第23章培优专题 概率初步 期末4大易错题型-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

第23章培优专题 概率初步 期末4大易错题型 事件及其发生的可能性 1．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 3．（18-19九年级下·贵州黔西·阶段练习）事件“关于y的方程a2y+y＝1有实数解”是(　　) A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不对 4．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．两个不相同无理数的和是无理数 B．两个不相同无理数的差是无理数 C．两个不相同无理数的积是无理数 D．两个不相同无理数的商是无理数 根据概率公式计算概率 5．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 6．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 7．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 8．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 9．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 10．（22-23八年级下·上海宝山·期末）七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    11．（22-23八年级下·上海虹口·期末）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)当时，从袋中随机摸出1个球，摸到白球的概率是 ； (2)从袋中随机摸出一个球，如果摸到绿球的概率是，那么n的值是 ； (3)在（2）的条件下，从袋中随机摸出两个球，求摸出的两个球是不同颜色的概率． 列举法求概率 12．（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 13．（20-21九年级上·江西吉安·期中）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（  ） A． B． C． D． 列表法或树状图法求概率 14．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ． 15．（22-23八年级下·上海虹口·期末）两个相同的纸盒里分别都有质地相同的红色小球2只和白色小球3只，某人分别从两个纸盒里各摸一个球，则两个球异色的概率为 ． 16．（21-22九年级上·河北唐山·阶段练习）有四张形状、大小和质地一样的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张，接着再随机抽取一张． (1)请你用树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果，并求两次抽取的正多边形边数和最小的概率； (2)求两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章培优专题 概率初步 期末4大易错题型 事件及其发生的可能性 1．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数图象与坐标轴的交点问题、事件的分类 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据不可能事件，随机事件和必然事件的意义进行判断即可 【详解】解：A. 关于的方程没有实数解，故选项A是不可能事件，不符合题意； B. 一元二次方程的判别式，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，是必然事件，不符合题意； C. 当时，点（m为实数）落在直线上，是随机事件，故符合题意； D. 直线与直线相交，是必然事件，不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数图象平移问题、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查了确定事件、不可能事件以及随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据事件发生可能性的大小判断即可． 【详解】解：A．因为两直线k值相同，所以直线与直线没有公共点，属于不可能事件，故本选项符合题意； B．当a取非负数时，关于x的方程有实数根，属于随机事件，故本选项不符合题意； C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上，此为随机事件，故本选项不符合题意； D．有两条边及其中一边的对角对应相等且为直角时，这两个三角形全等，此为不确定事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（18-19九年级下·贵州黔西·阶段练习）事件“关于y的方程a2y+y＝1有实数解”是(　　) A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】事件的分类、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．再判断属于哪类事件即可． 【详解】∵△＝1﹣4a2(﹣1)＝4a2+1＞0，原方程一定有实数解． ∴方程a2y+y＝1有实数解是必然事件． 故选A． 【点睛】考查了随机事件的意义与一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 4．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．两个不相同无理数的和是无理数 B．两个不相同无理数的差是无理数 C．两个不相同无理数的积是无理数 D．两个不相同无理数的商是无理数 【答案】B 【知识点】无理数、二次根式的除法、二次根式的加减运算、事件的分类 【分析】通过举例计算逐一分析每个选项，结合必然事件与随机事件的含义可得答案. 【详解】解：∵，和是有理数，是无理数， ∴两个不相同无理数的和是无理数是随机事件，故A不符合题意； 两个不相同无理数的差是无理数是必然事件，故B符合题意； ∵，， ∴两个不相同无理数的积是无理数是随机事件，故C不符合题意； 同理：两个不相同无理数的商是无理数是随机事件，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是无理数的和，差，积，商，二次根式的运算，无理数的定义，随机事件与必然事件的含义，熟记运算法则与基本概念是解本题的关键. 根据概率公式计算概率 5．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是． 6．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 【答案】 【知识点】无理数、根据概率公式计算概率 【分析】先找出3.14、、、这四个数中无理数的个数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 本题主要考查了无理数的概念和概率的计算．无限不循环小数叫做无理数，通常情况下开方开不尽的数是无理数．熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】3.14、、、这四个数中无理数有一个， ∴从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是． 故答案为： 7．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【详解】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 8．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 【答案】(1)1 (2) 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）先判断（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形，再根据概率公式求解； （2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形， ∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1； （2）（圆）、（矩形） 是中心对称图形， 所有等可能的情况如图所示：    共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种， 所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法是关键． 9．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 【答案】 / / 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种， 恰好是红球的概率为：， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 红 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种， 所以这两个球颜色相同的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重复出现的结果是解题的关键． 10．（22-23八年级下·上海宝山·期末）七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、用勾股定理解三角形 【分析】设号板的边长为，号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为，从而得出大正方形边长为，再根据正方形的面积公式求出大正方形的面积和号板的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设号板的边长为，则号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为， 号板的斜边长 大正方形的面积为，号板的面积 刚巧停在号板区域的概率， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，勾股定理，熟练掌握概率=相应的面积与总面积之比是解答本题的关键． 11．（22-23八年级下·上海虹口·期末）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)当时，从袋中随机摸出1个球，摸到白球的概率是 ； (2)从袋中随机摸出一个球，如果摸到绿球的概率是，那么n的值是 ； (3)在（2）的条件下，从袋中随机摸出两个球，求摸出的两个球是不同颜色的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】（1）按照概率公式求解即可； （2）根据摸到绿球的概率是列出方程，解方程并检验即可； （3）画出树状图，共有12种等可能的情况，其中摸出的两个球是不同颜色的情况共有10种，根据概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，不透明袋子中有1个红球，1个绿球和1个白球，则摸到白球的概率是， 故答案为： （2）由题意可得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 即n的值是， 故答案为： （3）画树状图如下：    共有12种等可能的情况，其中摸出的两个球是不同颜色的情况共有10种， ∴摸出的两个球是不同颜色的概率． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率、概率公式等知识，熟练掌握树状图或列表法、概率公式是解题的关键． 列举法求概率 12．（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率、添一个条件成为平行四边形 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 13．（20-21九年级上·江西吉安·期中）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法求概率、添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定方法求解即可． 【详解】解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形； ②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形； ③；是本身具有的性质，无法判定是菱形； ④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； ⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形 ∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种 ∴能判定是菱形的概率为 故选：B． 【点睛】本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键． 列表法或树状图法求概率 14．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、求一次函数自变量或函数值 【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线上的点的坐标，最后计算求解即可． 【详解】解：由题意画树状图如下： 共有36种等可能的结果， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴在直线上的点的坐标为，，共个， ∴点、落在直线上的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况． 15．（22-23八年级下·上海虹口·期末）两个相同的纸盒里分别都有质地相同的红色小球2只和白色小球3只，某人分别从两个纸盒里各摸一个球，则两个球异色的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用画树状图展示所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图，    共有25种等可能结果，其中符合题意的有12种， ∴两个球异色的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（21-22九年级上·河北唐山·阶段练习）有四张形状、大小和质地一样的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张，接着再随机抽取一张． (1)请你用树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果，并求两次抽取的正多边形边数和最小的概率； (2)求两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】（1）根据题意画出树状图，进而即可求解； （2）根据中心对称与轴对称图形的定义，可得正方形与正六边形既是中心对称又是轴对称图形，根据（1）的树状图即可求解． 【详解】（1）画树状图为： 共有12种等可能的结果数； 两次抽取的正多边形边数和最小的结果数为2， 所以两次抽取的正多边形边数和最小的概率． （2）解：∵正方形与正六边形既是中心对称又是轴对称图形，共有12种等可能的结果数； 其中两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的有2种可能， ∴两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率为． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率，中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$