第18章 平行四边形 期末易错题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第18章 平行四边形 期末易错题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知菱形中，对角线、相交于点，为的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 7．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面高度为米（米），当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米（米）的学生走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为（  ） A．3米 B．2米 C．米 D．米 8．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相平分的菱形是正方形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中是真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 12．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(    )    A．， B．， C．， D．， 二、填空题 13．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 14．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，，则四边形的面积为 ． 15．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的边长为12，点E为边上一点，且，点为边上的中点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的长是 ． 16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长 ． 17．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 18．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 19．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是 ． 20．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是 ． 三、解答题 21．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 22．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形是正方形，以点为坐标原点，分别在轴，轴上，点在边上，点的坐标为，点在边的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，连接和，且． (1)求证：垂直平分； (2)求正方形的边长； (3)求点的坐标． 23．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 24．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，过点A作，且，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 26．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，，垂足为． (1)求证：； (2)如图，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，求． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．    (1)当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； (2)当时，如图3，求点P的坐标； (3)如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 28．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 29．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 30．（23-24八年级下·北京石景山·期末）已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． (1)当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 31．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 32．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交、于点、． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）问题情境：在“综合实践”课上，老师提出如下问题：如图1，正方形的对角线相交于点，点是线段上的一点，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．试判断线段和的数量关系，并加以证明． (1)请解答老师提出的问题； (2)老师提示同学们改变图1中点的位置，进一步研究线段的数量关系． ①小英提出：如图2，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系，并说明理由； ②小雄提出：如图3，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系（直接写出结果）； (3)以上问题的解决，也可以理解为：通过某种变换，将运动至与重合，进而探究线段之间的数量关系，这里的变换方式是指（    ）． A．平移　　　　　B．轴对称　　　　　C．旋转　　　　　D．中心对称 34．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形中，，求证： 35．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则菱形的面积是________（直接写答案）． 36．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求的长． 37．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，多边形是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点处测得点在正西方向，点在正北方向，点在东北方向，在点处测得点在正西方向，点在正南方向；乙小组测得米，米，米，米．（参考数据：） (1)计算点与点的距离； (2)某同学从去处回收测量工具，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 38．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以的速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． (1)若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (2)当时，连接，若，则当t为何值时，是等腰三角形？ 39．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 40．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，，平分，且交于点，交于点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，若交于点，且，，求菱形的边长． 41．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 2 / 55 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形 期末易错题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得,，，再根据折叠的性质可得，，则可得，．则可得四边形是矩形,进而可求出四边形的周长． 本题主要考查了矩形的判定和性质，以及折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴,，， ∵沿折叠，点B落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形, ∴，， ∴四边形的周长． 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】过B点作于G，连接，根据可得，，则可得，．设，则，．然后分两种情况讨论：①当时，②当时，在中，由，列方程求出x的值即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， 过B点作于，连接． ∵平分， ∴， 又， ， ， ，， ， ． 设，则，． ①如图，当时，，， 则，， 在中，由得， ， 解得， ； ②如图，当时，，， 则，， 由得， ， 解得， ． 综上，的长为或． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质．全等三角形的判定和性质．角平分线的性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，分两种情况讨论是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】 5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】取中点，连接，利用三角形中位线定理证明是等边三角形即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接， ∵G为中点，H为中点， ∴， ∵等边中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选C． 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知菱形中，对角线、相交于点，为的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；熟记菱形性质是解题的关键．根据菱形的性质可得，，然后求出是的中位线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】四边形是菱形， ∴，， 为的中点， 是的中线， ∴， 菱形的周长； 故选：． 7．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面高度为米（米），当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米（米）的学生走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为（  ） A．3米 B．2米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．如图，过作于，则四边形是矩形，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，学生头顶离感应器的距离为， 故选：B． 8．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相平分的菱形是正方形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中是真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等． 利用正方形、矩形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，①错误，是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，②错误，是假命题，不符合题意； 对角线相等的菱形是正方形，③错误，是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，④错误，是假命题，不符合题意． 真命题有0个， 故选：A． 9．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识点，如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，，若在，上分别任取一点，，由可知，进而可知当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，， 若在，上分别任取一点，， ， 当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，由题意得，，，，， ，， ，， 四边形的周长的最小值为， 在边、上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为． 故选：D． 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判断方法是正确判断的前提．根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，故①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②不正确； 经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分，故③正确； 对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故④不正确； 则正确的有①③，共2个， 故选：B． 11．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：， ， 点D是的中点，， ， ， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 12．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(    )    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次进行证明即可． 【详解】解：，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， 故B符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能证明与相等，可与相等， 不能证明与平行， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 二、填空题 13．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，，则四边形的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，先证明四边形是平行四边形，得，，再由勾股定理得，然后由三角形面积公式即可求出结论 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴.四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ 即， ， ∴， 故答案为：11 15．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的边长为12，点E为边上一点，且，点为边上的中点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】过点G作于点M，于点N，则是矩形，然后利用证明，得到，，然后利用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过点G作于点M，于点N，如图， ∴ 又∵是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和性质．解题的关键是熟悉正方形的性质和全等三角形的性质． 16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长 ． 【答案】或 【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； ②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①如图，，， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，，， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为或． 17．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】由矩形的性质得出，，证明是等边三角形，得出，，证明出是等腰三角形，得出，因此，由等腰三角形的性质即可得出的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 18．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高． 根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形，勾股定理等知识，根据题意，分两种情况：当点在上时，当点在上时，利用勾股定理即可求解．理解题意，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∵为边中点， ∴， 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴，则， 在中，，即， 解得：， ∴的面积； 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得： ∴的面积； 综上，的面积为或． 20．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，构造平行四边形是解题关键．以为邻边构造，再利用含的得，，再利用勾股定理得最后利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：以为邻边构造，过C作， ， ， ， ， ， ， 最小值， 故答案为：． 三、解答题 21．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 22．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形是正方形，以点为坐标原点，分别在轴，轴上，点在边上，点的坐标为，点在边的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，连接和，且． (1)求证：垂直平分； (2)求正方形的边长； (3)求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据：，，即可得证； （2）证明，得出，进而根据，，即可求解； （3）根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴垂直平分； （2）解：在正方形中，， 在和中， ， ∴， ∴ ∵点的坐标为， ∴， ∵ ∴ （3）解：∵， ∴ ∴ 又点的坐标为，是的中点 ∴ 23．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据和勾股定理可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长， 【详解】（1）证明：是等边的边上的高， ，， ， ， ， ， 为等边三角形三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形的周长为：． 24．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，过点A作，且，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明菱形； （2）过点作于点，取中点，连接，在中，由勾股定理求得，可证明是等边三角形，在证明，则，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴在中，由勾股定理求得， 取中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，    四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 26．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，，垂足为． (1)求证：； (2)如图，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知； （2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； ②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，得出，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于，    则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，    ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，    ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．    (1)当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； (2)当时，如图3，求点P的坐标； (3)如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】（1）作的角平分线交于点M，由非负数的性质求出，由勾股定理得，设，在中利用勾股定理求出x即可； （2）由折叠得，，可证，由余角的性质证明得， 然后证明四边形是平行四边形即可求解； （3）取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）如图，点M即为所求，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接．    由折叠得，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，矩形的性质，等角对等边，直角三角形斜边的中线，勾股定理，平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 28．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 29．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形的对边且 ，得到四边形是平行四边形，证得结论． 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是的两条中线， ∴点D、E分别是边的中点， 又∵F、G分别是的中点， ， 且 ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 30．（23-24八年级下·北京石景山·期末）已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． (1)当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①见详解；②见解析；③，见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意作出图形即可； ②由正方形的性质 得，，进而 又，得，从而，于是证明； ③在上取一点，使得，连接，证是的中位线，得，再证明，利用勾股定理得，从而即可得解； （2）在延长线上取一点，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得再证，利用勾股定理得，从而即可得解． 【详解】（1）解：①如图即为所求， ②证明：四边形是正方形， ，， ， ，， 即， ， ∴； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ； ，点是的中点， 是的中位线， ， 由②得，，， ，， ， ， ， ； （2）， 理由如下：在延长线上取一点，使得，连接． 四边形是正方形， ， ，， ，， 即， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质及垂线定义，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． 31．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，是解决问题的关键． （1）根据平行四边形性质得到，结合，推出，即得； （2）根据平行四边形性质得到，结合，得到，推出四边形是平行四边形，根据，即得是矩形． 【详解】（1）∵中，， 且， ∴， ∴； （2）∵中，， 且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． 32．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交、于点、． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再加上即可证明结论； （2）根据菱形的性质可以得到，进而放在直角三角形中可以求得菱形对角线的长度，最后根据面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形，，， ，， 在中，，， ，， 菱形的面积为， 即四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的面积公式、直角三角形所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握上述知识点是解答的关键． 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）问题情境：在“综合实践”课上，老师提出如下问题：如图1，正方形的对角线相交于点，点是线段上的一点，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．试判断线段和的数量关系，并加以证明． (1)请解答老师提出的问题； (2)老师提示同学们改变图1中点的位置，进一步研究线段的数量关系． ①小英提出：如图2，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系，并说明理由； ②小雄提出：如图3，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系（直接写出结果）； (3)以上问题的解决，也可以理解为：通过某种变换，将运动至与重合，进而探究线段之间的数量关系，这里的变换方式是指（    ）． A．平移　　　　　B．轴对称　　　　　C．旋转　　　　　D．中心对称 【答案】(1)，证明过程见详解 (2)①，证明过程见详解；②，证明过程见详解 (3)C 【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形两锐角互余的关系可得，可证，由此即可求解； （2）①根据正方向的性质可得，根据一线三直角的性质可得，由此可证，即可求解；②证明方法同上； （3）根据题意，将绕点逆时针旋转后与重合，由此即可求解． 【详解】（1）证明：，理由如下， ∵四边形是正方形，对角线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是正方形，对角线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②同法可得：， ∴； （3）解：根据图示可得，将绕点逆时针旋转后与重合， ∴这里的变换方式是旋转， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，旋转的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 34．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形中，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等，由平行四边形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ∴． 35．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则菱形的面积是________（直接写答案）． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及菱形面积的计算，属于常考题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，即，根据，可得四边形是平行四边形，进一步即可推出结论； （2）根据菱形的性质可得，，根据矩形的性质可得，，于是可得和的长，再根据菱形面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，即． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形矩形， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积． 故答案为：4． 36．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，角平分线的定义，勾股定理等知识； （1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 37．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）如图，多边形是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点处测得点在正西方向，点在正北方向，点在东北方向，在点处测得点在正西方向，点在正南方向；乙小组测得米，米，米，米．（参考数据：） (1)计算点与点的距离； (2)某同学从去处回收测量工具，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】(1)400米 (2)选择线路①路程更短 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得米，米，再利用勾股定理解得的值，然后比较线路①和线路②的总路程，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知米，米，， ∴在中，米， 即点与点的距离为400米； （2）如下图，过点作于点， ∵米，米，米，米， ∴线路①总路程为米； ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米， ∴在中，米， ∴线路②总路程为米， ∵， ∴选择线路①路程更短． 38．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以的速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． (1)若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (2)当时，连接，若，则当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形，则，列出方程求解即可； （2）分两种情况讨论：若，过点P作于点E，若，过点Q作于点F，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 则， 点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形， 则， ∴， 解得， ∴当四边形是平行四边形时，t的值是2； （2）如图①，若，过点P作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 如图②，若，过点Q作于点F， 同理可证四边形为矩形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上所述：当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程，解决本题的关键是综合运用以上知识． 39．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 40．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，，平分，且交于点，交于点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)菱形的边长为 【分析】（）由题意可得四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得结论； （）由菱形的性质可得，，，由直角三角形斜边上的中线性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解； 本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 41．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)平行四边形，平行四边形． 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理及平行四边形的判定即可判断求解； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，掌握平移和旋转的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形，平行四边形． 2 / 55 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$