精品解析：湖北省2025届高三八校三统联考数学试题

湖北省2025届八校三统联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则“”是“a，b至少有一个大于2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，假设a，b都不大于2，即，， 则，这与矛盾， 所以“”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件； 但是，当ab至少有一个大于2，如，，， 所以“”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件， 故选：A． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 2. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 【答案】A 【解析】 【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解即可. 【详解】 如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为， 设到之间的距离为， 由光线反射性质得，所以，即，① 同理可得，② ①②两式相比得，解得， 代入①得， 故选：A． 3. 设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义可求得结果. 【详解】设， 则，所以，即， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以. 所以复平面内对应的点到原点距离的最大值是. 故选：D 4. 某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（ ） A. 34 B. 46 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的扇形统计图求出购买的侧柏数量，再按各年级报名人数比求解作答. 【详解】由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为， 依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为：， 所以高三年级应分得侧柏的数量为. 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线和之间的距离为：， 和之间的距离为：， 于是有：， 故选：B 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ， ，解得． 故选：C. 7. 若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，所以， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的最大值为2. 故选：B. 8. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等边三角形内接于为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，结合等边三角形的性质，求出答案. 【详解】CD选项，因为是等边三角形的外接圆，所以，且为的中点， 因为为线段的中点，所以， 所以，CD错误； AB选项， ，A正确，B错误； 故选：A 10. 已知直线，以下结论正确的是（ ） A. 不论a为何值，与都不可能互相垂直 B. 当a变化时，与分别经过定点和 C. 不论a为何值，与都关于直线对称 D. 如果与交于点M，则的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系、直线的定点、对称、直线的交点、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】A选项，当时，直线，直线，，所以A选项错误. B选项，，所以直线过定点； ，当时，，所以直线过定点，所以B选项正确. C选项，当时，， 画出图象如下图所示，由图可知不关于直线对称，所以C选项错误. D选项，由于满足， 所以，若与交于点，则点的轨迹是以为直径的圆， 的中点坐标为，， 所以以为直径的圆的标准方程为， 由于，所以在圆上， 则的最大值是直径，即最大值是，所以D选项正确. 故选：BD 11. 已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，，，，根据这些函数在的单调性可得结果. 【详解】设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 故，即，A正确； 设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误； 设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确； 设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 故，即，故，D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若函数的图象过点，则函数的图象一定经过点________. 【答案】 【解析】 【分析】 函数的图象可以看作的图象先关于轴对称，再向右平移4个单位得到，先求出关于轴的对称点，再向右平移4个单位即得 . 【详解】由题得，函数的图象先关于轴对称，再向右平移个单位得函数， 点关于轴的对称点为，向右平移4个单位是， 所以函数的图象一定经过点. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数的平移变换和对称变换，考查了分析能力，属于基础题. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，若为线段的中点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得垂直于轴，求出和长度求解即可. 【详解】因为过作直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，所以垂直于轴， 根据题意得，，，所以， ，，设，，且在第一象限，所以， 将点代入椭圆方程得：，所以，根据对称性得， 所以，在中，，所以. 故答案为： 14. 某射击选手射击环数的分布列为 若射击不小于环为优秀，其射击一次的优秀率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用表格中的数据可计算出，即为所求. 【详解】由表格中的数据可知. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知 . （1）解关于的不等式 （2）若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案. 【小问1详解】 由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式的解集为，所以方程的两根为， 所以，解得， 故的值为，的值为. 16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得，再利用三角形内角关系化简得，由锐角三角形可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根据可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得. 【小问1详解】 由已知得， 整理得， 因为，所以， 又因为， 所以， 可得， ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又因为，所以或，8分 当时，，由正弦定理得， 当时，，由正弦定理得. 综上，或. 17. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 【答案】（1） 连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH， 所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，， 所以平面AEG∥平面BDH． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，， 因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以， 在△PBC中，， 在△BCH中，， 同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD． 在△BDH中，，， 因为，所以． 18. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可； （2）用向量法求解即可 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线AC1的距离为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴， ∴，取，则，， ∴， 又， ∴点到平面的距离为. 【点睛】 19. 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的基本量运算即得； （2）根据条件可得，进而可得，然后利用分组求和法即得. 【小问1详解】 设的公比为，则，又， 当时，，当时，， 两式相减可得，，所以， 所以或(舍去)， 所以，即， 所以等比数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，，可得， 所以，又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以. 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2025届八校三统联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则“”是“a，b至少有一个大于2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 3. 设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（ ） A. 34 B. 46 C. 50 D. 70 5. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等边三角形内接于为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，以下结论正确的是（ ） A. 不论a为何值，与都不可能互相垂直 B. 当a变化时，与分别经过定点和 C. 不论a为何值，与都关于直线对称 D. 如果与交于点M，则的最大值是 11. 已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若函数的图象过点，则函数的图象一定经过点________. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，若为线段的中点，则的面积为______． 14. 某射击选手射击环数的分布列为 若射击不小于环为优秀，其射击一次的优秀率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知 . （1）解关于的不等式 （2）若不等式的解集为，求实数的值. 16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 17. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 18. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 19. 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $