专题05 导数与不等式（恒成立，能成立问题）（5考点清单，知识导图+5个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单05 第二章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数． (1)证明：的图象与轴相切； (2)设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）分类讨论，答案见解析；（ii）. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数确定单调性，并求出在最高点处切线是轴，即证； （2）（i）求出导函数，根据的零点的大小分类讨论确定单调区间；（ii）转化为，引入函数，由导数求得它的最小值即可得结论． 【详解】（1）的定义域为， 所以，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，所以曲线在处的切线方程为，即的图象与轴相切． （2）（i）， ． 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减． 综上，当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为，减区间为（0，1）． （ii）在上恒成立可转化为， 设，则． 令，则， 所以函数在上单调递减， 又，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得， 则， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，主要是用导数研究函数的单调性一，求得最值，如（含有参数）恒成立，一种直接求出的最小值，由最小值不小于0得参数范围；第二种方法是分离参数为，求出的最大值，然后由得范围． 【变式1-1】.（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据已知条件化简，再构造函数设，结合函数单调性得出函数最值即可求参. 【详解】由，得，由，得， 设，则， 设，则， 知在上单调递增，且， 则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 又， 所以当时，，则在上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【变式1-2】.（2024·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【详解】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 【变式1-3】.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式可得直线方程； （2）先问题等价于在时恒成立，构造函数，求导分析单调性后得到最小值即可. 【详解】（1），，而，， 所以在处的切线方程为： （2）由题意得：恒成立， 因为，所以问题等价于在时恒成立， 令，，， 当时，，为增函数；当时， ，为减函数，则函数，故． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·福建·期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，问题转化为仅有一个整数满足，令，求导判断单调性极值，数形结合求解. 【详解】令，即， 令，则， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 且，，，当时，， 则，， 如图，直线过定点，且，则，， 若存在唯一的整数，使得， 则，即. 故选：B.    【变式2-1】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数的取值范围． 【详解】令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为，当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，，因为，， 当直线过点时，则，解得； 当直线过点时，则，解得，且， 结合图象可得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2-2】.（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程； （2）只需证明在上恒成立，根据和，依次判断即可得出结果； （3）设，，当时满足不等式，时不满足不等式，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，又，所以切线方程为； （2），， 当时，，，所以， 当时，，又，所以， 所以，所以在区间内单调递增； （3）由洛必达法则可知，， 由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示， 设，， ，， 要使得在区间内恰有一个整数解. 只需满足 由得；由得. 所以的取值范围是 . 【变式2-3】.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意. （2）问题等价于存在使得，构造函数，对函数求导，利用导数研究函数的单调性以及最值即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 由已知， 又当时，，令得， 且当时，在区间上单调递增， 时，在区间上单调递减． 在处取得极大值. 综上，. （2）问题等价于存在使得． 设，则 当时，在上单调递减， ， 故m的范围是． 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数切线方程为 (1)求切点坐标； (2)若对任意，都有恒成立，求最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义得到，即可求出，从而求出切点坐标； （2）令，，依题意即对任意的恒成立，分、、三种情况讨， 结合函数的单调性，求出的取值范围，即可得解. . 【详解】（1）设切点为，由，则，所以， 依题意，解得， 所以切点为； （2）令，，依题意即对任意的恒成立， 当时恒成立，符合题意； 当时，， 当时恒成立， 所以在上单调递增，时，，所以，不符合题意； 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即，解得； 综上可得，则最大值为. 【变式3-1】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）结合（2）分、、三种情况说明在上的单调性，再由，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 当时， 若，即时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 若，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，不符合题意； 综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为. 【变式3-2】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知实数函数 (1)当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程； (2)讨论的单调性； (3)对任意不等式恒成立，求a的取值集合． 【答案】(1) (2)函数在递减，在递增 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、求过一点的切线方程、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先确定函数，求其导数得切线斜率表达式.设切点，用点斜式写切线方程，再把原点坐标代入方程求出切点横坐标，进而得到切线方程. （2）先求函数导数，然后按大于和小于两种情况，根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，得出函数单调区间. （3）将不等式变形，根据函数单调性得出最小值，转化为新不等式.构造新函数，按不同取值范围，通过求导判断函数单调性，找出使不等式成立的值，确定的取值集合. 【详解】（1）已知时，，根据求导公式得. 设切点为，切线斜率，由点斜式得切线方程. 把代入切线方程得，解得，则切线斜率，切线方程为. （2），定义域，. 分类讨论单调性： 当时，，，；，，， 当时，，，；，，. 综上，函数在递减，在递增. （3）等价于， 由单调性知等价于，即. 构造函数分类讨论：令. 时，，在上递减，，，矛盾. 时，得，，，递减，，矛盾. 时，，，递增，，矛盾. 时，，，递增；，，递减，，不等式成立.所以取值集合为. 【变式3-3】.（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的零点个数； (3)对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)1； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数，结合零点存在性定理，分段探讨函数的零点即可. （3）构造函数，利用导数分类讨论的最值情况求解. 【详解】（1）函数，求导得，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，函数和都为增函数，则函数为增函数， 而，，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，， 因此函数在上无零点； 当时，，当时，， 即当时，，函数在上单调递增，又， 于是函数在上有1个零点， 所以函数在上有1个零点. （3）令，，， 求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增， ①当，即时，， 函数在上单调递增，，在上恒成立； ②当，即时，，由函数在上的图象连续不断， 知，当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以实数m的取值范围是. 【考点题型四】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例4】（24-25高二下·吉林延边·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由题意知利用导数分别求的最大值即可得解. 【详解】由题可知，，， 令，则，，则， 则在上单调递增，. ，则， 因为，所以在上恒成立， 则在上单调递减，. 由题意对任意的，总存在，使得， 则，则. 故答案为：. 【变式4-1】.（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】求得，得到函数的单调性，求得，根据题意，转化为，转化为，分，和，三种情况讨论，求得函数得到单调性和最值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当或时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增， 当时，由，且，所以， 若对，，使得， 只需，使得，即 由，可得，即，， 若时，可得，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，此时； 当时，显然不成立； 当时，可得，令，可得，单调递增， 且时，；时，，所以， 综上所述，的取值范围为. 故选：C. 【变式4-2】.（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数若 使得 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用导数，分别求出函数的最小值，结合不等式恒成立列不等式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故； 由，，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于若 使得故， 即，即实数a的取值范围是， 故答案为： 【变式4-3】.（2026高三·全国·专题练习）函数，．，要使成立，求实数m的取值范围． 【答案】． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先构造函数，将题目条件等价于；再分别利用导数判断函数和的单调性，求出最值，得出，求解即可. 【详解】因为，即，设， 则题目条件等价于． 因为，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，． 因为， 所以. 因为当时，，，， 所以在上恒成立， 则在上单调递增. 所以当时，． 则，解得： 故实数m的取值范围是． 【变式4-4】.（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若函数对，使成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数求解最值得解. 【详解】“对，使成立”等价于“当时，”． 因为在上单调递增， 所以， 而，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，由，得， 所以实数a的取值范围为． 【考点题型五】等价转化法解决问题（） 【例5】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 【变式5-1】.（2025·黑龙江·一模）已知函数，． (1)若曲线与在点处有相同的切线，求的值； (2)若，证明：对任意的，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在处的斜率，结合切线相同列方程求参数； （2）构造，利用导数研究其在的单调性得，即可证结论. 【详解】（1）由题设，，则，， 又曲线与在点处有相同的切线，则； （2）令且，， 则， 所以在上单调递增，则，即，得证. 【变式5-2】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，． (1)求在处的瞬时变化率； (2)若恒成立，求a的值； 【答案】(1)瞬时变化率为1 (2)． 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，可得，可得结论； （2）令，求导，由，可求得，证明对任意恒成立即可. 【详解】（1）由，得，所以， ∴在处的瞬时变化率为1． （2）令，，由条件知恒成立， 因为，又的图像在定义域上是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则，又， 所以，得， 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， ∴，即，而， 所以，当时，恒成立． 综上，若恒成立，则． 【变式5-3】（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数的图象与的图象在坐标原点处相切，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）先求出函数的导数，通过导数判断函数的单调性，进而找到函数的最小值点； （2）根据两函数在原点处相切求出的值，然后构造新函数，通过研究新函数的单调性和最值来确定实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域， ，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． （2）由题，则，得， 令，， 令，则，， 当时，，即在上单调递增，则 所以在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，则， 所以在上单调递减，，不合题设， 所以． 【变式5-4】（24-25高三上·山西太原·期末）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. （2）当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 提升训练 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可. 【详解】由在上恒成立，令， 则．令，则， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 则，所以， 故选:C． 2．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东广州·期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究能成立问题 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，   ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用端点附近的图象变化趋势先求出范围再进行证明，或者结合图象转化为曲线与直线相切问题求解. 【详解】方法一：  令， 则． 因为，所以必有，所以． 当时，， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 方法二：，则，令，解得， 所以在上，，单调递减，在上，，单调递增． 把的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，如图1， 因为函数的图象在处的切线方程为， 所以，所以实数的取值范围为． 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二下·甘肃白银·期中）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】AB 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】根据对数运算性质将不等式变形为，根据的单调性，进一步将问题转化为在恒成立，即可求解. 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：AB 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 三、填空题 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】求出的导数，判断单调性， 可作出其图象，换元将原问题转化为不等式的解集中有且只有三个整数，数形结合，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，；    令，则不等式即为， 故，即，即， 则不等式的解集中有且只有三个整数， 即为不等式的解集中有且只有三个整数， 由于，且， 结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4， 需有，即， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 8．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数图象及性质、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造，，求导，研究的单调性，的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，数形结合得到2和1为符合要求的整数，从而得到. 【详解】，设，， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，，， 的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，如下：    要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2为一个符合要求的整数， 当经过点时，，解得， 故，此时，1为另一个符合要求的整数， 故， 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先证明，再利用特征探路得，再利用证明此时不等式恒成立，或者利用参变分离求出新函数的最值后可得参数的取值范围. 【详解】方法一：先证明 ， 设，则， 设，则，故为的增函数， 故，故为上的增函数，故， 故恒成立. 又原不等式等价于恒成立， 构造函数，，则． 易知当或时，，， 则，解得， 下面证明当时，恒成立． 对于任意的，的三个实根分别为，，， 因为，所以，若， 则在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以在上，的最大值为，中的较大者． 又，，所以在上． 若，则在上的最大值为，中的较大者， ，， 所以在上． 方法二： 当时，不等式恒成立， 当时，分离参数得． 记，则． 而在上恒成立， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以． 即实数的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25高二下·四川南充·期中）若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】变形给定不等式，得到，构造函数，故，利用导数结合单调性求解即得. 【详解】当时，， 故， 而为正实数，则，令，于是， 依题意，函数在上单调递减，即，， 因此，，而函数是上的增函数， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 11．（2025·江西·二模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若当恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）首先列出时函数解析式，然后求导可得到斜率的值，最后求出切线方程即可. （2）对原函数求导，分别讨论时函数的单调性，并求出相应的单调区间. （3）结合（2）中求出的的不同范围下函数的单调区间，确定最大值，求出满足的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得，时，在单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由题可得，所以， 由（2）知当时，在上单调递增，则当时，不满足题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递减，时，，满足题意， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由时，恒成立，则，得， 因为，所以. 综上可得实数的取值范围为. 12．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，在上为减函数 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，故可求切线方程. （2）根据、分类讨论后可得导数的符号，从而可得函数的单调性. （3）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围. 【详解】（1），，． 切线方程为，． （2）， 当时，，∴在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得． ∴在上为增函数，在上为减函数． （3）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ． 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ∴， 则． 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可； （2）分和两种情况，分别研究的正负性即可； （3）利用参变分离，构造函数，求其最小值即可. 【详解】（1）由题意，得，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 则在处的切线方程为. （2）由，则，， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，得；得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记，，则， 令得；可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则实数a的取值范围为． 14．（22-23高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围； (2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）问题转化为函数的图像与直线有两个交点，利用导数研究的单调区间和极值，作出函数图像，数形结合求实数m的取值范围；． （2）通过函数的图像和极值，解决不等式仅有一个整数解的问题. 【详解】（1）函数有两个零点，相当于函数的图像与直线有两个交点． 函数，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值为， 当时，，时，， 函数的图像如图所示，    可得，所以实数m的取值范围为． （2）因为，所以不等式仅有一个整数解， 即只有一个整数解，因为的极大值为，，， 所以当时，只有一个整数解， 即当时，不等式仅有一个整数解． 所以实数的取值范围是. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第二章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数． (1)证明：的图象与轴相切； (2)设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-1】.（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【变式1-2】.（2024·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 . 【变式1-3】.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·福建·期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 【变式2-3】.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数切线方程为 (1)求切点坐标； (2)若对任意，都有恒成立，求最大值． 【变式3-1】.（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-2】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知实数函数 (1)当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程； (2)讨论的单调性； (3)对任意不等式恒成立，求a的取值集合． 【变式3-3】.（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的零点个数； (3)对于恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型四】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例4】（24-25高二下·吉林延边·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【变式4-1】.（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数若 使得 则实数a的取值范围是 . 【变式4-3】.（2026高三·全国·专题练习）函数，．，要使成立，求实数m的取值范围． 【变式4-4】.（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若函数对，使成立，求实数a的取值范围． 【考点题型五】等价转化法解决问题（） 【例5】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【变式5-1】.（2025·黑龙江·一模）已知函数，． (1)若曲线与在点处有相同的切线，求的值； (2)若，证明：对任意的，． 【变式5-2】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数，． (1)求在处的瞬时变化率； (2)若恒成立，求a的值； 【变式5-3】（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数的图象与的图象在坐标原点处相切，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【变式5-4】（24-25高三上·山西太原·期末）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 提升训练 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东广州·期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·甘肃白银·期中）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 三、填空题 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是 ． 8．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ． 9．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 10．（24-25高二下·四川南充·期中）若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围 ． 四、解答题 11．（2025·江西·二模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若当恒成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 14．（22-23高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围； (2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$