第17章 勾股定理 期末压轴题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第17章 勾股定理 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，中，，，，将进行平移得到，若点D到三边的距离相等，则平移后重叠部分图形的周长为(   ) A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 7．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ． 9．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 10．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 11．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，则四边形的面积是 ．（结果用含a的式子表示）    12．（22-23八年级下·重庆渝北·期末）四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ． 13．（22-23八年级下·江西九江·期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 14．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为 ． 16．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 17．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为 ． 18．（22-23八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 19．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 20．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在等腰中，，，于点，点M，N分别是DE，DG上的动点，且，则的最小值为 ．    21．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为 ．    三、解答题 22．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 23．（23-24八年级下·广东深圳·期末）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 24．（23-24八年级下·四川巴中·期末）【综合与实践】 (1)【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； (2)【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 25．（23-24八年级下·广东惠州·期末）综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    27．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知和都是等腰直角三角形，，绕着顶点A旋转． (1)如图1，若D点恰好落在边上，连接． ①求证：； ②若G为中点，连接，当点D在直线上运动时，若，求线段的最小值； (2)若D不在边上，交于点F，且，．当是直角三角形时，求长．（图2，图3是备用图） 28．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． (1)如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． (2)在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 29．（23-24八年级下·上海金山·期末）（1）性质证明：已知：如图1，分别是的外角平分线，求证：平分； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是的一个旁心，求证：； ②已知点、、是的三个旁心，，在中，，，且经过点B，求的面积．    30．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 31．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，，且，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点为线段上任意一点，连接，点在线段上，连接，于点，设线段的长为，的面积为，求关于的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于，交的延长线于点，若，，求的长． 32．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在中，，．M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，当动点P到达C点时，运动停止．连接，，设运动时间为． (1)当点P在上时，______cm（用含x的式子表示）； (2)设的面积为S，当时，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当为以为腰的等腰三角形时，______； (4)如图②，点Q，N分别为，的中点，连接，，，得到，则周长的最小值为______． 33．（23-24八年级下·河北保定·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”． (1)如图，点在线段上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为______； (2)有射线和线段，点在线段上，点在射线上； 如图，当，时，画出理想距离的示意图，并计算的长； 如图3，保持线段在轴上（点在点的左侧），且为个单位长度，，理想距离的长满足，直接写出的取值范围. 34．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 35．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 36．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 37．（23-24八年级下·广西玉林·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； (3)求中边上的高与边上的高的积． 38．（22-23八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 39．（22-23八年级下·四川成都·期末）【一线三等角模型】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除已知边外） 【模型运用】如图2，在等边中，D，E分别为边上的点，，，连接.若，求证：； 【能力提升】如图3，在等边中，，点A，点C分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点A从点E运动到点D，请在图3中作出点B的运动轨迹，并求出点B的运动路程．    40．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）先阅读下面的内容，再解答问题． 已知为的三边，且满足，请判断的形状．有个学生的解答过程如下： 解：， ，（第一步） ，（第二步） 是直角三角形．（第三步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该学生的解答过程，从第_________步开始出现错误； (2)简要分析出现错误的原因； (3)请你写出正确的解答过程． 41．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，与均为等腰直角三角形，且，，其中，绕着A点逆时针进行旋转，连接，．      (1)若旋转至图1位置时，求证：； (2)若旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线，证明：； (3)若旋转至图3位置时，线段恰好垂直于，此时的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 42．（22-23八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ． (2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离． (3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离． 43．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．    (1)求斜边的长； (2)当点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值． 44．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值． 45．（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）（1）阅读理解 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决 如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明； （3）拓展探究 如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长． 46．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，过点C在正方形的外部作直线，点D关于直线的对称点为，连接交直线于点G，过点B作交直线于点F，连接交直线于点E．    (1)求证：． (2)求证： (3)若，求的长． 47．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在等腰中，，，点D是直线上一动点，以为边，在下方作等边．    (1)直接写出的长， ； (2)当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长； (3)当时，求出的值． 48．（22-23八年级下·北京门头沟·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点P（，）与上的任意一点Q（，），如果线段的长度最短，我们就称线段 “理想距离”．    (1)如图1，点P在线段，上，点Q在线段上，如果为理想距离，那么的长为 ； (2)有射线，和线段，点P在线段上，点Q在射线上； ①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为 ； ②如图3，保持线段在x轴上（点A在点B的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 49．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，，，，连接、．当时，通过测量，猜想出图中与相等的线段，并加以证明． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师修改条件，并提出新问题，请你解答． 如图2，，，，连接、．当时，请用已学的知识求出的值．    50．（22-23八年级下·湖北·期末）如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．    (1)求证； (2)如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由． (3)如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 1 / 109 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 勾股定理 期末压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先作辅助线，根据等边三角形的性质得到边长之间的关系，再根据三角形全等，得到角度的关系，再根据对称的性质可得到最值． 【详解】解：作于点H，作射线，则， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点L与点A关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，灵活运用知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，中，，，，将进行平移得到，若点D到三边的距离相等，则平移后重叠部分图形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，角平分线的性质，勾股定理，设，与交于点，，过点作，，的垂线垂足为，，，连接，，过点作于点，先证点是和平分线的交点，进而可得，，则，，由此得的周长为线段的长，然后分别求出，，则，由此可得平移后重叠部分图形的周长 【详解】解：设，与交于点，，过点作，，的垂线垂足为，，，连接，，过点作于点，如下图所示： ， 点是和平分线的交点， ，， ，， 由平移的性质得：， ，， ，， ，， ，， ，， 的周长为：， ，，， 为等腰直角三角形，， ， 在中，，， ，由勾股定理得： 的周长为： 即平移后重叠部分图形的周长； 故选：D． 3．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 二、填空题 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到，，即可得到，然后根据三线合一得到，然后分别在和中，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作于点F，连， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， 解得， ∴． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】过点P作于M，于N，通过证明即可判断①；根据，含30度角的直角三角形特征可得出②的结论正确；判定出为等边三角形，即可求出的度数；通过，结合勾股定理，全等三角形性质可以求出结论④． 【详解】解：过点P作于M，于N， 平分， ， 在四边形中， ， 且， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， 在中，， ， ， ，故②正确； ，， 为等边三角形， ，故③错误； ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和，角平分线性质，含30度角的直角三角形特征，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 【答案】或或2或6 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得， ，进而可求；当，在右侧时，，如图2， 则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当，在左侧，如图3，连接，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可得的值；当，在右侧，重合，如图4，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 7．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，如图，过作于，过作于，则，，，，可知当三点共线，且时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】延长至M，连接，作于N，作于P，证明是等腰直角三角形，求出， 证明，在中，用勾股定理求出． 【详解】解：延长至M，连接，作于N，作于P， 是等腰直角三角形，点F是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点、关于对称， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，于N， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质及勾股定理的运用，熟练运用相关性质定理，正确作出辅助线是正确解决本题的关键． 9．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，根据勾股定理得出，根据题意得，然后分为底和腰两种情况讨论即可．解题的关键是掌握勾股定理及等腰三角形的性质． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒， ∴， ①当为底边时， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（秒）； ②当为腰时， 如图， 当时，得：（秒）； 当时， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /45度 【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数； （2）延长至点，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，算出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1） ， ， （2）如图，延长至点，使，连接，   为的中点 ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 11．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，则四边形的面积是 ．（结果用含a的式子表示）    【答案】 【分析】先证，即可得，进而可得，过点B作于点N，过点D作于点M，根据，结合勾股定理可得，，问题随之得解． 【详解】点A的坐标为，点， ，，即， ，是等边三角形， ，， ，且，， ， ，，， ， ， ， 过点B作于点N，过点D作于点M，如图，    在等边中，，，， 即， ， 利用勾股定理可得：， 在中，，， 即， ， 利用勾股定理可得：， ，， ， 故选：． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，二次根式的计算，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质，并得到，是本题的关键． 12．（22-23八年级下·重庆渝北·期末）四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据四个全等的直角三角形，已知是的中点，可得，可得，在根据三角形中线的性质可得，，设，，根据三角形的面积公式可求出的值，可求出的值，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：四个全等的直角三角形，即， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四个全等的直角三角形， ∴， ∵和的面积之比为，即， ∴，， 已知是的中点， ∴在中，点是的中点， ∴，则， 设，， ∴， ∴，， ∴，解得，， ∴ 在中，， ∵四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形， ∴四个直角三角全等，围成的四边形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，面积计算方法，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 13．（22-23八年级下·江西九江·期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】或或 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时；    ②当时：如图，    则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图：    此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 14．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为的正方形即可． 【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为的正方形，符合题意； 如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为的正方形，符合题意； 按照②中剪法，无法拼接成边长为的正方形，不符合题意； 故选①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查图形的拼接，解题的关键在于根据所给小正方形的面积求出所拼接成的正方形的边长． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为 ． 【答案】/ 【分析】先根据对称性得出，说明点在以点A为圆心，4为半径的圆上，当、、在同一直线上时，最小，根据最小值，求出，得出点的坐标为，设点P的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴点在以点A为圆心，4为半径的圆上，如图所示： ∴当、、在同一直线上时，最小， ∵的最小值为1， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 当轴时，连接，，如图所示： ∵过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点， ∴点P的横坐标为3， 设点P的坐标为：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，坐标与图形，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是根据对称性，求出点B的坐标． 16．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于，过点作，证明和全等，得，则，由得，则，进而得当面积的最大值，则的面积为最大，即为最大，根据“垂线段最短”得，即，由此得的最大值为5，此时与重合，即，然后由勾股定理求出，据此可得的长． 【详解】解：延长交于，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴当面积的最大值，则的面积为最大， ， 根据“垂线段最短”得：，即， ∴的最大值为5， ∴的最大值为5， ∴面积最大为， 当面积的取最大值时，与重合，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，垂线的性质，角平分线，熟练掌握三角形的面积，垂线的性质，角平分线是解决问题的关键，理解垂线段最短，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 17．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况，过点作，如图所示，利用对称性得到、均是等腰三角形，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理证得是等腰直角三角形，由含的直角三角形性质及勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 过点作，如图所示： ， 由对称性可知，，即、均是等腰三角形， ，， ， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 再由对称性可知， ，， ，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， ； 过点作，如图所示： 同理可知，，， ； 综上所述，当时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及对称性、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟记对称性质，等腰三角形的判定与性质，结合题意分类讨论是解决问题的关键． 18．（22-23八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查理勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴ ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误； ∵， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故②错误； ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确； 综上，正确的说法有③④， 故答案为：③④． 19．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 【答案】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图，      ，，，，点为上一个动点，，，则：，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 20．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在等腰中，，，于点，点M，N分别是DE，DG上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作，使得，证得，利用全等三角形的性质证得，求的最小值即求的最小值，此时只有、、在一条直线上时，的最小，即为的长，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，使得，如图所示，    ∵等腰中，，， ∴，， ∴， ∵等腰中，，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴求的最小值即求的最小值，此时只有、、在一条直线上时，的最小，即为的长， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证得线段相等，再利用两点之间线段最短和勾股定理求解，解题的关键作出辅助线构造全等三角形． 21．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，根据等边三角形的性质，得，，从而求得，得等腰直角，利用勾股定理求出，，再证是等边三角形，得，然后证明，得，即可求解． 【详解】解：如图，在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，    ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．通过作辅助线构造全等三角形与直角三角形是解题的关键． 三、解答题 22．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴． ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ． （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 23．（23-24八年级下·广东深圳·期末）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 24．（23-24八年级下·四川巴中·期末）【综合与实践】 (1)【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； (2)【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交的延长线于点F，用证明，得到，从而得到，再利用是∠的平分线推导，得到； （2）与（1）同理可证，得到，再证明，继而得解； （3） 延长交的延长线于点H，用证明，得到，从而求得，过点作于，推导，可知，利用含角的直角三角形的性质求出，再证明可得，从而得解． 【详解】（1）解：（1），理由如下： 如图， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是∠的平分线， ∴， ∴； （2），理由：延长相交于点 ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ 是的角平分线 ， ； （3）延长相交于 由（2）同理得，() 过点作于， 在中，，， 根据勾股定理得， 在和中， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，延长线段，用截长补短的方法构造出全等三角形是解题的关键． 25．（23-24八年级下·广东惠州·期末）综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】()由可得出答案； ()延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点，由勾股定理求出可得出答案； ()过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，得到 ，由勾股定理求出的长，则可得出答案； 本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． 证明：由图可知，，正方形的边长为 ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为， 即的最小值为； （3）解：过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知和都是等腰直角三角形，，绕着顶点A旋转． (1)如图1，若D点恰好落在边上，连接． ①求证：； ②若G为中点，连接，当点D在直线上运动时，若，求线段的最小值； (2)若D不在边上，交于点F，且，．当是直角三角形时，求长．（图2，图3是备用图） 【答案】(1)①见解析；② (2)或2 【分析】（1）①由，得，根据全等三角形的判定，即可证得结论； ②由，得，即知点E的运动路径是过点C与垂直的一条直线，故当时，最小，此时是等腰直角三角形，从而得到答案； （2）先证明，可得，然后分两种情况： ①当时，证明是等腰直角三角形，可得，从而，即可求得答案； ②当时，过点A作于点H，证明B、D、F三点共线，求出，，根据勾股定理求得， 即得答案． 【详解】（1）①证明：， ， ，， ， ； ②如图， 由①知， ， ， ， 点 E的运动路径是过点C与垂直的一条直线， 当时，最小，此时是等腰直角三角形， ， G为中点，， ， ， 最小值为； （2）, , ,, , , ①当时，如图， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②当时，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ， ， B，D，F三点共线， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； 综上所述，BD的长为或2． 【点睛】 本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，二次根式的化简，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 28．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． (1)如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． (2)在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3或4 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点 ， 是边上的中线， 由勾股定理得： 是“梦想三角形” （2）解：如图，若是“梦想三角形”，有两种情况： ①当边上的中线时，, 此时， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：， 综上所述，或4． 29．（23-24八年级下·上海金山·期末）（1）性质证明：已知：如图1，分别是的外角平分线，求证：平分； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是的一个旁心，求证：； ②已知点、、是的三个旁心，，在中，，，且经过点B，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）过点P分别作，垂足分别为D、E、F，由角平分线的性质定理可得，再由角平分线的判定定理即可证明结果； （2）①分别延长射线，由角平分线的意义得，，再由三角形外角的性质及三角形内角和定理即可证明结论成立； ②首先易得分别过点C、A；由①易得，，且、都是等腰三角形，；连接，过A作于D，则得，，由含30度直角三角形性质及勾股定理可求得，即可求得结果． 【详解】（1）证明：如图，过点P分别作，垂足分别为D、E、F， 分别是的外角平分线， ； ； 平分；    （2）①证明：如图，分别延长射线， 点O是的一个旁心， 分别平分， ，； ，， ， ； 即；    ②解：由题意得：分别是的补角的平分线， 则， 即过点C；同理过点A； 由①知，， ； ， ； 同理得， ，， 、都是等腰三角形， ，； 点是的中点，； ； 连接，过A作于D， ， ，； ， ， 则， 即； ， ， 由勾股定理得：， ， ； 在中，设，则， 由勾股定理得， ， 解得：； 在中，由勾股定理得， ．    【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键． 30．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． 31．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，，且，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点为线段上任意一点，连接，点在线段上，连接，于点，设线段的长为，的面积为，求关于的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，，证明，即可证明； （2）证明，从而得出，根据，即可求解； （3）先求出，在中根据勾股定理得出，得出，由（2）知，由轴对称性质可知，证明，连接，则是等腰直角三角形，证出，即可得． 【详解】（1）解：由，得 且， ，， ，， ，，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由题意，则， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 在中， ， ， ， 由（2）知， 由轴对称性质可知， ， ， ， ， 连接，则是等腰直角三角形， 由图可知，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，绝对值和二次根式的非负性等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 32．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在中，，．M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，当动点P到达C点时，运动停止．连接，，设运动时间为． (1)当点P在上时，______cm（用含x的式子表示）； (2)设的面积为S，当时，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当为以为腰的等腰三角形时，______； (4)如图②，点Q，N分别为，的中点，连接，，，得到，则周长的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先求出长，然后求出； （2）分和两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到与的函数关系式； （3）分两种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算即可； （4）作点N关于直线的对称点，连接交于点P， 根据勾股定理求出， 得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，点P在上时， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴； （3）当时,, ∴, 解得， 当 时, 解得，， 综上所述，当或时, 是以为腰的等腰三角形； （4）解：∵Q，N分别为，的中点， ∴，，， ∴， 作点N关于直线的对称点，连接交于点P，则的周长最小， 这时周长为， ∵，即， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的概念，勾股定理，掌握相关的性质定理和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 33．（23-24八年级下·河北保定·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”． (1)如图，点在线段上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为______； (2)有射线和线段，点在线段上，点在射线上； 如图，当，时，画出理想距离的示意图，并计算的长； 如图3，保持线段在轴上（点在点的左侧），且为个单位长度，，理想距离的长满足，直接写出的取值范围. 【答案】(1)； (2)见解析，；． 【分析】（）由点在线段上，点在线段上，可得当与点重合， 点与点重合时，最小，然后利用勾股定理即可求解； （）首先过点作于点，则的长即是的长，易得是等腰直角三角形，即可求解； 当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，当在射线的右侧时，的长即为的长，然后分别求解即可； 本题考查了新定义，勾股定理以及等腰直角三角形性质，掌握知识点的应用及利用分类讨论思想求解是解题的关键． 【详解】（1）∵点在线段上，点在线段上， ∴当点与点重合，点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴理想距离， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，则的长即是的长， ∵射线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：； 如当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 当在射线的右侧时，的长即为的长， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 34．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 35．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 【答案】感知：；探究：（1）见解析；（2）2；应用：32 【分析】感知：由矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，，由勾股定理即可求解； 探究：（1）由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，得到，，即可证明；（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； 应用：由勾股定理可求，，推出，从而得到的面积即可求解． 【详解】感知：解：四边形是矩形 ， 将沿直线翻折得到且 ，， 是等腰直角三角形 故答案为：． 探究：（1）证明：四边形是矩形 ，， 由折叠可得：， ， 在和中 （2），， 故答案为：2． 应用：将沿直线翻折得到且 ，， 解得： 四边形的面积 故答案为：32． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 36．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 37．（23-24八年级下·广西玉林·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； (3)求中边上的高与边上的高的积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式”计算即可； （2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，即可； （3）由三角形的面积公式求出边的高，再由（2）可得，再求出乘积即可． 【详解】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ． （2）解：过作于，设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：． 在中，， ； （3）解：设三角形中边上的高为 由（2）可知三角形中边上的高 所以三角形中与边上的高的积为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理等知识，等积法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 38．（22-23八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3） 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义可得，，结合即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，等量代换可得； （3）延长至，使得，证明，推出，过点D作交于点N，解即可求解． 【详解】（1）解： 四边形为对角互补四边形， ，， ， ， ， , 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接，   四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 平分． 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， ， N为的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是理解“对角互补四边形”的定义，正确作出辅助线构造全等三角形． 39．（22-23八年级下·四川成都·期末）【一线三等角模型】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除已知边外） 【模型运用】如图2，在等边中，D，E分别为边上的点，，，连接.若，求证：； 【能力提升】如图3，在等边中，，点A，点C分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点A从点E运动到点D，请在图3中作出点B的运动轨迹，并求出点B的运动路程．    【答案】【一线三等角模型】． 【模型运用】见解析 【能力提升】轨迹就是的角平分线； 【分析】【一线三等角模型】如图1，证明即可． 【模型运用】在上截取，构造一线三等角模型，证明，利用全等三角形的性质和等角对等边原理证明即可． 【能力提升】在上截取，构造一线三等角模型，仿照模型运用，来证明，利用全等三角形的性质和等角对等边原理，勾股定理计算即可． 【详解】【一线三等角模型】 如图1，∵，， ∴，， ∴，    在和中， ∴， ∴． 【模型运用】如图，在上截取， ∵等边， ∴， ∴，；    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【能力提升】如图，在上截取， ∵等边，， ∴， ∴，；    ∵等边， ∴， ∴； ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是的角平分线，设角的平分线与的交点为点N， ∴当点A从点E运动到点D，点B的运动轨迹就是的角平分线， ∵等边，， ∴ ∴。 故． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，一线三等角全等模型，勾股定理，熟练掌握模型并活用勾股定理是解题的关键． 40．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）先阅读下面的内容，再解答问题． 已知为的三边，且满足，请判断的形状．有个学生的解答过程如下： 解：， ，（第一步） ，（第二步） 是直角三角形．（第三步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该学生的解答过程，从第_________步开始出现错误； (2)简要分析出现错误的原因； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)忽略了的情况，直接两边同时除以了 (3)当时，为等腰三角形，当时，为直角三角形 【分析】（1）分析该学生的解答过程即可得到答案； （2）根据等式的基本性质，等式的两边同时除以一个不为0的整式，等式仍然成立，即可得到答案； （3）计算到后，分当时和当时，两种情况分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由该学生的解答过程可知，该学生的解答过程，从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：由题意可得： 出现错误的原因是：忽略了的情况，直接两边同时除以了； （3）解：， ， 当，即时，是等腰三角形， 当时，两边同时除以， ， 是直角三角形， 综上所述，当时，为等腰三角形，当时，为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握等式的基本性质、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 41．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，与均为等腰直角三角形，且，，其中，绕着A点逆时针进行旋转，连接，．      (1)若旋转至图1位置时，求证：； (2)若旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线，证明：； (3)若旋转至图3位置时，线段恰好垂直于，此时的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1），得出即可； （2）由推出，由是等腰直角三角形得出，进而推出； （3）连接，设的延长线交于G，和交于点O，设，则，由直角三角形性质可得，从而得出，在中，由勾股定理列出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵与均为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图， 连接，设的延长线交于G， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，根据勾股定理列方程． 42．（22-23八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ． (2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离． (3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离． 【答案】(1)③， (2) (3)或 【分析】（1）分别计算出、和的长，从而得出结果； （2）连接，可得出，，，设，则，在中，由勾股定理得，求得x的值，从而得出结果； （3）分为两种情形：当时，作于点E，由得，进而得出，，在中求得，进而得出，设则由列出，求得r的值，进而求得结果；当时，作，交的延长线于D，同样的方法得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形, ∴， ∴，， ∴， ∵O是的重心 ∴， 故答案为：③，； （2）如图1，    连接， 由题意得：是等腰三角形的底的垂直平分线，是得垂直平分线， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴点O到A的距离是； （3）如图，过点A作，过点B作， 由于点O到等腰三个顶点的距离相等， 是垂直平分线的交点，即点O在上， 当时， 等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即：点O到A的距离为：， 如图3，      当时，作，交的延长线于D， 由上知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 此时点O到点A的距离为：， 综上所述：点O到点A的距离为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，折叠与勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类，充分利用勾股定理． 43．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．    (1)求斜边的长； (2)当点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值． 【答案】(1)10 (2) (3)或22或4或5 【分析】（1）由勾股定理得，计算求解即可； （2）如图1，作于H，则，设，由，可得，即，解得，根据，即，计算求解即可； （3）由题意知，当是等腰三角形时，分，，，三种情况求解：①当，如图2，3，如图2，过作于，则，由，求得，由勾股定理得，，根据，求的值，进而可求的值；如图3，，则，进而可求的值；②当，根据，求的值，进而可求的值；③当，如图4，，由，可得，则，根据，求的值，进而可求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ∴斜边的长为10； （2）解：如图1，作于H，    ∵点P在的角平分线上，， ∴， 设， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：由题意知，当是等腰三角形时，分，，，三种情况求解： ①当，如图2，3， 如图2，过作于，则，    ∵， ∴，解得， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 如图3，，    ∴， ∴； ②当， ∴， ∴； ③当，如图4，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或22或4或5． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 44．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（1）根据题意求出，根据三角形面积公式计算； （2）作于D，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理列式计算； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质解答． 【详解】（1）如图1，在中，，，， ． 由题意得，当时，， 则，     ； （2）当线段恰好平分时，作于D，如图2，    ∵线段平分，，， ，， ． 在中，，即， 解得，， ， ∴当时，线段恰好平分； （3）如图3，当时，，   ，，     ， ， ； 如图4，当时，作于点D，   ， ， 解得，． 在中，， ， ， ；     如图5，当时，，，   ， ． 综上所述，当t为或或时，是等腰三角形． 【点睛】 本题是一道三角形中点动点问题，主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 45．（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）（1）阅读理解 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决 如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明； （3）拓展探究 如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等式的性质得出，再根据证明即可得出结论； （2）结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题； （3）证明，可得，根据点M，N，F分别是和的中点，有，从而可得，通过角的换算即可得,得出，过F作,得，，从而可求出． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，连接，    由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． （3）∵均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵点分别为边中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 过点F作于点G，如图，    ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，会运用全等三角形解决问题． 46．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，过点C在正方形的外部作直线，点D关于直线的对称点为，连接交直线于点G，过点B作交直线于点F，连接交直线于点E．    (1)求证：． (2)求证： (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，，结合可求，进而得出，即可得证； （3）由（2）可得，则，，利用含的直角三角形的性质可求，利用勾股定理可求，，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点D关于直线的对称点为， ∴． ∵， ∴．     ∴，． ∴．             ∴， ∴． （2）证明：连接    ∵点D关于直线的对称点为， ∴， ∴，．     ∵， ∴． ∴， ∴．     ∴， ∴． （3）解：由（2）可知， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴．     ∴， ∵，，， ∴， ∴．         ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质．等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 47．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在等腰中，，，点D是直线上一动点，以为边，在下方作等边．    (1)直接写出的长， ； (2)当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长； (3)当时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）过B点作于H点，利用“三线合一”、勾股定理以及含角的直角三角形的性质即可作答； （2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，先证明，即有，当点D从点B运动到点C时, 点D运动的距离为：（此时点D与点C重合），当点D与点C重合时，，即此时点E运动的距离为，即有，问题随之得解； （3）分情况讨论，当点D在线段上时，作的角平分线，交于点L，并延长至G点，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，即有，，可得即点B、G、E三点共线，根据“三线合一”可得，即有，即可得；当点D在线段之外时，取点T，使得，连接，连接，并延长交于点K， 同理可证明是等边三角形，，即有，，进而可得，可得平分，根据“三线合一”可得，即可得问题得解． 【详解】（1）过B点作于H点，如图，    ∵在等腰中，，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去），即， 故答案为：； （2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，如图，    ∴，， 在等边中，有，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点D从点B运动到点C时, 点D运动的距离为：（此时点D与点C重合）， 当点D与点C重合时，， 即此时点E运动的距离为， ∴， ∵在（1）已求出， ∴点E的运动路径长：； （3）分类讨论： 当点D在线段上时，作的角平分线，交于点L，并延长至G点，使得，连接，如图，    ∴， ∴结合，可知是等边三角形， ∴，， 在等边中，有，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即点B、G、E三点共线， ∵在等腰中，平分， ∴垂直平分线段， 即， ∵， ∴在等腰中，， ∵在中，，， ∴采用（1）中的方法，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时的长为：； 当点D在线段之外时，如图，取点T，使得，连接，连接，并延长交于点K，    同理可证明是等边三角形， ∴， 进而同理证明， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴垂直平分线段， ∵， ∴在等腰中，， ∵在中，，， ∴采用（1）中的方法，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时的长为：； 综上所述：的长为：或者． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及含角的直角三角形的性质等知识，作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 48．（22-23八年级下·北京门头沟·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点P（，）与上的任意一点Q（，），如果线段的长度最短，我们就称线段 “理想距离”．    (1)如图1，点P在线段，上，点Q在线段上，如果为理想距离，那么的长为 ； (2)有射线，和线段，点P在线段上，点Q在射线上； ①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为 ； ②如图3，保持线段在x轴上（点A在点B的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①图见解析，；②图见解析， 【分析】（1）由点在线段，上，点在线段上，可得当与点重合，与点重合时，最小，然后利用勾股定理求得答案； （2）①首先过点作于点，则的长即是的长，易得是等腰直角三角形，则可求得答案；②当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，当在射线的右侧时，的长即为的长，然后分别求得即可求得答案． 【详解】（1）解：点在线段，上，点在线段上， 当与点重合，与点重合时，最小， ，， ， 理想距离； 故答案为：； （2）①如图2，过点作于点，则的长即是的长，       射线，， ， ， ， ； 故答案为：； ②如图3，当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，     ， ， ， ， 即； 当在射线的左侧时，的长即为的长， ， ； 的取值范围为：． 【点睛】此题属于新定义性题目．考查了勾股定理以及等腰直角三角形性质．注意准确做出图形，利用分类讨论思想求解是关键． 49．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，，，，连接、．当时，通过测量，猜想出图中与相等的线段，并加以证明． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师修改条件，并提出新问题，请你解答． 如图2，，，，连接、．当时，请用已学的知识求出的值．    【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，由等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，由“”证明，即可得证； （2）作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，从而得到，，，由“”证明，可得，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，作于，则，由含有角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，   ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作，，交于点，连接，    四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 作于， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含有角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 50．（22-23八年级下·湖北·期末）如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．    (1)求证； (2)如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由． (3)如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图所示，延长交于D点，证明得到，利用三角形内角和定理证明即可证明； （2）如图所示，在上截取，连接，由全等三角形的性质得到，证明，得到，进一步证明是等腰直角三角形，得到，，即可得到结论； （3）先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质和面积法求出的长，进而利用勾股定理和第二问的结论求出的长，再证明是等腰直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，延长交于D点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴    （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（2）得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 109 学科网（北京）股份有限公司 $$