高考模拟测试卷04（考前增强信心卷）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

2025年上海市高考模拟测试卷04（考前增强信心卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1．设全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【解析】由题意可得. 故答案为：. 2．复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【解析】，故其虚部为. 故答案为：. 3．若，则的值是 . 【答案】2 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【解析】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 4．点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【解析】点到直线的距离为， 故答案为： 5．等边的边长是2，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式直接求解即可. 【解析】因为等边的边长是2，与的夹角为， 所以， 故答案为： 6．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 【答案】33 【分析】利用中位数与百分位数的定义求得，从而得解. 【解析】因为，故中位数是，解得； 因为，故75%分位数是，则； 所以 故答案为：33. 7．在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【解析】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 8．已知函数是偶函数，则实数= . 【答案】 【分析】通过，求并验证即可. 【解析】由于为偶函数， 所以，即， 解得：，经验证符合题意， 故答案为： 9．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 ． 【答案】/ 【分析】应用排列、组合数求出甲、乙分别选择了2所不同的学校，恰有一位老师选择学校开展讲座的选法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【解析】由题意，甲、乙分别选择了2所不同的学校有种， 恰有一位老师选择学校开展讲座，甲或乙选学校有种，另一位老师在其它4所学校中任选一种有种， 所以在甲、乙分别选2所不同的学校条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为. 故答案为： 10．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图所示），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计要求其横断面面积为，且高度不低于．记防洪堤横断面的腰长为x，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长 m． 【答案】 【分析】根据题意可得横断面高度为，可求得，由梯形的面积可得，由，可得，进而可求得，利用基本不等式求得的最小值即可得结论. 【解析】由题意可得，故，横断面高度为， 故，即，∴梯形的面积为， 即，化简得．由得， 又有，解得． 因此， 当且仅当，即时，等号成立． 故当防洪堤的腰长时，横断面的外周长有最小值． 故答案为：. 11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 条． 【答案】 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【解析】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 12．在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可知连续项共有种情况，然后分类讨论，分、和，根据题意讨论即可. 【解析】因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情况， 若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为的数列一定是“阶可重复数列”； 若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”， 则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值为. 【点睛】思路点睛： 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、单选题 13．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【解析】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 14．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 【答案】C 【分析】根据散点图，可判断A选项，加入点后，回归效果变差，从而可判断B，C，D选项. 【解析】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误； 对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差， 所以相应的样本相关系数的绝对值会变小， 根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误. 故选：C. 15．在四棱锥中，若，则实数组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D． 【解析】 对于选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故A正确； 对于选项B，若，则，故B错误； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：A． 16．已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若对应的根的个数为3，3，3即可判断D. 【解析】由题意可得，若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候， 的取值只要2个，若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，A有可能； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的隹合的个数为，C有可能； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，D有可能. 故选：B. 三、解答题 17．如图为正四棱柱，其中．    (1)求矩形绕旋转一周所得几何体的表面积； (2)若E为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式计算得解. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【解析】（1）在正四棱柱中，，矩形的边， 则矩形绕旋转一周所得几何体是以为底面圆半径，为高的圆柱， 所以所求表面积. （2）在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 令平面的法向量，则， 取，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 19．已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (3)见解析. 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）计算出的值，即可判断； （3）利用超几何分布求出分布列，然后利用期望和方差的公式求解即可. 【解析】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. 20．已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得出的值，由此可求得该双曲线的离心率的值； （2）不妨设点位于第一象限，利用双曲线的定义和已知条件求出、，结合勾股定理得出，再利用三角形的面积公式即可得解； （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上，连接、，设点、，设直线的方程为，分析可知，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合可得出，令，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得正实数的取值范围. 【解析】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为. （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故. （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【解析】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市高考模拟测试卷04（考前增强信心卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，若集合，则 ． 2．复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 3．若，则的值是 . 4．点到直线的距离为 ． 5．等边的边长是2，则 . 6．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 7．在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 8．已知函数是偶函数，则实数= . 9．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 ． 10．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图所示），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计要求其横断面面积为，且高度不低于．记防洪堤横断面的腰长为x，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长 m． 11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 条． 12．在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 14．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 15．在四棱锥中，若，则实数组可能是（   ） A． B． C． D． 16．已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图为正四棱柱，其中．    (1)求矩形绕旋转一周所得几何体的表面积； (2)若E为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 19．已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$