第19章 一次函数 期末压轴题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第19章 一次函数 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 二、填空题 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有 .（写序号即可） 三、解答题 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度． (3)如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 7．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 10．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 11．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3) 如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点． (1)求的值； (2)如图2，点在线段上，过点作轴，直线与直线交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，过点作轴，连接，与交于点，若，，求点的坐标． 13．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点． (1)求直线的函数解析式： (2)是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若的面积为2，求点的坐标． 14．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为，特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在第一象限，若，则_________， ； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为_________； (4) 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一上点，其中为任意实数，求． 16．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 17．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）对于平面直角坐标系内任意一点P过点P作轴于点轴于点N，连结，则称的长度为点P的足心距，记为d．另规定，点P与原点重合时，足心距． (1)点的足心距分别为_____________，_____________，_____________； (2)点P是（1）中轴上方的边上的一个动点，求出点P的足心距的最大值和最小值； (3)已知直线与x轴、y轴分别交A、B两点，且． ①求直线的解析式； ②点T为直线位于第二象限内的一点，对于点T的足心距d每取一个值有且只有一个点T与之对应，求T的横坐标的取值范围． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为、、． (1)求直线的解析式； (2)以为边在x轴上方作矩形，且，若过点A的直线l平分该矩形的面积，求直线l与矩形的边的交点坐标； (3)以为边作，且四边形的一个内角为，一条边长为，若过点A的直线与有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 20．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． (1)点C的坐标是________； (2)D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 21．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. (1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; (2)设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 22．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）“从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 24．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点的“相关点”点B的坐标为． (1)点的“相关点”坐标是____________； (2)若点D的坐标为，点E的坐标为，点的“相关点”Q在线段上，求m的值； (3)点的“相关点”Q，点M的坐标为；连接，如果线段与直线有公共点，直接写出m的取值范围． 25．（23-24八年级下·福建泉州·期末）综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜上发生反射，D为入射点，反射光线与直线相交于点E．若，，． (1)________（填“”“”或“”）； (2)若，求点E的坐标； (3)若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜的高度． 26．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 27．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的的值为时，此时输出的的值为______； (2)当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； (3)若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 29．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3) 若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 30．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． (2)当时，求点P的坐标． (3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围． (4)连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 31．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为________，直线解析式为________，点坐标为________； (2)①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标； (4) 如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 32．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； (2)①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； (3) 如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 33．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，平分， ． (1) ， ．（用数字作答） (2)求直线的函数解析式． (3)点E为直线上一点，在坐标轴上是否存在点F使得以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．    (1)求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． (2)将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． (3)若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 35．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 36．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 37．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)求的长及点A，点B的坐标； (2)求的长度； (3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； (4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 38．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，若为线段上一点，且满足，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 40．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC． (1)分别求点A，B，C的坐标； (2)设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式； (3)以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积． 41．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点C的坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，在x轴上是否存在一点，使以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 42．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． (1)求点的坐标； (2)如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 43．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 45．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 46．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，线段两端点的坐标分别为，． (1)求所在直线的函数解析式． (2)如图，点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒． ①当直线与线段有交点时，求t的取值范围． ②当时，平面内存在一点Q，满足轴，且的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 47．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 48．（23-24八年级下·福建厦门·期末）治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 49．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点C恰好落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段之长为_______； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)若点M是直线与直线的交点，则在x轴上是否存在点N，使以M，B，N， C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、与交于，与直线交于，且． (1)点的坐标为______，______，______，______； (2)点为直线上一动点，其横坐标为轴于点，交直线于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点在第一象限内，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，直接写出的取值范围． 2 / 152 1 / 152 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 一次函数 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】A 【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为， 设，则， ①∵， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不符合题意； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ， ， ， 即， ∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意； ④由图可知，点位于区域III中，此时， ， ， 点N位于区域Ⅱ中，此时， ， ， ∴点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 3．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有 .（写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断． 【详解】解：①、当时，或，故①错误； ②、由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③、将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④、令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 三、解答题 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度． (3)如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据直线，求出、B两个点的坐标，然后根据面积为40求出点C的坐标，最后根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求作直线的解析式，然后求作点F的坐标，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）根据平移设直线的解析式为，求出，，分两种情况：当点P在上时，此时是，当点P在上时，此时是，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得，解得：， ∴，， ∴，， ∵， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 联立， 解得：， ∴点F的坐标为， ∴； （3）解：根据平移设直线的解析式为， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， 当点P在上时，此时是， ∴，， ∴， ∴轴， 把代入得：， ∴， 解得：， ∴； 当点P在上时，此时是， ∴，， 即轴， ∴点N的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴此时点P的坐标为． 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)① ②存在，N的坐标为，或 【分析】（1）由矩形的性质得出， 先证明四边形是矩形，再证明，再由，即可证明四边形 为正方形． （2）①分别求出直线，的解析式，再求出两直线的交点坐标，再求出点H的坐标，再根据计算即可．②设，，而，，利用菱形的性质分三种情况，分别列式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为正方形； （2）①由(1)知，，四边形为正方形， ∴， ∵点F为中点 ∴， 设由，的直线解析式为， 把代入，可得出， ∴解析式为 设，得直线解析式为， 则， 解得：， ∴解析式为， 联立 解得：， ∴， 在中， 另，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设，，而，， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：此时，点A、M重合，舍去，或（此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上：N的坐标为或 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形，萎形，正方形的判定以及性质，一次函数的应用等，坐标与图形，解题的关键是分类讨论思想，方程思想的应用． 6．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 【答案】(1)n、k的值分别为、； (2)①；②或 (3)①；② 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）①由（1）可知，直线：，直线：，设点D的坐标为，得到点P的坐标是，点D，P关于x轴对称，则，解得，即可得到答案；②求出点A的坐标是，点B的坐标是，设点D的坐标为，则，，根据的面积是面积的2倍得到，解得值，即可得到答案； （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则，证明，则，得到，则，即可得到点M的坐标为；②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，根据中点坐标公式求出点的坐标是，求出，当时，即时，，此时满足题意，当时，即时，，此时无解，即可得到答案． 【详解】（1）把点代入得， ， 解得，， 把点代入得，， 解得， 即n、k的值分别为、； （2）①由（1）可知，直线：，直线：， 设点D的坐标为， ∵过点D作轴，交直线于点P， ∴点P的坐标是， ∵点D，P关于x轴对称， ∴ 解得， ∴， ∴点D的坐标为 故答案为： ②当时， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 设点D的坐标为，则 ， ， ∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或 （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为： ②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，    ∵．点E的坐标为，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴，解得， 当时，即时，，此时满足题意， 当时，即时，，此时无解， 综上可知， 故答案为： 7．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①点P的横坐标为或；② 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； （2）解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 【答案】（）； ； （）点在上，；（）见解析． 【分析】（）根据定义求解值即可； 设，根据定义可得方程，求出的值即可求点的坐标； 设，根据定义可得，当且仅当，即时，有最小值，此时， （）当点在上时，设，由定义可得方程，从而求出； （）设矩形边上任意一点为，分别求出点在矩形各边上时，的取值范围，从而确定的值与到原点的距离等于的点的个数的关系即可； 本题考查了坐标与图形，一次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 当且仅当，即时，有最小值， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当点在上时，设， ∴， 解得， ∴； ∵，, ∴， ∴点不能在点右侧， 综上所述：； （3）∵，，，， ，，， 设矩形边上任意一点为， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个． 当时，到原点的距离等于的点有个． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，点C的坐标为 (2) (3)、、 【分析】（1）根据直线的关系，设直线的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线与直线，即可求得点的坐标； （2）求出点P坐标，将四边形周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可； （3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得： 直线的解析式为 联立直线与直线得： ，解得 点C的坐标为； （2）解：设点P， 由得： 解得：， 则点 由题意可知，， 作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接，如下图： 则，，， 由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴ 四边形周长为 ∵定长 ∴四边形周长最小，即最小，也就是最小 得到：P、N、F三点共线时最小， 设直线所在直线的解析式为 将、代入得 ，解得 ，令， 解得，即 ∴； （3）解：，绕O点顺时针旋转得到， 过点作于点，如下图： 则， ∴ ∴， G点坐标为， 设直线的解析式为：， 则解得：， 直线的解析式为：， ∴，， 以为邻边时，则，如下图： 又∵，F是直线上的一个动点 ∴点E为直线上，即点E与点D重合， 点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F坐标为； 以为邻边时，如下图： 由上述可得，点E为直线上，即点E与点D重合， 点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F坐标为 以为对角线时，则的中点， 设， 由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称， 则，解得 点F的坐标为； 综上所述、点F的坐标为、、． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或； 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； （3）①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上的三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 11．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点． 12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点． (1)求的值； (2)如图2，点在线段上，过点作轴，直线与直线交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，过点作轴，连接，与交于点，若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，令，求出，将代入即可求解； （2）根据（1）可得直线的解析式为，求出，则，表示出，根据即可求解； （3）如图，作， 交 得延长线于点轴于点N，证明，求出， 求出的解析式，得出，作轴， 则，根据， 列等式求出， 得到， 即，解析式，在 y 轴负半轴上截取， 连接 交 x 轴于点 Q，则，证明， 得到， ，求出解析式， 解析式，联立， 即可求解； 【详解】（1）解：在中，令，则， 故， 将代入得； （2）解：根据（1）可得直线的解析式为， 令，则， 故， 则， 故， 则； （3）解：如图，作， 交 得延长线于点轴于点N， ， ， ∴， ∵， ， ， ∵，， ∴， 设的解析式为， 则，解得：， 得 解析式：， 则， 作轴， 则， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， 即， 设解析式为， 则，解得：， 则解析式， 在 y 轴负半轴上截取， 连接 交 x 轴于点 Q，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， 则，解得：， 故解析式为， 设 解析式， 代入得， 故 解析式， 联立， 解得， ． 【点睛】该题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数交点问题，一次函数几何综合等知识点，解题的关键是数形结合以及正确作出辅助线． 13．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点． (1)求直线的函数解析式： (2)是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)或 【分析】（1）当时，，即；当时，，即，则，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）如图，连接，当时，，直线的函数解析式为，联立，计算求解，进而可得； （3）设，则，，由，计算求解，进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：如图，连接， 当时，， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得，， ∴； 综上所述，存在，； （3）解：设，则， ∴， ∴， 解得，或， ∴或； ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数解析式，轴对称的性质，平行线的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，一次函数解析式，轴对称的性质，平行线的判定，坐标与图形是解题的关键． 14．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 15．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为，特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在第一象限，若，则_________， ； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为_________； (3)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一上点，其中为任意实数，求． 【答案】(1)3，2 (2)①或；② (3) 【分析】（1）根据材料提示的点到图形的距离的计算方法即可求解；过作于，根据等边三角形的性质可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解，由此即可求解； （2）①图象经过点或点时，图象与只有一个交点，符合， 将代入，将代入，图象与有两个交点，满足，由此即可求解；②设图象与轴交于，与轴交于，作于点，可得，根据，可求出，，由此可得，，由含角的直角三角形的性质可得， 将代入，即可求解； （3）令，可得与的关系式为：，且图象与轴的交点为，设直线与轴交于点，与轴交于点，过作于，根据勾股定理可得，根据等面积法求高可得，由此可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：过作于，如图： ∵， ∴， 由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3，2； （2）解：一次函数，当时，，即一次函数恒过点， ①图象经过点或点时，图象与只有一个交点，符合， 当图象经过点时，将代入，得， 解得， 当图象经过点时，将代入，得， 解得， 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图象与有两个交点，满足， ∴的取值范围为或； ②如图，设图象与轴交于，与轴交于，作于点， ∵中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得； 故答案为：； （3）解：令，则， ∴与的关系式为：， 令时，；令时，； ∴与轴的交点为， 已知在直线上，如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中一次函数图象与几何图形的综合运用，理解平面直角坐标中图形“距离”的计算方法，掌握待定系数法求一次函数解析式，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等面积法求高，一次函数图象与几何图形位置关系的综合知识的运用是解题的关键． 16．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为： (2)的面积是12；点的坐标为 (3)或或或或 【分析】（1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知：，可得的横坐标为：，因为点是第二象限一次函数的图象上一点，可得的坐标； （2）根据可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反之，可知：D是的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得点的坐标； （3）分为三种情况分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是第二象限一次函数的图象上一点， ∴的横坐标为：， 则， ∴点的坐标为：； （2）解：如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， ∵点的坐标为， ， ， ∵点是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半， ∴点是的中点， ∴点的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得： 则； 综上，或或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用分类讨论的思想，与方程相结合，是解决问题的关键． 17．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）对于平面直角坐标系内任意一点P过点P作轴于点轴于点N，连结，则称的长度为点P的足心距，记为d．另规定，点P与原点重合时，足心距． (1)点的足心距分别为_____________，_____________，_____________； (2)点P是（1）中轴上方的边上的一个动点，求出点P的足心距的最大值和最小值； (3)已知直线与x轴、y轴分别交A、B两点，且． ①求直线的解析式； ②点T为直线位于第二象限内的一点，对于点T的足心距d每取一个值有且只有一个点T与之对应，求T的横坐标的取值范围． 【答案】(1)2，， (2)最大值为，最小值为 (3)①；②或 【分析】（1）设，可得四边形是矩形，连接，得到，则点P的足心距即为点P到原点的距离，即，将所求各点的坐标代入即可求解； （2）采用待定系数法求出直线的解析式，从而得到直线与x轴的交点D的坐标，进而比较，得到点P的足心距的最大值．过点O作于点E，则当点P与点E重合时，点P的足心距最小，即为的长，利用的面积求出的长，得到点P的足心距的最小值． （3）①求出直线与y轴的交点B的坐标，得到的长，结合含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，即得到点A的坐标，代入函数中，即可解答； ②过点O作于点M，在线段上取点N，使得，连接，则与关于对称，要使足心距d每取一个值有且只有一个点T与之对应，则点T位于点M，或在线段上．过点M作轴于点C，过点N作轴于点D，求出，的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图，对于点， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， 连接， ∴， ∴点P的足心距即为点P到原点的距离，即足心距， ∴点的足心距， 点的足心距， 点的足心距． 故答案为：2，， （2）解：如图， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与x轴的交点D的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴点P的足心距的最大值为． 过点O作于点E，则当点P与点E重合时，点P的足心距最小，即为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P足心距的最小值为． （3）解：①对于函数，当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴ ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； ②过点O作于点M，在线段上取点N，使得，连接， 则与关于对称， ∴当点T在上时，在上也有一个关于的对称点，取得相同的点d， ∴要使足心距d每取一个值有且只有一个点T与之对应，则点T位于点M，或在线段上． 过点M作轴于点C，过点N作轴于点D， ∵，， ∴是等边三角形， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴符合要求的T的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，两点间的距离公式，待定系数法，等边三角形的判定及性质，勾股定理，垂线段最短等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为、、． (1)求直线的解析式； (2)以为边在x轴上方作矩形，且，若过点A的直线l平分该矩形的面积，求直线l与矩形的边的交点坐标； (3)以为边作，且四边形的一个内角为，一条边长为，若过点A的直线与有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）由待定系数法设直线的解析式为，将、的坐标代入即可求解； （2）由矩形的性质得直线平分矩形的面积，直线经过点对角形的交点，由待定系数法可求直线的解析式，即可求解； （3）①当平行四边形在轴上方，时，由待定系数法同理可求直线的解析式为，直线的解析式为，结合图象即可求解； ②当平行四边形在轴上方，时，同理可求；③当平行四边形在轴下方，时，同理可求；④当平行四边形在轴下方，时，同理可求． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接与交于，直线l与矩形的边的分别交点为、， 、， ，， ， 直线平分矩形的面积， 直线经过点， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 设直线的解析式为，则有 ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， 直线l与矩形的边的交点坐标为，； （3）解：①当平行四边形在轴上方，时，如图，过作轴， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． ， 由待定系数法同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 过点A的直线与有两个交点， 或； ②当平行四边形在轴上方，时， 同理可求：，直线的解析式为， 或； ③当平行四边形在轴下方，时， 同理可求：，直线的解析式为， 或； ④当平行四边形在轴下方，时， 同理可求：，直线的解析式为， 或； 综上所述：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，掌握相关的性质，能根据不同角取进行分类讨论是解题的关键． 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 20．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． (1)点C的坐标是________； (2)D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点，易得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可得到答案； （2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后证明，再求出和即可； ②连接，，证明，推出，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， ∵直线：交轴于点，交轴于点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 由（1）可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ∵轴，，轴， ∴， ∵， ∴， 在和和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图，连接，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①可知，在中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， 由①得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 21．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. (1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; (2)设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)函数是函数的“友好函数”，理由见解析 (2)①;②, 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质,弄懂“友好函数”的定义是解题的关键. (1)根据定义进行判断即可; (2)①求出点的坐标为,再求出函数的“友好函数”,根据点在函数的“友好函数”图象的上方得到,整理后根据即可得到p的取值范围;②将点的坐标代入“友好函数”得到由得到将代入“友好函数”得到,把代入得到 解得,进一步即可求出定点Q的坐标. 【详解】（1）解：是函数的“友好函数”, 理由:由函数的“友好函数”为: 把代入上式, 得, 函数是函数的“友好函数”; （2）解:①解方程组 得, 函数与的图象相交于点, 点的坐标为 的“友好函数”为 点在函数的“友好函数”图象的上方, 整理得, 的取值范围为; ②存在,理由如下: 函数的“友好函数”图象经过点. 将点的坐标代入“友好函数”,得 将代入, 把代入, 得 解得: 当,则 , 对于不等于2的任意实数,存在“友好函数”图象与轴交点的位置不变. 22．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型探究：证明见解析；迁移应用：（），；（）；拓展延伸：存在，点的坐标为或或． 【分析】模型探究：利用余角性质可得，再由即可证明； 迁移应用：（）分别把和代入函数解析式计算即可求解；（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，由旋转可得，可得为等腰直角三角形，得到，同理可得，进而得到，再利用待定系数法即可求解； 拓展延伸：由函数解析式可得，，再根据题意画出图形，分三种情况解答即可求解； 【详解】解：模型探究：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移应用：（）把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （）过点作，交直线于点，过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理模型探究可得， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为， 故答案为：； 拓展延伸：存在． 对于，当，；当，， ∴，， ①当为正方形的一边时，如图，分别过作轴于，轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴, ∴， 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点的坐标就是①中点的坐标，点为①中的点，即点的坐标为 ③当为正方形的对角线时，如图，过点作轴垂线，垂足为点，过作于点，则， 同理可证， ∴，， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）“从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）图形见解析，；（3）OF的最小值． 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，添加辅助线是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形的性质，证明，即可解答；②根据全等三角形的性质及三角形内角和定理，即可解答； （2）根据勾股定理求出，，，进而求出，即可解答； （3）、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、，证明，根据勾股定理求出的坐标，进而求出直线的解析式，得到直线与轴的交点，求得，即可解答． 【详解】（1）证明：①∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ②由①，， ， ， （2）画图见下， 在中，由勾股定理得， 同理可得，， 在和中，分别由勾股定理得， ， 解得，， ， （3）解：如图，、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、， ，， ∴ ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，带入其中， ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为， ，为点到直线的最小距离， 点为直线上的动点， 的最小值． 24．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点的“相关点”点B的坐标为． (1)点的“相关点”坐标是____________； (2)若点D的坐标为，点E的坐标为，点的“相关点”Q在线段上，求m的值； (3)点的“相关点”Q，点M的坐标为；连接，如果线段与直线有公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）直接根据“相关点”的定义可求得答案； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，代入点的坐标，即可求得的值； （3）把、点的坐标分别代入，求得的值，结合图象即可求解 【详解】（1）点的“相关点”坐标是，即． 故答案为：； （2）设直线为， 点的坐标为，点的坐标为， ，解得， 直线为， 点的“相关点” 在线段上， 直线为上， ， ； （3）点的“相关点” ， 把点代入得，，解得， 把点代入得，，解得， 如果线段与直线有公共点，的取值范围是或． 25．（23-24八年级下·福建泉州·期末）综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜上发生反射，D为入射点，反射光线与直线相交于点E．若，，． (1)________（填“”“”或“”）； (2)若，求点E的坐标； (3)若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜的高度． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）由题意可知，反射角等于入射角，即可求解； （2）延长交轴于点，过点作直线于点，直线与轴交于点，证明四边形是矩形，得到，，根据图形与坐标，得到，，证明和是等腰直角三角形，得到，，即可得出点E的坐标； （3）当点与点重合时，得出，利用待定系数法，得到直线的解析式为，进而求得；当点与点重合时，同理得出，再根据点E移动的路径长，求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：反射角等于入射角， ， 故答案为：； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作直线于点，直线与轴交于点， ，， 轴，即轴， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 点E的坐标为； （3）解：如图，作直线，当点与点重合时，令反射光线与直线交于点，过点作直线于点， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点E的坐标为， 当点与点重合时，令反射光线与直线交于点， 同理可得，，直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 点E移动的路径长为12， ， ， 平面镜的高度为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的实际应用，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 26．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或或． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可. （2）过点P作于点H，设点，然后根据三角形的面积公式，进一步即可得出t的取值 （３）设，，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：∵直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴，，， 三角形的面积； （2）过点P作于点H，如图1， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， ∵， ∴， ∵点P在线段DF上，且不包括端点， ∴． （3）设，，且，， ①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作轴交y轴于点G，过点N作于点H， 则，，，，， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作轴交y轴于点G，交BC于点H， 则，，，， ， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或， 解得：或， ∴或； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想是解题关键. 27．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，4 (2)6 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点分别代入一次函数，，即可求得答案； （2）首先确定点的坐标，然后由求解即可； （3）分三种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作轴于，即可得出结论；②当点为直角顶点时，轴上不存在点；③当点为直角顶点时，过点作交轴于点，设，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得，解得， 将点代入一次函数， 可得，解得． 故答案为：1，4； （2）结合（1）可知，一次函数，一次函数， 对于一次函数， 令，可得， ∴， 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）对于一次函数， 令，可得，解得， ∴， 如图， ①当点为直角顶点时，过点作轴于， ∵， ∴； ②当点为直角顶点时，轴上不存在点； ③当点为直角顶点时，过点作交轴于点， 设， ∵，， ∴，． ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 综合上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并利用数形结合的思想分析问题． 28．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的的值为时，此时输出的的值为______； (2)当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； (3)若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0； (2)，； (3)存在，． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）因为，所以将其代入，即可解得的值； （2）当时观察表格可得答案，当时解不等式即可； （3）先求出时，与的关系式，然后分，且，时三种情况进行讨论，分析的取值范围． 【详解】（1）， 将代入，得：， 故答案为：0； （2）观察表格得，当时，当输出的的值满足时，； 当时，，当输出的的值满足时，得 ， 故答案为：或 ； （3），， 将，代入，得： 解得：，， ， 当时，和在上， 此时，随的增大而减小，，所以恒成立， 当，时，在上，在上， 所以当恒成立时， 即， 解得：， 又， ； 当时，和在上， 此时，随的增大而增大，，所以． 综上所述，当时，恒成立． 29．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 30．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． (2)当时，求点P的坐标． (3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围． (4)连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3) (4)或 【分析】（1）根据，得到当时，；当时，，即可得到与坐标轴的交点坐标； （2）时，得到方程，解到，再求出对应y值即得； （3）求出点P在点和时的m值，即得； （4）求出，根据，，，即可求得m值． 【详解】（1）在中， 当时，；当时，，； ∴，； 故答案为：，， （2）当时， 有，， 解得，， ∴， ∴点P的坐标为； （3）当P点在时，代入，得； 当P点在时，代入，得； ∴当P点在第四象限时； （4）或． 理由： 当时，，解得，∴， ∴． ∵，，， ∴ ， 得； 或， 得． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，三角形的面积公式，分类讨论，是解题的关键． 31．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为________，直线解析式为________，点坐标为________； (2)①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标； (3)如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①  ②，或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）①先求出点B的坐标，然后作点B关于y轴的对称点，则直线与y轴的交点即为点Q的坐标； ②设点N的坐标为，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标解题即可； （3）分为和两种情况画图，解题即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 把代入得， ∴点C的坐标为， 在把代入得，解得， ∴直线解析式为； 故答案为：，，； （2）①令，则，解得， ∴点B的坐标为， 作点B关于y轴的对称点，则的坐标为， ∴的周长最短时，点在直线上， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为； ②设点N的坐标为， 当四边形BCMN是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形BCNM是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形BNCM是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为，或； （3）解：由题可得， 当时，如图， 则， ∴， 当y=0时，，解得， ∴点A的坐标为， 过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 当时，如图， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 32．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； (2)①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； (3)如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，， (2)①图见解析，Q（0，）②点N坐标为或或 (3)点E坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得值，进而得到点，再将点代入即可求得值； （2）①作点B关于轴的对称点，连接与轴交于点，由两点之间线段最短，可知此时的周长最短，再设直线解析式为，利用待定系数法求出直线解析式，即可得到点Q的坐标； ②根据平行四边形性质作出草图，再利用线段平移规律直接写出点N坐标，即可解题； （3）根据为直角三角形分以下两种情况讨论，当时，当时，根据这两种情况画出草图，结合轴对称性质，以及勾股定理，坐标与图形，即可求解出点E的坐标． 【详解】（1）解：经过定点， 可得：， 解得：， 直线解析式为：， 直线与交于点， 可得：， ，将其代入可得： ，解得：， 直线解析式为：， 故答案为：，，； （2）解：①如图1-1，点Q即为所求； 把代入直线得，，解得， ， 与B关于y轴对称， ， ， 设直线直线解析式为， 解得， 直线解析式为， 令，则， 点Q坐标为； ②如图1-2（利用线段平移规律直接写出）， 向左平移个单位，向上平移个单位得到， 向左平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 向右平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向左平移个单位，向下平移个单位得到， 向左平移个单位，向下平移个单位得到点坐标为， 点N坐标为或或； （3）解：情况1：如图2-1， 当时， ， ， 由折叠可得，， ， ， 过M作轴于G， ， ，， ，，， ， ，， ， 点E在第四象限， 情况2：如图2-2 ，              当时， 在中， ， 由折叠可得， ， ， 点E在第三象限， ． 综上，点E坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点情况，将军饮马模型求的周长最短（轴对称性质），两点之间线段最短，平行四边形性质，平移的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 33．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，平分， ． (1) ， ．（用数字作答） (2)求直线的函数解析式． (3)点E为直线上一点，在坐标轴上是否存在点F使得以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3,6 (2)直线的函数解析式为； (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求出，然后证明，即可求出； （2）过点D作轴，根据题意证明四边形是矩形，设，则在中，根据勾股定理求解即可； （3）分情况讨论：当点F在x轴上时；当点F在y轴上时，根据平行四边形的性质求解．即可 【详解】（1）∵、， ∴ ∵，平分， ∴， ∴ ∴； （2）过点D作轴，如图， ∵平分， ． ∴ 由（1）得： ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 由（1）得： 设，则 在中， ∴，解得： ∴ 设直线的函数解析式为 把代入得： ∴直线的函数解析式为； （3）如图1，当点F在x轴上时： 由（2）得：直线的函数解析式为； 设 ∴，解得：， ∴ ∴ 当点F在x轴的正半轴上时， 四边形为平行四边形， 由（1）得： 设直线的函数解析式为，∴，解得： ∴直线的函数解析式为 当时， ∴； 当点F在x轴负半轴上时， 满足条件的平行四边形有两个，即平行四边形和平行四边形，其中点坐标①中已求 四边形为平行四边形，有 ∴点到x轴的离与点A到x轴的距离相等，即的纵坐标为， ∴； 当点F在y轴上时 当点F在y轴的负半轴上时 四边形为平行四边形，直线的函数解析式为 又因为点A的横坐标与点的横坐标相同， ∴； 当点F在y轴的正半轴上时， 满足条件的平行四边形有两个，即平行四边形和平行四边形，其中点坐标③中已求, 又因为四边形为平行四边形，此时点在第三象限且到坐标轴的距离与点到坐标轴的距离对应相等 ∴ 综上：点E的坐标为或或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 34．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．    (1)求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． (2)将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． (3)若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，画图间解析 (2)或1 (3) 【分析】（1）先用待定系数法求得函数解析式，然后再描点画出图像即可； （2）先根据平移确定平移后的解析式，然后再确定A、B两点坐标，然后再分三种情况分别根据中心对称的特点解答即可； （3）先求出时m的临界值，再求出直线与图象平行时m的临界值，然后再结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当 时，， ∴，解得， ∴，即； 画出图象如图所示：    （2）解：∵， ∴直线， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线：， ∵图象，直线 分别与x轴交于点A，B， ∴， ∵三个点中的两个点关于另一个点中心对称， ∴①当点关于点B中心对称时，则，解得：； ②当点关于点A中心对称时，则，解得：； ③当点关于点O中心对称时， ∵，解得不合题意舍去， ∴此种情况不存在． 综上，a的值为或1． （3）解：当时，对于x的每一个值都有， ∴当时，令，有，即， 解得； 当直线与图象平行时，则，此时直线在图象的下方， 综上所述，在时，对于x的每一个值都有，m 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、画函数图形、函数图像的平移、中心对称、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 35．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)， 【分析】（1）根据，得到直线过定点，即可； （2）先求出点的坐标、正方形的边长，过点作，证明，推出为等腰直角三角形，得到当点与点重合时，满足题意，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可； （3）取点，连接，易得为的中点，得到，进而得到最大时，最大，根据，得到三点共线时，有最大值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， ∴； （2）存在： 当时，直线为：， 当时，， ∴， ∵正方形的边在轴上，点是的中点，， ∴，， ∴， 过点作，则：，， ∵过点C作，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点在直线上，且是等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，满足题意， 此时：； 当点在点上方时，则：时，满足题意， 即点为的中点， ∴， 综上：或； （3）取点，连接， 则：， ∴为的中点，， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图： ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为：； 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 36．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将点代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图象与矩形的性质，通过计算函数图象分别过点和过点时的值，即可确定图象与矩形有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 故答案为：4； （2）根据题意，设函数的“分移函数”为， 将点代入， 得①， 将点代入， 得②， 得， ∴； （3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当时，函数图象与矩形没有交点， 当时，当函数图象经过点B时，此时函数图象与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图象经过点D时，此时函数图象与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图象与矩形有两个交点时，k的取值范围是． 37．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)求的长及点A，点B的坐标； (2)求的长度； (3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； (4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案； （3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解； （4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 令，则， ∴； 由勾股定理得，， ∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处， ∴，， ∴； （2）解：∵，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴； （3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接， ∵为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 点； 如图，当为直角边时， 同理可得：点； 综上，或； （4）解：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，， 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用． 38．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，若为线段上一点，且满足，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法则求解即可； （2）首先确定点的坐标，结合，，易得，可解得，进而确定点的坐标即可； （3）设点的坐标为，点的坐标为，结合，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形，易知对角线可以为，，然后分两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴点， 将点与点的坐标代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）∵直线与轴交于点， 即当时，， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵为线段上一点， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）存在，点的坐标为或． ∵为直线上一点，为轴上一点， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形， ∴对角线可以为，， 分两种情况： ①当是对角线时，如下图，    由平行四边形的性质可知，的中点与的中点重合， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； ②当是对角线时，如下图，    由平行四边形的性质可知，的中点与的中点重合， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、坐标与图形、平行四边形的性质、一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 40．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC． (1)分别求点A，B，C的坐标； (2)设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式； (3)以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求当时，当时，即可求解； （2）①当时，由三角形面积分别求出 ，，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，即可求解； ②当时，同理可求解； （3）作轴交于，由三角形中位线定理得，，可得，取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得， ，由即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 当时，， 解得：， ，， 对于直线 ， 当时，， 解得：， ， 故，，； （2）解：， ， ①当时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； ②当时， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述：直线的函数表达式为或； （3）解：如图，作轴交于， 由（1）得 ， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 取最小值时，取得最小值， 当时，取最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等；掌握相关的判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论，利用垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 41．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点C的坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，在x轴上是否存在一点，使以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是一次函数中简单的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，平行四边形的性质； （1）设的解析式为，把代入计算即可； （2）分类讨论，画出图形，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）设的解析式为， 把代入得： 解得， 直线的解析式． （2）存在 如图1，当四边形为平行四边形， 且， ， 把代入得， 点， ∴ 点． 如图2，同理可得， 如图3，当四边形是平行四边形，作轴，， 轴垂足分别为，则， 由四边形是平行四边形可得，， ∴ ∴， ， 把代入得， ， ∴， ， 点， 综上所述，满足条件的点有3个，即． 42．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． (1)求点的坐标； (2)如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①是，；②或 【分析】（1）先求出，得到，，再由正方形的性质可得，解之即可得到答案； （2）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：①过点作轴，如下图：    由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时；    综上，点坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 43．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的表达式； （2）结合图形，当直线平移到过、时与矩形有一个公共点，则可求得的取值范围； （3）由题意可知直线过，结合图象可知当直线过点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ，， 设直线表达式为， ，解得， 直线表达式为； （2）解：直线可以看到是由直线平移得到， 当直线过、时，直线与矩形有一个公共点，如图1，    当过点时，代入可得，解得， 当过点时，可得， 直线与矩形有公共点时，的取值范围为； （3）解：， 直线过，且， 如图2，直线绕点旋转，当直线过点时，与矩形有一个公共点，逆时针旋转到与轴重合时与矩形有公共点，    当过点时，代入可得，解得， 直线与矩形没有公共点时的取值范围为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）过点作于点，根据题意易得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，设所在直线的解析式为，利用待定系数法，求解直线的表达式即可； （2）过点作于点，作，交于点，交轴于点，由题意得，，，，证明为等腰三角形，可得，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在边上时，解得，进而可得，即可确定点坐标；当点在的延长线上时，同理可得，进而确定，的值，即可确定点坐标． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， ∵，且过点作轴于点，作轴于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：过点作于点，作，交于点，交轴于点， 由题意得，四边形为正方形，为矩形， ∵，， ∴，，， 根据正方形的对称性，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）当点在边上时，如下图， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即， ∴， 则， 则点； 当点在的延长线上时，如下图， 同理可得：， ∴在中，， ∴， ∴， 则． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 45．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 46．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，线段两端点的坐标分别为，． (1)求所在直线的函数解析式． (2)如图，点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒． ①当直线与线段有交点时，求t的取值范围． ②当时，平面内存在一点Q，满足轴，且的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)所在直线的函数解析式为 (2)①；② 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，动点等问题，解题的关键是用含t的代数式表示相关点的坐标． （1）用待定系数法求出函数关系式即可； （2）①先求出所在直线的函数解析式为，令，则．解得，可得，将点代入，得，解得，可得．令，则，解得，可得，最后确定t的范围即可； ②作点C关于的对称点．连接，由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q．求出直线的函数解析式为，将代入上式，得，从而可得答案． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为． 将点，代入上式，得， 解得． 所在直线的函数解析式为； （2）解：①设所在直线的函数解析式为． 将点代入上式，得，解得， ． 令，则．解得， ； 将点代入，得，解得， ． 令，则，解得， ， ． ②． 当时，，则点． 轴点Q的横坐标为，即点Q在直线上． 如图，作点C关于的对称点．连接． 由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q． 设直线的函数解析式为． 将点，代入， 得，解得， 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点． 47．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， (4)Q的坐标是或 【分析】（1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，先证明矩形是正方形，即有，再根据，即可作答； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （4）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，如图， ∵点P在平分线上， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴平分，轴，轴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）设， ， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为： 或； （4）当四边形是菱形时，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵P的纵坐标是3，把代入， 得， 解得：， 则P的坐标是， ∴Q的坐标是； 当四边形是菱形时，如图 ∵四边形是菱形， ∴，， 设P的横坐标是n，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）， 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是， ∴Q的坐标是， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 48．（23-24八年级下·福建厦门·期末）治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 【答案】(1) (2)不可能超过6小时，理由见解析 【分析】本题是一次函数与一元一次不等式的综合应用，理解题意，求出函数关系式是解题的关键． （1）由图象知，两个变量的关系是一次函数关系，在图象上找两点，用待定系数法即可求解； （2）设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设可求得其解析式；分两种情况：①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时，求得产生较好疗效的时长； ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时，求得产生较好疗效的时长；综合两种情况，产生较好疗效的时长与6小时比较，则可判断． 【详解】（1）解： 设服药的时间为x，血液中乙药品的浓度为y，由函数图象可知该变化关系是一次函数，故设血液中乙药品浓度服药时间变化的函数关系式为， 将代入中，得：， 解得； 所以服用乙药品后血液中的乙药品浓度随服药时间变化函数关系式为：； （2）解：在（1）的条件下，设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设， 当时，，当时，， 则，解得， 所以． ①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时， 则注射甲药品后，立即产生较好疗效，产生较好疗效的时刻为． 因为在上，， 所以，即，在上恒成立， 解得， 因， 所以，解得 ． 当时，令，即， 解得，即结束有较好疗效的时刻是． 所以当，， 所以此时血液中同时存在两种药品， 所以产生较好疗效的时长， 因为t随a的增大而减小， 所以当时，t取得最大值． ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时， 令，即， 解得， 即起较好疗效的时刻是． 因为， 所以． 当时，由①知，，即结束有较好疗效的时刻是． 所以产生较好疗效的时长． 因为血液中需要同时存在两种药品， 所以当，，则， 解得， 所以． 因为， 所以t随a的增大而减小， 所以当时，t有最大值． 所以在上，． 综合①②， 因为，， 所以产生较好疗效的时长不可能超过6小时． 49．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点C恰好落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段之长为_______； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)若点M是直线与直线的交点，则在x轴上是否存在点N，使以M，B，N， C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及线段，的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）先求出的解析式，从而可求得点M坐标，进而利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，轴，轴， 的坐标为，的坐标为， 点的坐标为， ∴． （2）解：设，则， 由折叠得：，，， ∴， ， ， ，即， ， ， 点的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线所对应的函数表达式为； （3）解：过作于， 由（2）可知：，，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式得， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， ∴， 当以、B、、为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以或， ∴存在，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质，三角形面积，点的坐标；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 50．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、与交于，与直线交于，且． (1)点的坐标为______，______，______，______； (2)点为直线上一动点，其横坐标为轴于点，交直线于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点在第一象限内，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)或 (3) 【分析】（1）作于，利用等腰三角形的性质得到，则，然后根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）设点的横坐标为，表示出，，，再根据，列出绝对值方程，解之即可； （3）首先求出过点的直线为，设直线 与轴交于点，与直线于点，分别表示出点和点的坐标，表示出，，再根据已知取临界情况，得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形和四边形的面积，列方程求解，结合图形即可得出的范围． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ，，， ， ， 点； 把代入中，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ； 故答案为：，，，； （2）点的横坐标为，分别代入，中，得，， ，，， ， ， 当时， 解得， ， 当时， 解得， ， 综上，点的坐标为或； （3）∵点在第一象限内， ∴由（2）可得：，，， 在 中，令，则， ， 直线过点， ，即， ， 如图，设直线 与轴交于点，与直线交于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， 过点的直线将四边形分为两部分，且， 四边形的面积为四边形的或， ，， 或， 解得或， 的范围是． 【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，属于中考常考题型． 2 / 152 1 / 152 学科网（北京）股份有限公司 $$