去． 当时，在上的最小值为，解得， 此时，，， 即当时，符合题意． 综上，的值为2． 【变式11-1】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值是，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 【变式11-2】.（23-24高二下·北京丰台·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数和单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】（1）由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，，要使在区间上的最小值为，则. 【变式11-3】.（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 提升训练 一、单选题 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【知识点】根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】先求出导函数，对进行分类讨论发现当时，不存在极值点，当时，恰好存在一个极值点，由此可得答案. 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【知识点】根据极值点求参数 【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解. 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 4．（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）函数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意得，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，要求的最大值，只需考虑的情况即可， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故所求为. 故选：B. 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，又，， 因此的取值范围是. 故选：A 6．（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即在上恒成立，求出，即可得解. 【详解】因为，则， 因为函数在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：A 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数 【分析】求出导函数，由已知可转化为有两个不同的正实数解，根据二次函数零点的分布列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的正实数解， 所以有有两个不同的正实数解， 即二次函数有两个不同的正零点， 所以有，解得. 故选：D. 8．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由在恒成立，参变分离求最值，即可求解. 【详解】由题意可得在恒成立， 即在恒成立， 易知在的最小值为1， 所以， 所以的最大值为1， 故选：B 二、多选题 9．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 【答案】CD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域为，且， 当在单调递减，故单调递减区间为，A错误， 当在单调递增，故单调递增区间为，B错误， 当时，取极大值也是最大值，故C正确， ，D正确， 故选：CD 10．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若函数有极值，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AD 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解. 【详解】, 若有极值，则有两个不相等实数根， 则，则， 故AD符合，BC不符合， 故选：AD 三、填空题 11．（24-25高二下·天津·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对函数求导并根据单调性将问题转化为在上恒成立，再由判别式计算可得结果. 【详解】易知，依题意可得在上恒成立； 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高二下·天津·期中）已知函数在处有极值0，则的值为 ． 【答案】11 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解． 【详解】因为，所以， 由题意可知，，即，解得或， 当时，， 函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上递增，在上递减， 所以在时取得极大值，符合题意，所以， 故答案为：11． 四、解答题 13．（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)，； (2)的单调递增区间为,；单调递减区间为. 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求得，根据二次函数对称性，以及，即可求得； （2）根据（1）中所求解析式，判断的正负，即可判断原函数单调性，从而求得单调区间. 【详解】（1）因，故． 因为的图象关于直线对称，即，解得． 又由于，即，解得； 故. （2）由知，． 令，即，解得． 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数． 综上所述，的单调递增区间为,；单调递减区间为. 14．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 15．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若是减函数，求的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对函数求导求单调性即可.（2）由是减函数，则导函数参变分离转化为最值求解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，令令所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为. （2）函数是减函数,则在恒成立. ，即， ，令，()，在单调递减，在单调递增，所以，故的取值范围是. 16．（2025·吉林·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； (3)当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先求使得函数有意义的的取值范围，利用导函数，根据定义域和的取值范围，讨论函数的单调性，并求出函数的极值； （2）结合（1）过程可得； （3）结合的范围与函数的定义域及单调性可得. 【详解】（1）要使有意义，则. 下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域. 设，函数图象开口向上，对称轴为， 令，即，，其中， ①当时，，则在单调递增， 当时，， 故此时定义域为； ②当时，，也恒成立. 故定义域也为； ③当时，， 此时不等式组为，解得，或. 故定义域为； ④当时，，方程有两根， ，且，， 故函数的定义域为； 由， 则 ①当时，. 则在单调递减，无极值； ②当时，，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 此时有极小值； ③当时，定义域为， ， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 在处无定义，无极值； ④当时，，， 又， 由，且， 所以； 又， 所以， 且当时，，在单调递减； 时，，在单调递增； 此时无极值. 综上所述，当时，在单调递减，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值； 当时，在单调递减，在单调递增；无极值. （2）由（1）可知，要使在内存在极值，则. 所以的取值范围为. （3）由题意，，的定义域为， 且在上单调递减，在单调递增， ， 所以，的最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$