专题01 数与式（17题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题01 数与式 题型概览 题型01 实数的分类 题型02 相反数、倒数、绝对值 题型03 平方根、算数平方根、立方根 题型04 数轴 题型05 科学记数法 题型06 实数比较大小 题型07 实数的运算 题型08 代数式求值 题型09 因式分解 题型10 整式的运算 题型11 规律的探究（数式、图形） 题型12 分式有无意义的条件 题型13 分式的化简及求值 题型14 二次根式有意义的条件 题型15 二次根式的运算 题型16 二次根式的估值 题型17 二次根式比较大小 01实数的分类 1．（2025·山东烟台·一模）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 02相反数、倒数、绝对值 2．（2025·山东东营·一模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·一模）在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·一模）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 5．（2025·山东潍坊·一模）－2025的绝对值是（   ） A．2025 B．－2025 C． D． 6．（2025·山东菏泽·一模）已知，那么的最小值是（   ） A．－2025 B． C．0 D．2025 03 平方根、算数平方根、立方根 7．（2025·山东泰安·一模）一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东淄博·一模）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 9．（2025·山东聊城·一模）27的立方根为 ． 04 数轴 10．（2025·山东济宁·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东青岛·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 12．（2025·山东青岛一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 13．（2025·山东临沂·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 05 科学记数法 14．（2025·山东青岛·一模）2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东淄博·一模）开展“美好‘食’光”校园系列活动是贯彻习近平总书记关于制止餐饮浪费行为指示精神的重要举措，纠正学生不良饮食习惯，倡导适量点餐，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪分别达到800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的“口粮”．“2亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山东东营·一模）飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为 ． 17．（2025·山东聊城·一模）把万元用科学记数法表示为 元． 18．（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 06 实数比较大小 19．（2025·山东枣庄·一模）下列各数中最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 20．（2025·山东临沂·一模）下列实数：，，，中绝对值最大的是（   ） A． B． C． D．0 21．（2025·山东日照·一模）在这四个实数中，最小的是（   ） A． B．1 C． D．0 22．（2025·山东济南·一模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（　　）    A． B． C．1 D．2 07 实数的运算及应用 23．（2025·山东淄博·一模）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·山东威海·一模）计算： ． 25．（2025·山东德州·一模）火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东滨州·一模）1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例 如： 这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·山东滨州·一模）计算：. 28．（2025·山东东营·一模）计算： (1)． 29．（2025·山东济南·一模）计算：． 30．（2025·山东青岛·一模）计算 ． 08 代数式求值 31．（2025·山东淄博·一模）已知，则代数式的值为 ． 32．（2025·山东德州·一模）已知，则的值是 ． 09 因式分解 33．（2025·山东德州·一模）因式分解： ． 34．（2025·山东菏泽·一模）分解因式： ． 35．（2025·山东烟台·一模）分解因式： ． 36．（2025·山东济南·一模）分解因式： 37．（2025·山东东营·一模）因式分解： ． 10 整式的运算 38．（2025·山东东营·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·山东济宁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·山东青岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 42．（2025·山东泰安·一模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 11 规律的探究（数式、图形） 43．（2025·山东临沂·一模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ． 44．（2025·山东济宁·一模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则 ． 45．（2025·山东临沂·一模）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 12 分式有无意义的条件 46．（2025·山东青岛·一模）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 47．（2025·山东济南·一模）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13 分式的化简及求值 48．（2025·山东泰安·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 49．（2025·山东淄博·一模）当时，试求代数式的值． 50． （2025·山东威海·一模）先化简，再求值：，其中． 51． （2025·山东东营·一模）（1）计算：． （2）化简求值：，其中． 52． （2025·山东东营·一模）（1） 计算： （2）化简求值 ，其中 53． （2025·山东东营·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 54．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 55．（2025·山东烟台·一模）【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 14 二次根式有意义的条件 56．（2025·山东威海·一模）若有意义，则的取值范围是 ． 57．（2025·山东滨州·一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 58．（2025·山东日照·一模）函数中自变量的取值范围是 ． 15 二次根式的运算 59．（2025·山东枣庄·一模）计算的结果为 ． 60．（2025·山东德州·一模）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为 ． 61．（2025·山东滨州·一模）计算的结果是 ． 62．（2025·山东临沂·一模）计算 ． 16 二次根式的估值 63．（2025·山东青岛·一模）数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（   ） A． B． C． D． 64．（2025·山东德州·一模）已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值 ． 17 二次根式的比较大小 65．（2025·山东临沂·一模）比较大小 ． 1．（2025·山东青岛·一模）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）比数轴上的点表示的数大2的数是（   ） A．2 B． C．1 D．0 3．（2025·山东济宁·一模）下列实数的绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东临沂·一模）据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东威海·一模）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．例如：．若，那么的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东淄博·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东聊城·一模）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 8．（2025·山东日照·一模）分解因式： ． 9．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 10．（2025·山东烟台·一模）当x＝2+，y＝2﹣时，的值为 ． 11．（2025·山东聊城·一模）在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 12．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：； （2）化简：． 13．（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 14． （2025·山东德州·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为的正整数． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 题型概览 题型01 实数的分类 题型02 相反数、倒数、绝对值 题型03 平方根、算数平方根、立方根 题型04 数轴 题型05 科学记数法 题型06 实数比较大小 题型07 实数的运算 题型08 代数式求值 题型09 因式分解 题型10 整式的运算 题型11 规律的探究（数式、图形） 题型12 分式有无意义的条件 题型13 分式的化简及求值 题型14 二次根式有意义的条件 题型15 二次根式的运算 题型16 二次根式的估值 题型17 二次根式比较大小 01实数的分类 31．（2025·山东烟台·一模）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误； 选项，是无理数，符合题意，选项正确； 选项，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误； 选项，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误． 故选：． 02相反数、倒数、绝对值 2．（2025·山东东营·一模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 3．（2025·山东淄博·一模）在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数，相反数是它本身的数只有． 【详解】解：A选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故A选项不符合题意； B选项：根据相反数的定义可知，的相反数还是，故B选项符合题意； C选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故C选项不符合题意； D选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故D选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025·山东东营·一模）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 5．（2025·山东潍坊·一模）－2025的绝对值是（   ） A．2025 B．－2025 C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：－2025的绝对值是， 故选：A． 6．（2025·山东菏泽·一模）已知，那么的最小值是（   ） A．－2025 B． C．0 D．2025 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键； 根据绝对值的特点可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是0； 故选：C． 03 平方根、算数平方根、立方根 7．（2025·山东泰安·一模）一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题考查的是求平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义求出这个正数，即可求解． 【详解】解：一个正数的正的平方根是， 这个正数是， 比这个正数大的数的平方根是， 故选：D． 8．（2025·山东淄博·一模）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 9．（2025·山东聊城·一模）27的立方根为 ． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 04 数轴 10．（2025·山东济宁·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，解题的关键是理解数轴上数从左到右逐渐增大即可判断． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴，，，， ∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确， 故选：C． 11．（2025·山东青岛·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小的比较方法，首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是d. 故选：D． 12．（2025·山东青岛一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、不等式的性质 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 13．（2025·山东临沂·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，得，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：解：由数轴可知，， ∴，， A、由数轴可知，，那么的范围是 ，而的范围是，所以，该选项错误，不符合题意； B、因为，根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得 ，所以该选项错误，不符合题意； C、由于，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得 所以该选项错误，不符合题意； D、因为，所以的范围是，则的范围是；又因为，所以的范围是，则的范围是．所以，故此选项符合题意； 故选：D． 05 科学记数法 14．（2025·山东青岛·一模）2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 15．（2025·山东淄博·一模）开展“美好‘食’光”校园系列活动是贯彻习近平总书记关于制止餐饮浪费行为指示精神的重要举措，纠正学生不良饮食习惯，倡导适量点餐，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪分别达到800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的“口粮”．“2亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是学握科学记数法的形式（其中为整数）． 先确定的值，再根据原数绝对值确定的值． 【详解】2亿，将200000000转变为的形式，， ， 故选D． 16．（2025·山东东营·一模）飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000002； 故答案为：． 17．（2025·山东聊城·一模）把万元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万 ， 故答案为：． 18．（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 【答案】千 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 06 实数比较大小 19．（2025·山东枣庄·一模）下列各数中最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断． 【详解】∵， ∴最大的数是， 故选：D． 20．（2025·山东临沂·一模）下列实数：，，，中绝对值最大的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的绝对值、估计无理数大小等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴绝对值最大的是， 故选：B． 21．（2025·山东日照·一模）在这四个实数中，最小的是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较两负数的大小法则是其绝对值大的反而小，并且0大于一切负数．题型较好，是一道容易出错的题目． 根据实数比较大小方法比较即可． 【详解】解：， 最小的是， 故选：A． 22．（2025·山东济南·一模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（　　）    A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】由数轴可知在的左边，即，然后逐项分析即可作答． 【详解】解：由数轴可知， 观察各项，则， 只有A选项的满足条件，即 故选：A． 07 实数的运算及应用 23．（2025·山东淄博·一模）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义、负整数指数幂、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简多重符号、化简绝对值，负数定义，先根据相关性质内容进行化简，再与0比较，小于0即为负数，进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 24．（2025·山东威海·一模）计算： ． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 25．（2025·山东德州·一模）火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法运算，求最高气温和最低气温的差值，用最高气温减去最低气温，再根据有理数减法法则计算． 【详解】已知火星赤道夏季白天最高温度是，晚上最低温度是，则温差为． 根据有理数减法法则，． 故选：D． 26．（2025·山东滨州·一模）1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例 如： 这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义．根据用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可求解． 【详解】 解：根据题意，表示的是． 故选：D． 27．（2025·山东滨州·一模）计算：. 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义逐项化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 28．（2025·山东东营·一模）计算： (1)． 【答案】(1) 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算等 【详解】（1）解： ． 29．（2025·山东济南·一模）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了零指数幂的性质，二次根式化简以及负指数幂的性质．直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 30．（2025·山东青岛·一模）计算 ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据二次根式、零指数幂、负整数指数幂和特殊三角函数值化简后，再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 08 代数式求值 31．（2025·山东淄博·一模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】18 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：18． 32．（2025·山东德州·一模）已知，则的值是 ． 【答案】25 【知识点】平方差公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 09 因式分解 33．（2025·山东德州·一模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 34．（2025·山东菏泽·一模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（2025·山东烟台·一模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 36．（2025·山东济南·一模）分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法、公式法因式分解，掌握全平方公式的结构特征是正确解答的前提．先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：； 37．（2025·山东东营·一模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 10 整式的运算 38．（2025·山东东营·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】此题考查了合并同类项、乘法公式、积的乘方、同底数幂除法等知识，根据法则逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 39．（2025·山东济宁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，根据合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 40．（2025·山东青岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项法则、全平方公式、幂的乘方法则、同底数幂相乘法则是银题的关键． 根据合并同类项法则计算并判断A；根据全平方公式计算并判断B；根据全平方公式计算并判断C；根据同底数幂相乘法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 41．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】幂的混合运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 42．（2025·山东泰安·一模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂除法，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故C错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 11 规律的探究（数式、图形） 43．（2025·山东临沂·一模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ． 【答案】20 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化规律，当时，从1，2，3⋯⋯9中，取两个数的和大于9，由列举法找到规律可得． 【详解】解：这两个数分别是： ，，，，，，，共8种； ，，，，，共6种； ，，，共4种； ，共2种； ∴； 故答案为：20． 44．（2025·山东济宁·一模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则 ． 【答案】81 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用规律进行求解． 【详解】解：由定义得：， ∴，， ，， ，， ，…… ∴每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：81． 45．（2025·山东临沂·一模）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】780 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知后一个图形比前一个图形多4个三角形，进而得到，进而求出，利用题干给定的计算方法进行计算即可． 【详解】解：观察可知后一个图形比前一个图形多4个三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：780． 12 分式有无意义的条件 46．（2025·山东青岛·一模）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有无意义的判断方法，分式有意义的条件：分式的分母不等于 0 ，分式无意义的条件：分式的分母等于 0 ． 根据分式有意义的条件可得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 47．（2025·山东济南·一模）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、实数概念理解 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 13 分式的化简及求值 48．（2025·山东泰安·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 49．（2025·山东淄博·一模）当时，试求代数式的值． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．先利用分式的性质和运算法则化简，再由得，将合适的值代入化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：； 因为， 所以． 当时，分式无意义， 所以只取． 当时，原式． 50．（2025·山东威海·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案． 【详解】解：原式 当时，原式， 故答案是： ． 51．（2025·山东东营·一模）（1）计算：． （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式． 52．（2025·山东东营·一模）（1） 计算： （2）化简求值 ，其中 【答案】（1）7；（2）； 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则、特殊角的三角函数、二次根式的运算是解题的关键． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值、积的乘方等法则计算即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式 ． 53．（2025·山东东营·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）0；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）先进行乘方、去绝对值、零次幂、负指数幂运算，特殊角三角函数运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后进行整体代换计算，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵x满足， ∴， ∴原式． 54．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】，当时，原式． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后求出不等式组的整数解，然后把有意义的x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为，，， ∵当，1，时，分式无意义， ∴当时，原式． 55．（2025·山东烟台·一模）【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考分式加减以及化简求值，熟练掌握分式加减的运算法则是解题关键．先利用将后式的分母化简，然后约分，最后进行减法运算，代入，计算即可． 【详解】解： 当时，原式 14 二次根式有意义的条件 56．（2025·山东威海·一模）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】x>2/2＜x 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论． 【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x>2， 故答案为：x>2． 57．（2025·山东滨州·一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（2025·山东日照·一模）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 15 二次根式的运算 59．（2025·山东枣庄·一模）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 60．（2025·山东德州·一模）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为 ． 【答案】1 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 61．（2025·山东滨州·一模）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为： 62．（2025·山东临沂·一模）计算 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的化简以及合并同类二次根式是解题的关键．先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 16 二次根式的估值 63．（2025·山东青岛·一模）数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数形结合的思想观察数轴确定点的位置是解题的关键． 先估算选项中的无理数，再根据数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵，， ∴， ∴从数轴可以得到表示的实数可能是， 故选：A． 64．（2025·山东德州·一模）已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用二次根式的性质化简、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，二次根式的性质，熟练掌握不等式的性质和二次根式的性质是解题的关键．先利用不等式性质变形为，再利用二次根式的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值可以为或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 17 二次根式的比较大小 65．（2025·山东临沂·一模）比较大小 ． 【答案】/大于 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即可； 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴, 故答案为：． 1．（2025·山东青岛·一模）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·山东济南·一模）比数轴上的点表示的数大2的数是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数大小比较 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，先得到表示，再判断即可. 【详解】解：∵表示， ∴比数轴上的点表示的数大2的数是， 故选：C 3．（2025·山东济宁·一模）下列实数的绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数绝对值的计算，实数大小的比较，掌握：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键；分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断． 【详解】解：由于，， 而， 故的绝对值最大； 故选：A． 4．（2025·山东临沂·一模）据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：90.2亿． 故选C． 5．（2025·山东威海·一模）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．例如：．若，那么的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：， 根据新运算， 故选：D． 6．（2025·山东淄博·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则和完全平方公式是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 7．（2025·山东聊城·一模）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】x≥0且x≠ 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：x≥0且2x−1≠0， 解得x≥0且x≠， 故答案为x≥0且x≠． 8．（2025·山东日照·一模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】2 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 10．（2025·山东烟台·一模）当x＝2+，y＝2﹣时，的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的化简求值 【分析】首先将所给的式子分母有理化，然后再代值求解． 【详解】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝2，（x+1）（y+1）＝6； 原式＝ ＝ ＝ ＝＝． 故答案为： 11．（2025·山东聊城·一模）在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，； 故答案为：． 12．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）2 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、异分母分式加减法、负整数指数幂 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，实数的运算，绝对值，分式的加法运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）根据实数的运算方法，特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）根据分式的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）解：原式． ； （2）解：原式 ． 13．（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，3 【知识点】分式化简求值、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次方程，先计算分式括号里面的，然后再计算分式乘法，然后解一元一次方程求出x，最后将x的值代入化简后的分式计算即可． 【详解】解：原式= = = =； 由方程，得：． ∴原式． 14．（2025·山东德州·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为的正整数． 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、分式化简求值、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂，立方根定义，进行求解即可； （2）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 为的正整数，且和2， 当时，原式． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$