专题06 第6章 二项式定理（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单06 第6章 二项式定理 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数对称性的应用、二项展开式的应用 【分析】逆用二次展开式对函数进行整理，利用函数性质求解即可. 【详解】由题意： ， 可由偶函数的图像向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为, 故选：A. 【变式1-2】.（24-25高三·上海·随堂练习）化简： ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、多项式的展开式 【分析】根据二项式定理逆运算得到答案. 【详解】． 故答案为： 【变式1-3】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）当，化简： ． 【答案】0 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、二项展开式的应用、二项式的系数和 【分析】构造二项式，对其求导，然后赋值计算即可. 【详解】因为， 两边对求导数得： ， 令，代入上式， 即得：， 故答案为：0. 【变式1-4】（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）计算： . 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、二项式的系数和 【分析】由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果. 【详解】由题意可知， 当时，令，即可得. 故答案为： 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，8，三数成等比数列，则展开式中的第四项为 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、求二项展开式的第k项、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值，求出展开式的各项系数之和为，结合二项式系数之和，再利用等比中项建立等量关系，求出，最后借助二项式展开式的通项求出第四项. 【详解】当时，可得，二项式系数之和， 由，8，三数成等比数列，则 第四项． 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项、三项展开式的系数问题 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【详解】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高二下·北京延庆·期中）在的展开式中，常数项为 . 【答案】/0.9375 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式定理，对于其通项公式来求出展开式的通项，然后令通项中的指数为0，从而确定常数项. 【详解】根据二项式定理，对于，其展开式的通项公式为：. 对于，. 令，即时，常数项为：. 故答案为：. 【变式2-3】.（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可. 【详解】依题意，展开式中的项是. 故答案为： 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项式展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为 ． 【答案】135x 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】赋值法得，再由二项式的展开式的通项可得答案. 【详解】令，得各项系数之和为，由已知得，所以， 所以二项式的展开式的通项为 ， 所以． 故答案为：． 【变式3-1】.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知，已知展开式中的奇数项的二项式系数和为，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】根据奇数项的二项式系数和为求出，再令计算可得. 【详解】因为展开式中的奇数项的二项式系数和为，即， 所以， 即， 令可得， 即. 故答案为： 【变式3-2】.（2021·上海杨浦·一模）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 . 【答案】1120 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】利用二项式系数和等于可确定的值，再根据二项式定理求出常数项. 【详解】所有二项式系数的和为256,,, 则展开式的通项公式为， 令可得，展开式的常数项为. 故答案为：1120. 【变式3-3】.（24-25高二下·广西防城港·期中）若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 【答案】10 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质以及二项式定理建立方程即可求解. 【详解】解：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以n为偶数，且第项的二项式系数最大， 则解得 故答案为： 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 【变式4-1】.（24-25高二下·上海宝山·期中）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是 . 【答案】10 【知识点】求指定项的系数 【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案. 【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则， 则展开式第项满足：，令，则系数为. 故答案为： 【变式4-2】.（21-22高二上·上海浦东新·期中）在的展开式中，有理项的项数为 项. 【答案】338 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可. 【详解】二项式的通项为，则，，，也符合，故有理项的项数为：338项. 故答案为：338 【变式4-3】（2022·上海·模拟预测）二项展开式中的x的有理项的系数和为 【答案】255 【知识点】求有理项或其系数 【分析】易得展开式的通项为，再由为有理数求解. 【详解】展开式的通项为， 若为有理数，则， 所以x的有理项的系数和为， 故答案为：255 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高二下·上海宝山·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令可得，令可得，即可得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以 【变式5-1】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的展开式分别令，即可得所求. 【详解】因为， 所以令可得， 令可得， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高二下·上海·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令可得，令可得，再由平方差公式计算可得. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以 . 故答案为： .故答案为： 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项展开式的应用 【分析】对二项展开式分别赋值和，化简计算即得. 【详解】由， 取，可得； 再取，可得， 将代入整理得： . 故答案为：. 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（24-25高二下·山西·期中）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项． 【答案】(1)60 (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）根据只有第4项的二项式系数最大，故，求出展开式的通项，得到第3项系数； （2）法一：设第项的系数最大，从而得到不等式组，得到，所以展开式中的系数最大的项为； 法二：在（1）基础上，分别求出从第1项到第7项系数，得到展开式中的系数最大的项为； 【详解】（1）只有第4项的二项式系数最大，故的展开式共7项， 由题意， 故展开式的通项为， 令，则第3项的系数为； （2）法一：设第项的系数最大，展开式的通项为， 则 即解得． 因为，所以，所以展开式中的系数最大的项为． 法二：由（1）知展开式的通项为． 则从第1项到第7项系数分别为1，24，60，160，240，192，64， 所以展开式中系数最大的是第5项，即． 【变式6-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解. 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 【变式6-2】.（2023·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】 设第项的系数最大，列不等式求，再由通项求解即可. 【详解】设展开式的第项的系数最大， 则，解得， 所以系数最大的项为第或第项， 所以系数最大的项为： ， . 故答案为： 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【答案】(1)； (2)7； (3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 【知识点】二项展开式的应用、求系数最大（小）的项、根据二项式的第k项求值 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项和最小项. 【详解】（1）由题设，则， 整理得，故（负值舍）. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为整式项，共有7项； （3）由在上单调递减， 当时，当时，则， 故在上先增后减，且， 故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 【变式6-4】.（24-25高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为 (2) (3) 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值，结合二项式系数的概念可得出该项的二项式系数； （2）利用奇数项的系数和为所有项二项式系数和的一半可得结果； （3）令，设最大值，则，结合组合数公式可求出的取值范围，结合可得出的值，即可得解. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，可得，所以，展开式中的常数项为， 其二项式系数为. （2）奇数项的二项式系数和为. （3）令，设最大，则，即， 即，解得， 因为，解得，所以，系数绝对值最大的项为. 【考点题型七】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题（） 【例7】（2025·湖南长沙·二模）的展开式中含的项的系数为 ； 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理的推导原理，即可求得. 【详解】因， 所以含的项为， 故含的项的系数为. 故答案为： 【变式7-1】.（2025·辽宁·模拟预测）在的展开式中，常数项为 . 【答案】1120 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】将式子变形为，即可求解的通项，并求解其含的项，即可得解. 【详解】， 则展开式的通项为， 令，解得，所以常数项为. 故答案为：1120 【变式7-2】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）的展开式中的系数是 ． 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】把化为，再利用通项公式可得答案． 【详解】的第项为， 当时，， 所以的系数为． 故答案为：1260. 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出的展开式的通项，分两种情况分别求出展开式中含的项，从而可得答案. 【详解】的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）， ，展开式中含的项为， 即的展开式中的系数为. 故答案为:． 【变式7-4】.（重庆市沙坪坝区部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】将问题转化为求的展开式中的系数，然后利用的展开式通项求出含的系数，即可得解. 【详解】的展开式中的系数等价于的展开式中的系数， 而的展开式的通项为， 令得的展开式中的系数为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】（22-23高二下·上海青浦·期中）星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期 （填一、二、三、四、五、六、日） 【答案】 【知识点】整除和余数问题 【分析】化简，结合二项展开式求得除以的余数，即可求解. 【详解】由题意，可得. 又由， 所以除以的余数为，所以再过天后是星期三. 故答案为：三 【变式8-1】.（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）已知，则被10除所得的余数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案. 【详解】， 又因为， 又因为都是10的倍数， 所以被除所得的余数为. 故选：B 【变式8-2】.（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可. 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 【变式8-3】.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 【答案】 【知识点】整除和余数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】令得，令得，即得，由，利用二项式定理展开即可求解. 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 【变式8-4】.（24-25高二下·河南洛阳·期中）目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分（相同总分只记录一次）共有n种情况，则除以64的余数是 ． 【答案】17 【知识点】整除和余数问题、分类加法计数原理 【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到，利用二项式定理解决余数问题． 【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分， 第三小题可能得0分，2分或3分， 如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：0，4，6，8，10，12， 当第三题得2分时，有可能总得分为：2，6，8，10，12，14， 当第三题得3分时，有可能总得分为：3，7，9，11，13，15， 所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， 即， 则 又，则． 则除以64的余数是． 故答案为：． 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【答案】135 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 2．（2025·上海闵行·二模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答） 【答案】160 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项展开式的通项令计算即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以常数项为. 故答案为：160. 3．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 【答案】2 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用二项式定理求出展开式中的项，再由给定的系数求出值. 【详解】展开式中的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 4．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】杨辉三角 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理的通项公式列方程求解即可. 【详解】等式两边含的系数是相同的， 则, 即. 故答案为： 7．（2019·上海奉贤·二模）的展开式中的常数项为 （用数字填写答案）. 【答案】60 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据条件，利用通项公式为，即可求出结果. 【详解】因为二项展开式的通项公式为， 令，则，得到，所以展开式中常数项为60， 故答案为：. 8．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、二项展开式各项的系数和、简单复合函数的导数 【分析】，等式两边求导，利用赋值法求解. 【详解】， 等式两边求导得：， 令，得， 故答案为：. 二、单选题 9．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 【答案】D 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令，所求值即为. 【详解】的展开式中第项为，故系数， 即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0. . 故选：D 10．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，进而求得的值，由此得解. 【详解】因为的展开通项为 又因为第项与第项的系数相等，所以， 由二项式系数的性质知，则，故， 所以的二项展开式中所有项的系数之和为. 故选：C. 三、解答题 11．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 【答案】（1），；（2）6561，. 【知识点】等差中项的应用、二项式的系数和、求有理项或其系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）求出展开式的通项公式，利用等差数列列式求出，进而求出所有有理项. （2）利用赋值法求出系数和，再借助组合数列式求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由展开式中前3项的系数成等差数列，得，即，则， ，当且仅当时，是有理数， 所以展开式中所有的有理项为. （2）取，得； ，当时，，解得， 当时，；当时，，当时，， 即， 所以展开式第6项、第7项系数相等并且最大，为. 12．（24-25高二下·上海普陀·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 【答案】(1)； (2)6561； (3)3075072. 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）利用赋值法列式求出值. （2）由（1）结合赋值法求出目标值. （3）把代入，求出，再作商结合组合数计算求出最大值. 【详解】（1）取，得，因此， 所以. （2）当时，由（1）知， 取，得，所以 . （3）当时，，， 当时，，解得， 于是， 所以，，…，中的最大值为. 13．（24-25高二下·上海·期中）已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和、求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据给定条件，列式求出幂指数，再利用二项式系数的性质求解. （2）利用赋值法求出常数项及所有项系数和即可. 【详解】（1）依题意，，即，解得， 所以的展开式中二项式系数最大的项是第5项：. （2）由（1）知，， 取，得，取，得， 所以. 14．（24-25高二下·上海闵行·期中）设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 【答案】(1)，第51项 (2)1 【知识点】二项式系数的增减性和最值、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）将赋值为，求得常数项，由二项式系数的单调性，可得答案； （2）利用则赋值，表示各项系数之和与奇偶项，结合平方差公式，可得答案. 【详解】（1）令，则，最大，即第51项二项式系数最大. （2）令，则 令，则 原式 . 15．（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)6561 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得. （2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可 【详解】（1）令， 得，解得， 所以 （2）当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第6章 二项式定理 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高三·上海·随堂练习）化简： ． 【变式1-3】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）当，化简： ． 【变式1-4】（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）计算： . 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，8，三数成等比数列，则展开式中的第四项为 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·北京延庆·期中）在的展开式中，常数项为 . 【变式2-3】.（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项式展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为 ． 【变式3-1】.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知，已知展开式中的奇数项的二项式系数和为，则 ． 【变式3-2】.（2021·上海杨浦·一模）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 . 【变式3-3】.（24-25高二下·广西防城港·期中）若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 【变式4-1】.（24-25高二下·上海宝山·期中）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是 . 【变式4-2】.（21-22高二上·上海浦东新·期中）在的展开式中，有理项的项数为 项. 【变式4-3】（2022·上海·模拟预测）二项展开式中的x的有理项的系数和为 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高二下·上海宝山·期中）若，则的值为 ． 【变式5-1】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则 ． 【变式5-2】.（24-25高二下·上海·期中）若，则 ． 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（24-25高二下·山西·期中）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项． 【变式6-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【变式6-4】.（24-25高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【考点题型七】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题（） 【例7】（2025·湖南长沙·二模）的展开式中含的项的系数为 ； 【变式7-1】.（2025·辽宁·模拟预测）在的展开式中，常数项为 . 【变式7-2】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）的展开式中的系数是 ． 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【变式7-4】.（重庆市沙坪坝区部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】（22-23高二下·上海青浦·期中）星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期 （填一、二、三、四、五、六、日） 【变式8-1】.（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）已知，则被10除所得的余数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】.（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为 ． 【变式8-3】.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 【变式8-4】.（24-25高二下·河南洛阳·期中）目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分（相同总分只记录一次）共有n种情况，则除以64的余数是 ． 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 2．（2025·上海闵行·二模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答） 3．（2025·上海金山·二模）在展开式中的系数为80，则实数的值为 . 4．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为 . 5．（24-25高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 7．（2019·上海奉贤·二模）的展开式中的常数项为 （用数字填写答案）. 8．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 二、单选题 9．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 10．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 11．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 12．（24-25高二下·上海普陀·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 13．（24-25高二下·上海·期中）已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 14．（24-25高二下·上海闵行·期中）设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 15．（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$