第22章培优专题 四边形期末8大压轴题型-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

第22章培优专题 四边形期末8大压轴题型 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）对于，当时，，令，则，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】(1)0 (2) (3)或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、由平移方式确定点的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据坐标平移规律“左减右加”以及坐标轴上点坐标特征即可求解； （2）根据旋转的性质求得，再利用待定系数法即可求解； （3）先求得，根据平行四边形的性质进行分类讨论，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将点B向左平移2个单位后落在y轴上 ∴ 解得 （2）由（1）可得， ∴ ∴ 如图，根据旋转可得， ∴ 设直线的表达式为（） ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （3）由（2）知直线的表达式为， ∴ 连接，如图， ①由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ②由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ③由平移得直线轴， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴     综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，旋转的性质，平移的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，坐标平移规律以及坐标轴上点坐标特征等，根据平移求对应点坐标是解题的关键． 3．（22-23八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，以线段为底边作等腰直角，，点在第一象限．    (1)如果，求一次函数的解析式和点的坐标； (2)如果直线经过点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)、、 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、写出直角坐标系中点的坐标、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）过C点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M，先求出，，即利用待定系数法可得；证明四边形是矩形，即，再证明，可得矩形是正方形，即，即，可得，问题得解； （2）设，过C点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M，同（1）可证明， 进而可得，即可求出，即，在求出，，设，当点D在时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据中点坐标公式可得：，即；当点D在时和当点D在时，同理可求解． 【详解】（1）如图，过C点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M，    ∵，， ∴， ∴，， 设一次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵等腰直角，中， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 如图，过C点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M，    同（1）可证明， ∴，， 即可得四边形是正方形， ∵， ∴， ∵直线经过点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，如图，    当点D在时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∵，，，， 又∵平行四边形的对角线互相平分， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴此时； 当点D在时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 同理可求出； 当点D在时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 同理可求出； 综上：D点坐标为：、、． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质以及中点坐标公式等知识，掌握平行四边形的性质以及中点坐标公式，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 4．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，且与直线交于点，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)过点A作的平行线交x轴于点E， ①求点E的坐标； ②点P是直线上一动点且在x轴的上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)6 (2)①②，或 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先求出的坐标，利用面积公式进行求解即可； （2）①待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标；②分为对角线和为对角线，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵直线与y轴交于点A，且与直线交于点， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； （2）解：①设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴ 直线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，当时，， ∴； ②设， ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积， ∴，即：，， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 当为对角线时， 当为对角线时， 综上：时，或．    【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 矩形与折叠问题 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、点到直线的距离、用勾股定理解三角形 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形的面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， , 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即， 解得， ， 故答案为：． 7．（2021·浙江杭州·中考真题）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度． 【答案】18 【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题 【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可． 【详解】连接MD，设∠DAF=x 根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90° ∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x ∴∠DMF=2x ∵△DCE折叠得到△DFE ∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE 又MF=AB ∴MF=DF ∴∠MDF=2x ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90° ∴∠CDE=∠ACD=x ∴∠FDE=∠CDE=x ∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90° ∴x=18° 故∠DAF=18° 故答案为18． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键． 根据矩形的性质与判定求角度 8．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    【答案】21 【知识点】列一次函数解析式并求值、根据矩形的性质与判定求角度、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，根据题意设，，得到，用待定系数法求得直线的解析式，代入点横坐标，得到其纵坐标为，推出轴，结合题意可推出四边形是矩形，然后根据等腰三角形性质和三角形外角定义，结合，推出，最后根据轴，得到，从而推出，即可得到答案． 【详解】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，如图所示     点、在双曲线上， 设点坐标为，点坐标为 轴，轴 点坐标为 设直线的解析式为： ，即 直线的解析式为： ，交于 点的横坐标为，且点在上 ，即点的坐标为 ， 轴 轴，轴，轴 ，， 四边形是平行四边形 又轴 平行四边形是矩形 ， 又， 轴 ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数表达式，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并作出相应的辅助线是解题的关键． 9．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【详解】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 根据矩形的性质与判定求线段长 10．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题； （2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 如图1，作于点，延长，延长线交于点， ， 四边形是矩形， ， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积；    （2）证明：如图2，延长，交于点， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 作交于M， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ；    （3）解：如图3，由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， ，， （舍去）或． 的长为．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 11．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 【答案】(1)或 (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②连接，由①同理得，，由①知，则，可证明，则，同理可证，得到四边形是平行四边形，由四边形的面积是矩形面积的得到，则，即，求得，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接，    ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）①由（1）知：， 如图2，连接，    ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，    由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 12．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，平行四边形中，，，将沿着翻折，点B的对应点为点E，连接，那么线段 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】根据翻折，推出，过点作，则四边形为矩形，利用含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，得到，，利用，求出的长，进而求出的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，    ∵翻折， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， 过点作，则四边形为矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴，， 在在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，根据题意，正确的作图，得到特殊三角形，是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海·期末）如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、全等三角形综合问题、求一次函数解析式、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，梯形的高为2，即可求得；由双曲线过点，直线过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案． （3）设点，求出直线解析式和直线解析式，求出点坐标和点坐标，表示出，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， ∵梯形的高为2， ∴． ， ， ， ∵双曲线经过点， ， ∴双曲线的解析式为：， ∵直线经过、两点， 得：， ∴解得：． ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，四边形是平行四边形． ∴且． ∵点在轴上， ∴过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点． ∴点的坐标为， ∴． ∴， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：根据（1）可得，双曲线的解析式为：， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 设点， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 令，则，故． 联立可得：， 故， ∴， ， ∴． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 14．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、的长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． （3）延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 15．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 利用菱形的性质求线段长 16．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上．    (1)求点C的坐标以及k的值； (2)联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； (3)点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题、利用菱形的性质求线段长、正方形性质理解 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，求得； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ∴点A坐标是， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得， ∴点． 综上所述，点或    【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 17．（20-21八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)存在满足条件的点的，其坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标，分别把，代入可求出，的坐标； （2）根据在直线上，设出坐标，表示出三角形面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在的条件下，根据是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况讨论：当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；当四边形为菱形时；当四边形为菱形时；分别求出坐标，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：解方程组， 得：， ； 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， ； （2）解：设， 的面积为， ∴， 解得：， ， 设直线的函数表达式是， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为； （3）解：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： 当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形，此时，即， 此时； 当四边形为菱形时，点与关于对称，即可关于y轴对称， ∵点坐标为， ∴点纵坐标为， 把代入直线解析式中，得， 解得：， ∴， 此时； 当四边形为菱形时，则有， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 此时． 综上可知存在满足条件的点的的坐标为：或或 ． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在中求得点坐标是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 利用菱形的性质证明 18．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 19．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 根据正方形的性质求线段长 20．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证； （2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 21．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接和，先证明是直角三角形，利用勾股定理分别求出，和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得答案． 【详解】连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点 故答案为：． 22．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 梯形 23．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、等腰三角形的性质和判定、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【详解】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 24．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【答案】6 【知识点】利用平行四边形的性质证明、等腰梯形的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解． 【详解】解：过作交延长线于点，则，   ， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ，即， ， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键． 25．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【知识点】一次函数与几何综合、等腰梯形的判定定理、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 27．（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰梯形的判定定理 【分析】（1）如图所示，过点D作交于E，则，证明四边形是平行四边形，得到，进而推出，可证明是等边三角形，得到，即可证明，即四边形是等腰梯形； （2）①过点D作交延长线于F，求出，得到，则，由勾股定理即可得到；②求出，则当点M在点A下方时，只存在这一种情况，可得，如图3所示，过点B作于H，求出，得到，，则，即可得到；当点M在点A上方时，如图4所示，可证明是等边三角形，得到，进而可证明三点共线，则点N与点C重合，即可证明是等边三角形，过点M作于H，得到，则，可得． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作交于E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：①如图所示，过点D作交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴当点M在点A下方时，只存在这一种情况， ∴， 如图3所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在点A上方时，如图4所示， ∵是等腰三角形，且 ， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴点N与点C重合， ∴是等边三角形， 如图所示，过点M作于H， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章培优专题 四边形期末8大压轴题型 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 3．（22-23八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，以线段为底边作等腰直角，，点在第一象限．    (1)如果，求一次函数的解析式和点的坐标； (2)如果直线经过点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 4．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，且与直线交于点，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)过点A作的平行线交x轴于点E， ①求点E的坐标； ②点P是直线上一动点且在x轴的上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 矩形与折叠问题 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 7．如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度． 根据矩形的性质与判定求角度 8．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    9．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 根据矩形的性质与判定求线段长 10．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 11．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 12．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，平行四边形中，，，将沿着翻折，点B的对应点为点E，连接，那么线段 ．    13．（23-24八年级下·上海·期末）如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 14．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 15．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 利用菱形的性质求线段长 16．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上．    (1)求点C的坐标以及k的值； (2)联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； (3)点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 利用菱形的性质证明 18．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 19．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2) 当时，求的长．（直接写出答案） 根据正方形的性质求线段长 20．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 21．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 22．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 梯形 23．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 24．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    25．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 26．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 27．（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$