精品解析：2025年四川省自贡市富顺县富顺第二中学校一模数学试题

富顺二中初三（下）一模考试数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则进行判断即可即可求解． 【详解】解：， ∴四个数中，最大的数是 故选：D． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 3. 如图是某个几何体展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体是三棱柱． 【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形， 所以该几何体是三棱柱 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图象的转化，建立空间观念，是解题关键． 4. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得：万． 故答案为：． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算法则、完全平方公式、二次根数的加减及分式的加减，熟练运用相关知识是解决问题的关键．根据有理数的运算法则、完全平方公式、二次根数的加减及分式的加减依次计算各项后即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得， ，，推得，根据角平分线的性质可求出的度数，即可求得的度数． 【详解】∵， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质．熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键． 7. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数是，众数是．   故选：A ． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即或，即， 故选：D． 10. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式的运用以及正切的定义，能够求出是本题解题关键．先根据扇形的面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11. 一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：解：由题意得，二倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， ∴， 解得， 把代入得，代入得， ，解得； 把代入得，代入得， ，解得：， 综上，c的取值范围为：． 故答案为：． 故选：D． 12. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质即可判定①；②如图：连接，然后说明，即可判定②；③先证明四边形是矩形，然后求得为定值，即可判定③；④设，则，，则，再运用二次函数的性质求得x的取值范围即可判定④． 【详解】解：①如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且相似比为，即①正确； ②如图：连接， ∵，点H是线段的中点， ∴， ∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确； ③由②可得：， ∴点H在的垂直平分线上， 如图：过点H分别作，，垂足分别M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误； ④由①可知，且相似比为， 设，则，， ∴， 当面积大于9，即， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，解得：或， ∴的x的取值范围为：， ∴，即④正确； 综上，正确的有①②④共3个． 故选B． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 14. 已知，则整数_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．利用完全平方数即可估算解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 同理：，可得， ∴ ∵，是整数， ∴， 故答案为：． 15. 代数式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义， 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 16. 如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，由为直径得，即得，进而由平行线的性质得，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 网格中点、、均为格点，且点在坐标轴上，连接、，，则满足条件的点有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形，根据网格的特点画出以为底边的等腰直角三角形，进而根据圆周角定理，可得，结合网格的特点，即可求解． 【详解】解：如图， ，， 网格中点、、均为格点，且点在坐标轴上， 图中只有符合题意； 则满足条件的点有个 故答案为：3． 18. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用平方根、特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可． 详解】解： 20. 在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，即可证明． 【详解】证明：∵点F为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图； （2）该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数； （3）班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【答案】（1），图见解析； （2）估计成绩为合格的男生人数为名； （3）甲、乙两人恰好分在同一组的概率是． 【解析】 【分析】（1）由“良好”所占的百分比即可得到“良好”所对应的圆心角度数；结合条形统计图和扇形统计图求出抽取的总人数后即可得到合格人数并补全 条形统计图； （2）由样本中成绩为合格的人数所占百分比乘总人数即可估计成绩为合格的男生人数； （3）根据画出的树状图找出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数即可得解． 【小问1详解】 解：“良好”所对应的圆心角度数是， 抽取的总人数为（人）， 合格人数为（人）， 则补全条形统计图如图： 故答案为：； 【小问2详解】 解：成绩为合格的男生人数为（名）． 答：估计成绩为合格的男生人数为名． 【小问3详解】 解：画树状图可得： 共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种， （甲乙同组）， 即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是． 【点睛】本题考查的知识点是求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是能从条形统计图和扇形统计图正确地得出信息． 22. 某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】（1）该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； （2）第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． 【小问2详解】 设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）点或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数图象过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴ ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点或． 24. 如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先连接，由圆是的切线，，又由，即可判定，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得； （2）过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据已知可得，进而得出，在中，勾股定理求得，在中，求得，进而得出，证明得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． 是的切线， ， 又， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，已知正切求边长，勾股定理，等腰三角形的性质与平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25. 阅读下面三段素材，完成以下任务： 素材一：图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连接AC，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面l）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角 素材二：挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，轮胎与地面相切于点O．如图，某款挡车器，，．高． 素材三：图3是某厂家的露天停车棚的侧视图．顶棚HG与与支撑杆夹角即，FE与地面IE垂直，，． 参考数据：，，，． 任务1：求【素材一】中AC的长为_______． 任务2：【素材一】中的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务3：将【素材一】中的越野车停在【素材三】中的停车棚内，能保证越野车的后备箱盖可以完全打开吗？请说明理由． 【答案】任务1： 任务2：该越野车的轮胎所在圆的半径是 任务3：当的长为时，后备箱能完全打开． 【解析】 【分析】任务一：过点作交于点，根据求出，根据求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； 任务二：设轮胎的圆心为，过点作，过点作，过点作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可； 任务三：在中，求出，作，，保证越野车的后备箱可以完全打开，则，求得，求出，由，可求出，从而可得结论． 【详解】解：任务一：如图所示，过点作交于点， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图所示，设轮胎的圆心为，过点作，过点作，过点作， ∴四边形是矩形， ∵挡车器高，轮胎所在圆的圆心与挡车器点的水平距离为， ∴，， ∴设的半径，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴该越野车的轮胎所在圆的半径是； 任务三：由素材一知，，，即，过点作的垂线，垂足为， ∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角， 在中，如图，， ∴， ∴， 如图中，作，， ∵，，，， ∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的长为时，后备箱能完全打开． 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的性质，勾股定理，一元一次不等式，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ ∴综上所述，点的横坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求解析式、平行四边形的性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 富顺二中初三（下）一模考试数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 4. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，是圆锥母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：2a2﹣8=_____． 14. 已知，则整数_______． 15. 代数式有意义，则x的取值范围为_______． 16. 如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为_____． 17. 网格中点、、均为格点，且点在坐标轴上，连接、，，则满足条件的点有_______个． 18. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 计算：； 20. 在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 21. 某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图； （2）该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数； （3）班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 22. 某文创店，最近一款印有“保卫里”书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 24. 如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 25. 阅读下面三段素材，完成以下任务： 素材一：图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连接AC，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面l）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角 素材二：挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，轮胎与地面相切于点O．如图，某款挡车器，，．高． 素材三：图3是某厂家的露天停车棚的侧视图．顶棚HG与与支撑杆夹角即，FE与地面IE垂直，，． 参考数据：，，，． 任务1：求【素材一】中AC的长为_______． 任务2：【素材一】中的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务3：将【素材一】中的越野车停在【素材三】中的停车棚内，能保证越野车的后备箱盖可以完全打开吗？请说明理由． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$