培优专题 平行四边形中的5种几何模型(5题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 平行四边形中的5种几何模型 知识点1 中点四边形 1.性质 任意四边形的中点四边形是平行四边形。由中位线定理可知，对边平行且等于原对角线的一半。 对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。例如，矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形。 对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。例如，菱形的中点四边形是矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。 中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 2.常用结论 顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形。 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形。 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形。 中点四边形的学习需要掌握其定义、性质以及常见结论，并能够熟练应用这些知识点进行几何问题的求解。 知识点2 正方形十字架模型 在一个正方形中，以正方形的中心为交点，画出两条互相垂直且等长的线段，这两条线段分别穿过正方形的四条边的中点。这样，正方形被分成了四个全等的等腰直角三角形和一个位于中心的十字架形状。十字架的两条垂直线段分别与正方形的对角线重合，而十字架的交点则是正方形的中心。 题型一、中点四边形 1．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 3．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 4．如图，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，菱形的面积为，对角线． (1)求菱形对角线的长： (2)求四边形的面积． 题型二、十字架模型 5．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    6．数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 7．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 8．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 9．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 题型三、对角互补模型 10．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 11．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 12．问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 13．感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 题型四、与正方形有关的三垂线 14．如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    15．如图，直线，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在上，之间的距离是2，之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为 ． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 ． 17．如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 18．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 19．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 题型五、正方形与45度角的基本图 20．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 21．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 22．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 23．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 24．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 试卷第1页，共3页 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平行四边形中的5种几何模型 知识点1 中点四边形 1.性质 任意四边形的中点四边形是平行四边形。由中位线定理可知，对边平行且等于原对角线的一半。 对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。例如，矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形。 对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。例如，菱形的中点四边形是矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。 中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 2.常用结论 顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形。 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形。 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形。 中点四边形的学习需要掌握其定义、性质以及常见结论，并能够熟练应用这些知识点进行几何问题的求解。 知识点2 正方形十字架模型 在一个正方形中，以正方形的中心为交点，画出两条互相垂直且等长的线段，这两条线段分别穿过正方形的四条边的中点。这样，正方形被分成了四个全等的等腰直角三角形和一个位于中心的十字架形状。十字架的两条垂直线段分别与正方形的对角线重合，而十字架的交点则是正方形的中心。 题型一、中点四边形 1．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得． 【详解】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项C不符合题意； A．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； B．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：D． 3．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点， ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，菱形的面积为，对角线． (1)求菱形对角线的长： (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的性质、矩形的性质与判定、二次根式的乘除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用菱形的面积公式即可求解； （2）利用三角形中位线定理推出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：菱形的面积， ， 解得：； （2）解：E、F、G、H分别是菱形四边的中点， ，，，， 菱形， ， ， 四边形是矩形， 矩形的面积． 题型二、十字架模型 5．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 6．数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 7．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 8．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 9．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）根据正方形的性质得AB=BC，，用SAS证明，得，根据三角形内角和定理和等量代换即可得； （2）过点B作，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明，得，根据角平分线性质得，则是等腰直角三角形，用SAS证明，得AH=CN，在中，根据勾股定理即可得； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC，， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点B作，交AN于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AC，， ∵， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴, ∴， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵AN平分， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴BH=BN， 在和中， ∴（SAS）， ∴AH=CN， 在中，根据勾股定理 ， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 题型三、对角互补模型 10．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 11．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 12．问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米． 【分析】（1）利用外角的性质可求解； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积； （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E， ∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC， ∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°， 故答案为：115°； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE， ∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，   ∵BD=BE=6，∠DBE=90°， ∴S△BDE=×BE×BD=18， ∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18； （4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD， ∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°， ∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF=BD=DF， ∵∠ADC=30°， ∴∠ADB+∠BDC=30°， ∴∠BFA+∠ADB=30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°， ∴∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠FAD=90°， ∴DF=， ∴BD=(米)． 答：对角线BD的长度为米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 13．感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证； 探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解． 【详解】感知：，理由如下： ∵，， ∴，即， ∵平分， ∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分， ∴DE=DF， ∵，， ∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS）， ∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 题型四、与正方形有关的三垂线 14．如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    【答案】13 【分析】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．如图，直线，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在上，之间的距离是2，之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【分析】过点A作于点E，过点C作于点F，先证得△ABE≌△BCF，可得AE=BF=2，CF=4，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点C作于点F， ∴∠CBF+∠BCF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ABE+∠CBF=90°，AB=BC， ∴∠ABE=BCF， ∵∠AEB=∠CFB=90°， ∴△ABE≌△BCF， ∴AE=BF，BE=CF， ∵之间的距离是2，之间的距离是4， ∴AE=BF=2，CF=4， ∴． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形面积的求解方法，证明△ABE≌△BCF是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 ． 【答案】17 【分析】利用正方形的性质得∠BAE＝90°，AE＝AB，利用同角的余角相等得∠AEF＝∠BAC，再∠F＝∠ACB=90°，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，得FA+AC=FC=15，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长． 【详解】解： ∵四边形ABDE为正方形， ∴∠BAE＝90°，AE＝AB， ∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°， ∴∠AEF＝∠BAC， 在△AEF和△BAC中， ， ∴△AEF≌△BAC（AAS）， ∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7， 在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15， 根据勾股定理得：CE＝＝17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理求边长以及余角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键. 17．如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3) 【分析】（1）在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，再利用证明≌，得； （2）连接，根据，得，则四边形的面积为正方形的面积； （3）作于，由，可得，再利用证明≌，得，可知，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点的坐标，从而解决问题． 【详解】（1）证明：在上取点，使，连接， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：四边形的面积不变，为， 连接， ， ∴， ， 四边形的面积为正方形的面积， 四边形的面积为； （3）解：作于， ， ， ， 由得，， ，， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理得，直线的解析式为， 当时， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点的坐标是解决问题（3）的关键． 18．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 19．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40° 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题； （3）分两种情形：①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根据角的和差得到∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4， ∵CE＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴四边形DECG是正方形， ∴CG＝CE＝2； （3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°＋40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4，当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 题型五、正方形与45度角的基本图 20．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【详解】（1）∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 21．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠PAM=∠NAM=45°，利用SAS即可证明△APM≌△ANM； （2）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，再由（1）的结论得到PM=MN，根据勾股定理即可证明； （3）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△，则△AMN≌△，利用全等三角形的性质可得出=MN，由∠C=90°，∠CMN=45°可得出CM=CN，设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，进而可得出=a-b，NF=b+a，在Rt△中，利用勾股定理可求出，进而可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°． ∴∠BAM+∠NAD=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PA=NA，∠PAB=∠NAD， ∴∠PAB+∠BAM=45°， ∴∠PAM=∠NAM=45°， 在△APM和△ANM中，， ∴△APM≌△ANM(SAS)； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°， ∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°， ∴， ∵△APM≌△ANM， ∴PM=MN， ∴； （3）解：．理由如下： 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△．如图： 过点作⊥CD于F，连接， 同（1）可证△AMN≌△， ∴=MN． ∵∠C=90°，∠CMN=45°， ∴CM=CN． 设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c， ∴=AD-=AD-AB=a+c-（b+c）=a-b， NF=DN+DF=DN+=DN+BM=b+a． 在Rt△中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS即可证明△APM≌△ANM；（2）证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出． 22．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）由二次根式有意义的条件和相反数的性质可得出a=6，b=3，然后根据正方形的性质即可得出答案； （2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出，解得x=2，根据计算求解即可得出答案； （3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵a，b满足式子， ∴a=6，b=3， ∴，； （2）解：①取OA的中点K，连接KE，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵，K为OA的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在△AKE和△ECF中， ， ∴， ∴； ②延长CD，并在延长线上截取，连接AH，如图所示， ∵四边形AOCD是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， 由①可知， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在Rt△ECG中，， 解得， ∴， ∴． （3）解：在外角平分线上取点F，使，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作轴于点R， 在Rt△ORF中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 【答案】(1)（6，6），（3，0） (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得出a=6，b=3，然后根据正方形的性质求解即可得出答案； （2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出32+（6-x）2=（x+3）2，解得x=2，根据计算求解即可得出答案； （3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子成立， ∴， ∴， ∴a=6， ∴b=3， ∴点A的坐标为（0，6），E（3，0）； ∴OA=6， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=CD=OA=6， ∴D（6，6）， 故答案为：（6，6），（3，0）； （2）解：①如图①，取OA的中点K，连接KE， ∵∠AEF=90°， ∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°， ∴∠FEC=∠OAE， ∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC， ∴AK=EC，OK=OE， ∴∠OKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AKE=∠ECF， 在△AKE和△ECF中， ， ∴△AKE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； ②如图②，延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH， ∵四边形AOCD是正方形， ∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°， ∴△AOE≌△ADH（SAS）， ∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD， 由①知AE=EF， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=45°， ∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°， ∴∠GAH=∠GAE， ∴△AEG≌△AHG（SAS）， ∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD， ∴∠AEO=∠AEG， ∵， ∴∠AGH=∠GNE=∠AGE， ∴EN=EG， 同理可得GM=GE， ∴GM=EN， 又∵GM⊥EN， 设DG=x，则CG=6-x， ∴OE=CE=3， ∴EG=x+3， 在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2， 解得x=2， ∴EG=EN=GM=5， ∴S四边形MNGE=＝； （3）解：在外角平分线上取点F，使CF=AO，连接，， ∴∠OAP=∠QCF=45°， ∵AP=CQ， ∴△APB≌△CQF（SAS）， ∴PB=QF， ∴BP+BQ=BQ+QF， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作FR⊥x轴于点R， ∵∠DCF=∠RCF=45°， ∴△CFR为等腰直角三角形， ∵AO=CF=6， ∴CR=FR=， ∴OR=， 在Rt△ORF中，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】连结，由对称的性质可知，进而可证，即可得，由∠AON=90°，可得． 【详解】证明：连结， 、关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴，， 在Rt和Rt中 ， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关45°角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解． 试卷第1页，共3页 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$