第18章 平行四边形 期末压轴题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第18章 平行四边形 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，且，与之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （    ） A． B． C．11 D．12 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，连接，作于点F，连接，若，，则点O到的距离为（   ） A． B． C．2 D． 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，点分别是的中点，交于，连接．下列结论：；；；．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为 ． 13．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在中，，，射线是的角平分线，交于点，过点向射线作垂线，垂足为点，作边上的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点，连接，若长为，则的长为 ． 14．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 17．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 18．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，、、三点共线． 19．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为 ．    20．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． 21．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    三、解答题 22．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 23．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3） 如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 24．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ， 【初步感知】 （）请你补全以上证明过程； （）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与 交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______； 【深入探究】 （）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形 的面积； 【拓展应用】 （）如图④，请写出线段 与之间的数量关系，并说明理由． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，已知四边形的面积为15，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 28．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使． (1)当点在线段上时： ①判断与有怎样的数量关系，并说明理由； ②求证：； (2) 若点是线段的三解分点，，求的长． 29．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 30．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）（1）在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程． （2）如图2，已知正方形，是正方形的内接等边三角形，请你找出之间的数量关系，并说明理由． 31．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 32．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 33．（23-24八年级下·吉林长春·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用. 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形现阶段研究的四边形均为凸四边形，即平行四边形和“筝形”.查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”. 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ①______； ②______； （2）证明“筝形”有关对角线的性质补全结论，并写出完整的证明过程 已知：如图1，在“筝形”中，，，对角线和交于点 求证：______； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有______将所有正确的序号填在横线上 ①且；②；③且；④ 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 34．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 35．（23-24八年级下·云南昆明·期末）【发现结论】 （1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选） ①；②；③ 【类比迁移】 （2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接． ①（1）中结论依然成立的是______（填序号） ②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外） 【类比迁移】 （3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由． 36．（23-24八年级下·河南安阳·期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图，在四边形中，，判断四边形是否为“垂美四边形”并说明理由； (2)[性质探究] 如图，试在“垂美四边形”中探究之间的数量关系； (3)[解决问题] 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交于点M，N，若，求的长． 37．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 38．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，四边形对角线交于点O，连接， ①探究之间的等量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 40．（23-24八年级下·山东淄博·期末）在四边形中，对角线、相交于点，过点的两条直线分别交边、、、于点、、、． 【感知】如图1，若四边形是正方形，且，求证：； 【拓展】如图2，若四边形是矩形，且，设，，，求的长（用含、、的代数式表示）； 【探究】如图3，若四边形是平行四边形，且，，，试确定、、的位置，使直线、把四边形的面积四等分． 41．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点．以为边作菱形．点在线段上，设点的运动时间为．菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，则的长为______．（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (4)直接写出当点到直线的距离和点与点之间的距离相等时的值． 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (3) 若，，求的长． 43．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为，为中点，动点从点出发以个单位每秒的速度沿运动，返回到点时运动停止，连结，设的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长度； (2)从向运动时，，求的值； (3)当的面积为时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 44．（23-24八年级下·山东日照·期末）【经典回顾】 （1）人教版八年级教科书69页有这样一道题：如图①，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．取的中点，连接，则可证明，请你按照此思路，写出证明过程； 【方法提炼】 （2）如图②，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：； 【拓展思考】 （4） 如图③，在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为，若正方形边长为3，当长为多少时，四边形是平行四边形，并给予证明． 45．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 46．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 47．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：正方形中，点，分别在上，连接，交于点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，连接，若，的面积为8，求线段的长． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． (1)探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； (2)如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： (3)如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 49．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图①，点P为菱形的对角线上一点，连接，，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，， ，，点E，F分别在线段，上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图③，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，点G为矩形内一点．根据需求，要将区域规划为休闲垂钓区，四边形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，计划沿，修建两条休闲通道，为了让空间更加和谐、美观，需使四边形为菱形，且，，经测量米，米，请你帮助王大爷计算“民宿”区域（菱形）的面积 50．（23-24八年级下·辽宁·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 2 / 121 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【详解】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，且，与之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关定理证得是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过作轴于，轴于，与交于点，可得四边形是矩形，进而由可得四边形是正方形，得到，，进而得到，即可证明，得到，即可判断①；由直角三角形的性质可得，可得四边形是矩形，进而由得到四边形是正方形，即可判断②；由四边形的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积正方形的面积，即可判断③；由与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，得到，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于，轴于，与交于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，故①正确； ∵与的交点恰好是的中点， ∴， 在中，是斜边的中线， ∴， 在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故②正确； ∵， ∴四边形的面积四边形的面积的面积 四边形的面积的面积， 正方形的面积， ， ， ∴四边形的面积为定值，故③正确； ∵与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形， ∴，故④错误； ∴正确的结论有①②③， 故选：． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明得到，可得，于是可对①进行判断；设、相交于点，如图，利用得到，则，接着判断垂直平分，平分，于是利用角平分线的性质定理得到，，则可对②③④进行判断；证明，可得，然后利用勾股定理求出长，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵, ∴，故①正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故②正确； 设与交于点， ∵，， ∴， 同理可得， ∴的周长是，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴点A到的距离是，故⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤，共个， 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明垂直平分． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【详解】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可． 【详解】解：菱形， ∴， 连接， 当P为中点时，则：， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ，， ∴， ∴；故②正确； ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； 连接，过点作，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的最大值为；故⑤错误； 故选B． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （    ） A． B． C．11 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质等知识，过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则，由角平分线性质得到，证明，则，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，再证明，则，由勾股定理得到，则，勾股定理求出，则，由勾股定理求出，即可得到. 【详解】解：过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则， ∵， 平分 ， ∴， ∴， ∵点恰为中点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，连接，作于点F，连接，若，，则点O到的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明和熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．取的中点H，连接，设与相交于点G，过点O作于点M，由勾股定理求出，由正方形的性质得到，，由勾股定理求出，则，由三角形中位线定理得到，证明，则，，得到，根据即可求出答案． 【详解】解：取的中点H，连接，设与相交于点G，过点O作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∵的中点H，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点O到的距离为， 故选：B 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，点分别是的中点，交于，连接．下列结论：；；；．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，连接，由四边形是正方形与点分别是的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 在中，是边的中点，，故错误； 连接，与交于点， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，故正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确，共个正确， 故选：． 二、填空题 10．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过作交于，连结、，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当时，取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，垂足为点，由菱形的性质可得，，即得，可得，即可得，进而可得，，即可判断①；证明可得，可得，即可判断②；由全等三角形的性质得，可得，即可判断③；由全等三角形的性质可得为等边三角形，当为的中点时，可得，此时最小，则最小， 进而可得最大，由的周长，可得此时的周长最小，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：①过点作，垂足为点，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故①正确； ②连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 当为的中点时， ∵， ∴，此时最小，则最小， 由③知定值，可得最大， ∵，最小， ∴最小， ∵的周长， ∴此时的周长最小，故④不正确； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，，再根据图形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点D在上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点D在延长线上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， 同理可得， ∴ ； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 13．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在中，，，射线是的角平分线，交于点，过点向射线作垂线，垂足为点，作边上的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点，连接，若长为，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长，交的延长线于点，根据直角三角形两锐角互余得，根据垂直平分线的定义得，，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得，，进一步得到，，，根据角平分线、垂直的定义和据直角三角形两锐角互余推出，得到，由等腰三角形三线合一性质得是边上的中线，最后利用三角形中位线定理可得解． 【详解】解：延长，交的延长线于点， ∵在中，，， ∴， ∵边上的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点，长为， ∴，，即点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵射线是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是边上的中线，即点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的定义，等腰三角形三线合一性质等知识点．通过作辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 14．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 【答案】/ 【分析】证明四边形是矩形，则，得四边形是正方形，则，，由折叠的性质得到，证明四边形是矩形，则，由折叠的性质得到，设，则，在中，勾股定理得，求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，点A的坐标为， ∴， ∵沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，     解得， 即， ∴点E的坐标是， 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由含直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出四边形周长，则要使四边形周长最小，则要最小，取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，，证明四边形为平行四边形得出，则当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接，证明，得出，，证明出是直角三角形，求出、的长，再由勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形周长， ∴要使四边形周长最小，则要最小， 取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，， 则是的中位线， ∴，， 由折叠的性质可得：点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 在中，，点为的中点，则为的中点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长, 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，设的中点为，连接，由三角形的中位线定理得， ，，，由此可证和均为等边三角形，设 ，则，进而得，则，由此可求出，则 ，，，进而得，然后根据，得，据此可得的面积． 【详解】解：连接， 设的中点为， 连接，，如下图所示： ∵点分别是的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ，，，， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：，即 解得：，(不合题意，舍去)， ， ， ， ， 边上的高与边上的高相同， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等，正确的作出辅助线构造三角形的中位线及等边三角形是解决问题的关键． 17．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接，先根据矩形的判定与性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的最小值为的长，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键． 18．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，、、三点共线． 【答案】或 【分析】当、、三点共线时，分两种情况：当在线段上时，连接，当在延长线上时，连接，；由轴对称的性质易证得，则；设，由菱形的性质及容易求得菱形内各个角的度数；然后，根据用表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当、、三点共线时，分两种情况： 当在线段上时，如图，连接， 为关于的对称点， ，，， ， ， 设， 四边形为菱形，且， ，， ， ， ， ， ， 在菱形的对角线上， ， ， 又， 而， ， ； 当在延长线上时，如图，连接，， 同上，设， ， ， 又在菱形的对角线上， ， ， ， 又， ， ； 当或时，、、三点共线， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，用解方程的思想解决问题是解题的关键． 19．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作点关于的对称点，过作交的延长于点，过作 于点，连接交于点，连接，，当三点共线即与重合时，的值最小，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】作点关于的对称点，过作交的延长于点，过作于点，连接交于点，连接，，    ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由对称得：垂直平分， ∵点是矩形的对角线上的点， ∴， ∴， 当三点共线即与重合时，的值最小， ∵，， ∴， 如图，连接交于点，    ∵四边形时矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形中位线定理得出，即可得出最小时四边形的周长最小值，最小值是的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可； 【详解】解：（1）根据题意可得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵是的中点， ∴， 作， ∴， ∴， ∴的最小值为， 根据（1）可得出， 故四边形的周长最小值； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可． 【详解】如图，连结， 四边形是平行四边形， ，，，． ， ， ， ， ， 又， ． ． 平分， ， ， ． 作于点，于点， 则有四边形是长方形， ． 设，，则，． 在中， ①； 在中， ②； 联立①②，解得． 则． 故线段的长为4．    三、解答题 22．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 当互相平分时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴t的值为． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即t的值为． 23．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接，，证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．由，证明，得到，，再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明，得到，，进而求得即可； （3）如答图5，过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边，得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：，， ， 方法一：如图1，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ．   （2）方法一：如图3，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图5，过点作，且．连接，作于点， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 在中， 由勾股定理，得． 于点， ， 中，有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 24．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)＝ (2)的结论不变，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：当点在点的右下方时： 过点H作于点J，作，交的延长线于点K， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 当点在点的左下方时：如图：过点H作于点J，作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ， 【初步感知】 （）请你补全以上证明过程； （）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与 交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______； 【深入探究】 （）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形 的面积； 【拓展应用】 （）如图④，请写出线段 与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）；（）；（），理由见解析． 【分析】（）根据题意补全证明过程即可； （）根据（）的结论即可求解； （）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（）的结论求解； （）证明可得，即得，在中利用勾股定理即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】（）证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ∴， ∴， 即正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （）由（）的结论可得，， 故答案为：； （）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点， 则， ∴， ∵， ∴， 由（）可得，； （），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，已知四边形的面积为15，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由得，结合，，即可根据证明； （2）以为圆心，为半径作弧，交线段延长线于，分别以、为圆心，大于的线段长为半径作弧，两弧交于、，连接，交于，作直线，则即为的垂线； （3）由的性质得，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由四边形的面积为15，由（2）中作图将平行四边形面积表示出来解得，在中，再由勾股定理得到，最后根据菱形的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：四边形是菱形， 证明如下： 由（1）知， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为15， ，解得， 在中，，，则由勾股定理得到， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线性质、全等三角形的判定和性质、尺规作图-作垂直平分线、平行四边形的判定、平行四边形面积、勾股定理、菱形的判定等知识，解题的关键是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段的垂直平分线． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 点关于直线的对称点为， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ． ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 28．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使． (1)当点在线段上时： ①判断与有怎样的数量关系，并说明理由； ②求证：； (2)若点是线段的三解分点，，求的长． 【答案】(1)①，理由见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据同角的余角相等即可证明；②过点作于点，如图所示，根据已知条件可证明，所以，，又因为，所以可得，进而证明； （2）在中，利用勾股定理分别求出、即可解决问题． 【详解】（1）解：①， 理由如下： 过点作于点，如图所示： ， ， ， ②证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图所示： 点是线段的三解分点， ， 在中，，，由勾股定理可得，则， 由（2）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查了互余定义、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三等分点定义以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，熟练运用相关几何性质是解决问题的关键． 29．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 【答案】(1)①②③④ (2)，证明见解析 (3)为等腰直角三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的对称性，可证①②③都正确，根据全等图形的判定和性质可证④也正确； （2）取的中点、，连接，，，，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形是平行四边形，从而得出，根据其性质就可以得出结论； （3）取、和的中点、、，连接、、、，和相交于，根据三角形的中位线的性质可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，是以为斜边的等腰直角三角形，， ∴，且， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，连接， 由上述证明可得， ，即对应边相等，对应角相等， ∴整个图形是轴对称图形，故③正确； ，， ， ∴， ， 四边形四点共圆， ∴， 是对称轴， ∴， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． （2）解：， 理由：如图，取、的中点、，连接，，，， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，， ，，． 是的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ，，． ，，， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，取、和的中点、、，连接、、、， ∴，，，， 四边形是平行四边形， ，，， 和是等腰直角三角形， ，，， ，，， 即． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ，即， 为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质及运用，解答时根据三角形的中位线的性质构造全等三角形是解答本题的关键． 30．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）（1）在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程． （2）如图2，已知正方形，是正方形的内接等边三角形，请你找出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】（1）根据小亮的思路进行作答即可； （2）延长至点使，连接交与点，过点作于点，先证明，得到，，推出，再证明，推出垂直平分，进而得到为等腰直角三角形，推出，即可得证． 【详解】解：（1）延长到点G，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 延长至点使，连接交与点，过点作于点， ∵正方形， ∴，， 同法（1）可得：， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键． 31．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． (1)当四边形为正方形时，直接写出的长； (2)若的面积等于3，求的长； (3)试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 【答案】(1)2 (2)2 (3)当时，的面积取得最小值 【分析】本题主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）当四边形为正方形时，则，可证明，由此求出的长； （2）作交的延长线于点M，可得，得，再由的面积等于3求出的长，进而求出的长； （3）当的面积取得最小值时，可推出的值最大，此时的值也最大，则点E与点B重合，求出这时的值即可． 【详解】（1）如图1，当四边形为正方形时，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，作，交的延长线于点M，连结， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）如图2，设， 由（2）得， ∴， ∴随x的增大而减小， 要使的面积最小，须使x的值最大， 在中，， ∴当取得最大值时，x的值最大， 而，此时的值最大， ∴点E与点B重合， 如图3， 此时，， ∴， ∴当时，的面积取得最小值． 32．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到，即可得出结论； （3）连接，取中点，连接，，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【详解】解：（1）连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，，， ， ； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， 平分，， ，， 又， ， ， 取的中点，连接，则有，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，取中点，连接，， 、分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 设，则，在中，由勾股定理得，， 解得， 即， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 33．（23-24八年级下·吉林长春·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用. 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形现阶段研究的四边形均为凸四边形，即平行四边形和“筝形”.查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”. 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ①______； ②______； （2）证明“筝形”有关对角线的性质补全结论，并写出完整的证明过程 已知：如图1，在“筝形”中，，，对角线和交于点 求证：______； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有______将所有正确的序号填在横线上 ①且；②；③且；④ 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 【答案】（1）轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线；（2）见解析；（3）①③；（4）的最小值为 【分析】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，菱形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据菱形的性质进行解答即可； （2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可； （3）根据筝形的判定进行判定即可； （4）根据筝形的性质，，则，过点作于点，此时最小，进而计算即可． 【详解】解：（1）菱形是轴对称图形， 故①处为既是轴对称图形； 菱形的一条对角线垂直且平分另一条对角线， 故②处填一条对角线垂直且平分另一条对角线； 故答案为：轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线； （2）求证：，且平分； 证明：在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 故答案为：，且平分； （3）①且； 根据筝形的定义则①正确； ③且； 在于中， ， ， ， 同理可证， 四边形是“筝形”， 故③正确； 故答案为：①③； （4）“筝形”， ，， 连接，， 在与中， ， ， ， 则， 当点，，三点共线且过点作的垂线，此时线段最短，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值为． 34．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，详见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 35．（23-24八年级下·云南昆明·期末）【发现结论】 （1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选） ①；②；③ 【类比迁移】 （2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接． ①（1）中结论依然成立的是______（填序号） ②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外） 【类比迁移】 （3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；（3）成立，理由见解析过程 【分析】（1）由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解； （2）①由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解； ②由全等三角形的性质可得； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②③； （2）①∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②③； ②∵， ∴， ∴， 则还可以发现：； （3）成立，理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 36．（23-24八年级下·河南安阳·期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图，在四边形中，，判断四边形是否为“垂美四边形”并说明理由； (2)[性质探究] 如图，试在“垂美四边形”中探究之间的数量关系； (3)[解决问题] 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交于点M，N，若，求的长． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． (1)根据垂直平分线的判定定理证明即可； (2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可； (3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形． （2）如图，在垂美四边形中， ∵于点O， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． （3）连接，如图∶ ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得∶， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． 37．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 38．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 【答案】【结论应用】见解析；【拓展提升】（1）矩形，（2） 【分析】[结论应用]先证，则可得，进而可得，则∥，再结合，即可得四边形是平行四边形． [拓展提升] （1）先证四边形是平行四边形，再证，则可得四边形是矩形． （2）过E点作于M点．由（1）得，，，则可得．又由，可得，则可得．再求出的长，则可求出的面积． 【详解】［结论应用］ 解 ：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ， 又，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ［拓展提升］ （1）∵四边形是正方形， ，， ， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 又， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，，且E、F分别是、的中点， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形 （2）过E点作于M点， 由（1）知， 又∵E点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，四边形对角线交于点O，连接， ①探究之间的等量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；理由见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据，即可证明结论； （2）①延长交于点F，证明，得出，，证明，，得出，根据直角三角形的性质得出，，证明，即可证明结论； ②过点E作于点M，过点O作于点N，根据中位线性质得出，，证明，得出，求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①；理由如下： 延长交于点F，如图所示： ∵四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F为的中点， ∵为直角三角形， ∴，， ∴， ∴； ②过点E作于点M，过点O作于点N，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 40．（23-24八年级下·山东淄博·期末）在四边形中，对角线、相交于点，过点的两条直线分别交边、、、于点、、、． 【感知】如图1，若四边形是正方形，且，求证：； 【拓展】如图2，若四边形是矩形，且，设，，，求的长（用含、、的代数式表示）； 【探究】如图3，若四边形是平行四边形，且，，，试确定、、的位置，使直线、把四边形的面积四等分． 【答案】[感知]见解析；[拓展] ； [探究] 当，时，直线、把四边形的面积四等分． 【分析】[感知]如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； [拓展]如图2，过作于，于，根据图形的面积得到，于是得到结论； [探究]如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：[感知]如图1， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ； [拓展]如图2，过作于，于， ，， ， ，， ， ，， ； [探究]如图3，过作，， 则，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 当，时，直线、把四边形的面积四等分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 41．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点．以为边作菱形．点在线段上，设点的运动时间为．菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，则的长为______．（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (4)直接写出当点到直线的距离和点与点之间的距离相等时的值． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)的值为1或． 【分析】（1）作于点，由含角的直角三角形可得的长度，再由等腰三角形的性质可得的长度； （2）作出点落在边上的图象，由求解； （3）分类讨论，，并作出图象求解； （4）分类讨论和并作出图象求解． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：； （2）解：如图， ， ， 菱形中，平行于 ， 为等边三角形， ，即， ， 解得； （3）解：当时，作于点， ， ， ， ． 当时，，交于点，， ，， ， ， ， ， 菱形中，平行于 为等边三角形， ， ． 当时，重叠部分为等边三角形， ， ． 综上所述，； （4）解：当时，作于点， 由（3）得，，则， ∵菱形， ∴点到直线的距离就是的长， 由题意得， 解得； 当时，重叠部分为等边三角形，作于点， ， 同理，，， 由题意得， 解得； 综上，的值为1或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 43．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为，为中点，动点从点出发以个单位每秒的速度沿运动，返回到点时运动停止，连结，设的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长度； (2)从向运动时，，求的值； (3)当的面积为时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)； (3)当或时，的面积为； (4)当或时，． 【分析】（）分和两种情况即可求解； （）由四边形是正方形，得，，求出，再用勾股定理即可求解； （）根据，得，然后分当时，，，当时，，即可求解； （）过作，交延长线于点，证明和，然后分当时，，，当时，，即可求解； 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，； 当时，； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵为中点， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵从向运动时， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 整理得：， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上可知：当或时，的面积为； （4）如图，过作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 当时，，， ∴，解得：； 当时，，， ∴，解得：； 综上可知：当或时，． 44．（23-24八年级下·山东日照·期末）【经典回顾】 （1）人教版八年级教科书69页有这样一道题：如图①，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．取的中点，连接，则可证明，请你按照此思路，写出证明过程； 【方法提炼】 （2）如图②，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：； 【拓展思考】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为，若正方形边长为3，当长为多少时，四边形是平行四边形，并给予证明． 【答案】（1）见解析； 【分析】（1）如图①：取的中点，连接，通过等腰直角三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：取，连接，通过等腰直角三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）根据得到，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，进而得到即可解答． 【详解】解：（1）证明：如图①：取的中点，连接， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 解：如图：当长为1时，四边形是平行四边形，证明如下： 如图，取，连接， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 45．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）过点E作于点F，根据题意得到；，进而求解即可； （2）过点D作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可． （3）连接，，过点A作于M，作于N，得到，，得到，进而求解即可； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M，由（3）知平分，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F ∴；； ∴ （2）如图所示，过点D作，连接 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）连接，，过点A作于M，作于N， 由（1）知 ∴，即 ∵ ∴ ∴点A在的平分线上，即平分； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M， ∵， ∴由（3）知平分 ∵， ∴ ∴， ∵，，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴在中，由可得， ∴ 在中，∵，， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形． 46．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（）由等边三角形的性质和角平分线的定义可得出，，从而可得出．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，即可求解； （）延长到，使得，连接．通过等腰三角形的判定和平行四边形的判定，即可证明，，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是平分线，是平分线， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， （2）解：如图2中，延长到，使得，连接． ∵是等腰直角三角形，、是角平分线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义以及平行四边形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 47．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：正方形中，点，分别在上，连接，交于点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，连接，若，的面积为8，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据正方形及，利用互余可得，进而证明，即可证明结论； （2）结合由（1）中，可证得，由可知，进而可证得四边形是平行四边形，可知，即可证明结论； （3）过点作，交延长线于，可知四边形为正方形，则，在正方形中，，得，再证，得，由题意设，， 可知，则，，结合的面积为8，可得，得，，则再根据勾股定理及等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作，交延长线于，则四边形为矩形，∵，， ∴四边形为正方形，则， 在正方形中，， ∴， ∵，则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，设，， ∴，则，， ∵的面积为8， ∴，可得， ∴，，则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查正方形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用各部分知识解决问题是解题的关键． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． (1)探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； (2)如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： (3)如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)不发生改变，证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． （1）延长交于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰直角三角形的性质可得结论； （2）延长交于点，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰三角形的性质可得结论； （3）延长到点，使，连接，，．证明．得到，．由菱形的性质结合已知可得，，，再证明得到，然后利用等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解： 如图①，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是正方形， ∴，，， ． 又， ， ，． ， ， 是等腰直角三角形 ， ； （2）解：猜想：与的位置关系是． 证明：如图②，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是菱形， ∴，，， ． 又， ． ，． ． ． ． 又， ． （3）猜想：不变． 证明：如图③，延长到点，使， 连接，，． 是线段的中点， ． 又， ． ，． 四边形、四边形是菱形， ∴，，，， ，． 又， ∴， ． 点，，在一条直线上，， ． ． ， ． 又， ． 49．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图①，点P为菱形的对角线上一点，连接，，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，， ，，点E，F分别在线段，上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图③，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，点G为矩形内一点．根据需求，要将区域规划为休闲垂钓区，四边形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，计划沿，修建两条休闲通道，为了让空间更加和谐、美观，需使四边形为菱形，且，，经测量米，米，请你帮助王大爷计算“民宿”区域（菱形）的面积 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）王大爷民宿区域的面积为12800平方米． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形． （1）根据菱形的性质，证明，即可得到； （2）过点F作交的延长线于点G，先得到是等腰直角三角形，得到，再证明，即可求解； （3）连接，，，过点F作于点P，由矩形的性质，得到米，米，证明为等腰直角三角形，得到，（米），证明，得到，，，再证明A，H，F三点共线，由菱形的性质得到米，米，米，米，再得到（米），（米），（米），即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图②，过点F作交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图③，连接，，，过点F作于点P， ∵在矩形中，米，米，点H为边的中点， ∴，米． ∴为等腰直角三角形， ∴，（米）， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴，即A，H，F三点共线， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米，米， 记与的交点为点O， ∵（米）， （米）， ∴（米）， ∴菱形的面积（平方米）， ∴王大爷民宿区域的面积为12800平方米． 50．（23-24八年级下·辽宁·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明可得，进而可得四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由平行四边形的性质可得，由三线合一可得，再根据平行四边形的面积可得，进而由勾股定理得，又可得为的中位线，最后利用三角形中位线的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 四边形是平行四边形，交于点， 为中点， ， 为中点， 为的中位线， ． 2 / 121 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $$