第22章 四边形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版） 

第22章 四边形 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．菱形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形 2．（本题2分）的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 3．（本题2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（    ）    A．DE∥BC B．△DBA是等腰三角形 C．点A落在BC边的中点 D．∠B+∠C+∠1＝180° 4．（本题2分）已知梯形中，，如果中位线的长为，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 6．（本题2分）下列命题中，真命题是（    ） A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 二、填空题（共36分） 7．（本题3分）一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 8．（本题3分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 9．（本题3分）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 10．（本题3分）若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是 ． 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么 ． 12．（本题3分）如图，在矩形中，，对角线与交于点，且，，，则四边形的周长为 ． 13．（本题3分）若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是 ． 14．（本题3分）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 15．（本题3分）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠= ． 16．（本题3分）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 度． 17．（本题3分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ． 18．（本题3分）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 三、解答题（共52分） 19．（本题6分）如图所示，求． 20．（本题6分）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 21．（本题6分）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 22．（本题8分）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 23．（本题8分）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 24．（本题8分）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 25．（本题10分）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 四边形 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．菱形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、菱形是轴对称图形，是中心对称图形．故符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意． 故选：A． 2．（本题2分）的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 【答案】D 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可判断A，C，由得到是菱形，进而可判断B，D． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，，故A，C正确，不符合题意； 若， ∴是菱形 ∴，故B正确，不符合题意； ∴此时是轴对称图形，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（本题2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（    ）    A．DE∥BC B．△DBA是等腰三角形 C．点A落在BC边的中点 D．∠B+∠C+∠1＝180° 【答案】C 【分析】根据中位线定理，可以判断A选项正确；根据折叠的性质，且D为AB中点，可知BD＝AD，故B选项正确；根据折叠的性质，可判断AD=DB，AE=EC，而不能判断BA=AC，故C选项错误；因为∠B+∠C+∠A=180°，根据折叠的性质知∠A=∠1，故∠B+∠C+∠1＝180°，故D选项正确． 【详解】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC； 故A选项正确； ∵由折叠的性质可得：BD＝AD， ∴△DBA是等腰三角形； 故B选项正确； 由折叠的性质可得：AD＝BD，AE＝EC， 但不能确定AB＝AC， 故C选项错误； ∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， 由折叠的性质可得：∠A＝∠1， ∴∠B+∠C+∠1＝180°． 故D选项正确． 故选C． 【点睛】本题目考查三角形中的折叠问题，难度不大，熟练掌握折叠的性质以及三角形内角和为180°即可顺利解题． 4．（本题2分）已知梯形中，，如果中位线的长为，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的中位线定理． 根据梯形的中位线定理得到，再由中位线的长为即可求出的长． 【详解】解：梯形中，，， ∴中位线， ∵中位线的长为， ∴， 解得， 故选：C 5．（本题2分）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 6．（本题2分）下列命题中，真命题是（    ） A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 【答案】D 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题； B、一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形，本选项说法是假命题； C、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题； D、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，故本选项说法是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了真命题的定义、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求． 二、填空题（共36分） 7．（本题3分）一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和与外角和综合．首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． 【详解】解：∵正边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数； 故答案为：． 8．（本题3分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 9．（本题3分）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，画出平行四边形是解题的关键． 先利用平行四边形的性质画出图形，然后写出D点坐标即可． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形，那么点D的坐标为． 故答案为：． 10．（本题3分）若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质求面积、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键．根据题意，作出图形，先求出面积，再利用菱形对角线相互垂直平分，由勾股定理求出菱形边长后，利用等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   菱形的两条对角线长分别是和，不妨令， ， 在菱形中，，则在中，，由勾股定理可得， ， ，解得， 故答案为：． 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．（本题3分）如图，在矩形中，，对角线与交于点，且，，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，根据、矩形的性质、等边三角形的判定，推理证明是等边三角形，得出，结合，，菱形的判定定理证明四边形是菱形，计算周长即可，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，推理证明是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与交于点，，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 13．（本题3分）若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据矩形四个内角为直角和解析对角线相等且互相平分求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在矩形中，对角线交于O，其中， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角是， 故答案为：． 14．（本题3分）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 【答案】 【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案． 【详解】解：因为：□ABCD， 所以，， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键． 15．（本题3分）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠= ． 【答案】60° 【分析】利用平行线及∥，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：因为：∥，所以： 因为：，所以： ， 所以；， 因为：等腰梯形， 所以：， 设： ，所以， 因为：⊥， 所以：，解得： 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键． 16．（本题3分）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 度． 【答案】21 【分析】由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，且都为等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴， ∵点与点关于直线对称，， ∴，AD=DP， ∴CD=DP，， ∴， ∴， 故答案为21． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（本题3分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设这个反比例函数的表达式为，再通过证明四边形是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出k的值，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设这个反比例函数的表达式为， ∵轴于点B， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 【答案】/ 【分析】证明四边形是矩形，则，得四边形是正方形，则，，由折叠的性质得到，证明四边形是矩形，则，由折叠的性质得到，设，则，在中，勾股定理得，求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，点A的坐标为， ∴， ∵沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，     解得， 即， ∴点E的坐标是， 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（共52分） 19．（本题6分）如图所示，求． 【答案】 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【详解】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 20．（本题6分）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 21．（本题6分）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，再点是的中点，得出，又，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 22．（本题8分）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 23．（本题8分）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等． （1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得； （2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，                         ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24．（本题8分）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的值为2 【分析】（1）证明，推出，利用三角形的外角性质得到，即可证明结论成立； （2）连接与交于点J，利用正方形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可； （3）证明，推出，得到的值等于，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形和正方形，    ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：连接与交于点J，    ∵正方形中，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，    同理，，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键． 25．（本题10分）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有可能为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【分析】（）过点作于，利用勾股定理求出即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解； （）分点为顶点、点为顶点、点为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，则， ∵的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作轴于，则四边形是矩形，，， ； 综上，； （3）解：有可能为等腰三角形． ∵，，， ∴， 当点为顶点时，如图，， ∴， ∴或； 当点为顶点时，如图，， ∴    ， ∴， ∴； 当点为顶点时，如图，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$