15 2025年江西中考夺分训练(七)二次函数综合探究-【超级考卷】2025年中考数学（江西专用）

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(3)①证明：如图②，过点B分别作BM⊥AD,BN⊥ :∠ABE=∠ADG=90°，AB=AD, DC,垂足为M,N,则∠BMA=∠BNC=90°. F,G,D三点共线 DB平分∠ADC,∴.BM=BN. 由旋转的性质可知∠DAG=∠BAE, 又AB=CB, AG=AE,DG=BE, .Rt△ABM≌Rt△CBN, ∴.∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠FAB+∠DAG .∠BAM=∠C =45°， :∠BAM+∠BAD=180°， 图② ∴.∠FAG=∠FAE .∠C+∠BAD=180°， 又AF=AF, ,四边形ABCD是“对补四边形” ∴.△AFG≌△AFE(SAS), ②由①知四边形ABCD是“对补四边形”， .EF=FG=DF-DG=DF-BE. .∠ABC+∠ADC=180 ②EF=BE-DF. :∠ABC=90°，∴∠ADC=90 (3)由(1)知，EF=DF+BE. 设AD=a,DC=b,则AC=AD+CD=a2+6,S△￥ 在R△ABE中，BE=√(35)-6=3， -AD CD-tab. .CE=6-3=3. 设EF=x,则DF=x一3， .AB=BC, .CF=6-(x-3)=9-x 六AB=BC=z(a+b), 在R1△CEF中，CF+CE=EF, 即(9-x)+3=x, CB-TAB- (a+. 解得x=5, ∴.EF的长是5. ■技巧点拨 36 1 此题主要考查了儿何图形的旋转变换，是一道综 i(a+b) 即()广-4+1=0. 合题，难度较大，解题的关键是掌握旋转的性质：对应 角相等，对应线段也相等， 解得号=2士8， 9.解：(1)①90°②5 六tan∠ACD=6=2士B. (2)AE+CF=EF 152025年江西中考夺分训练（七） 证明：如图①，延长EA至点K,使得AK=CF,连 接BK. 二次函数综合探究 四边形ABCD是“对补四边形”， 【详解详析】 .∠BAD+∠C=180. 1.解：(1)根据题意，可得c.=0,A(4,0),则m,=4 102 中考数学 .me=4+2=6,即A(6,0). 解得m=24,=一1（不符合题意，舍去）， 将A(6,0)代人为=一x2+bx 即n的值为24. 得0=一6十6b,解得6=6， 【解析】(2)②易得点A.的纵坐标为(1十1). .抛物线的解析式为边=一x十6x. 由(1)②得k=h十4，∴.点A.的坐标为(n十1)一4，(n (2)①y=-x2+12x(6,36) +1)2), ②y.-1=-r2+(2m十4)x(n+2,(+2)) .A1m(20262-4,2026). (3)①存在. 由题意，得y,=-[x-(+1)+4门+(n+1)”, 由(1)(2)可得点P,的坐标为(10,100)，点Pm的坐标 令-[x-(n十1)2+4]+(n+1)2=0, 为(11,121). 解得x,=十n一4，x=n十3n一2， 设直线P,Pm的解析式为y=kx十b, .C-1(n+n-4,0),C.(n2+3n-2,0), 10k十b=100, k=21, 则 解得b=-10. .C2(2025+6073,0). 11k+b=121, 3.解：(1)由题意可得B(8,0). ∴直线P,P的解析式为y=21x-110. :△OA,B,为等边三角形， :直线P,A,与P,P垂直，则可设直线PA,的解析 .A(4,-43). 式为y=一27+a 将B,(8,0),A(4,一43)分别代入y,=ax2十bx, 将P,10.100)代人，得100=-分×10+a 64a1+8b.=0, 得 解得 a, 4 16a+4b.=-4V3, 解得。=2”，即直线卫A,的解析式为y=一产 h=-23, +2110 21Γ “和谐抛物线℃的解折式为%-气-2,3云 令-分十20=0，解得=210， (2)①(m,-3m) ②ma.=√5 ,.2n十2=2110，解得n=1054, .当n=1054时，直线P,A与P,P垂直. ③.-1-2 ②d十d2+d十…十dn1十d.=i+4m. 2.解：(1)①y=一x+4 (3》由(2)@得“和谐抛物线”℃的解析式为y.= ②由抛物线的轴对称性可得C(2,0). -2原x=5(x-m-5n 设抛物线边=一(x一h)产十k, A(0,4),D(-4,0), 当k时以=停-- .直线DA:y=x+4. ,抛物线为的顶点在直线DA,上， ①当x=k=1时， ∴.k=h+4..为=-(x-h)2+h+4. 易得D,(1,-3),D(1,- 9.0a,-55. 将C(2,0)代人为=-(x-h)+h+4,得0=一(2 h)+h+4, 解得h,=0(不符合题意，舍去)，h:=5, 器 月+38 2 =3. _33+5v3 .抛物线为=-(x-5)+9. 2 3 (2)①(8.0)(12,16) ②当x=k时， ②(2025+6073,0)(2026-4,2026) (3)由(2)可得y.=-[x-(n十1)十4]+(n十1)， 易得D,（马使-+1-a-1 AH=(n+1),y-=-(x-㎡+4)2+n, D.k.5(k-m-5 令-(x-n+4)2+n=0 解得x=n2+n-4,x=n2一n-4, D,--1r-5a+1 .点C-的坐标为(n十n-4,0), ∴.C.1H=[(n+1)2-4]-(m+n-4)=n+1, D卫”中1一5m1)-分k+8" 六tan∠C1A,H=CH-n+L1 A.H(n+1)万=25' x-w-1+(n+1) 答案详解 103 =+1 -1 “点A在点B左侧G=7二☑ 4 4.解：(1)h十m=0n+表=0 (2)b=mc+n=0 将5=7二亚代人①，解得d=3+亚 4 8 (3)-x2-4.x-3 5.解：(1)y=a.x2-2ax-2=a(x-1)-a-2, ①：抛物线L1:y=x-4z十3=(x-2)2-1, .抛物线C的顶点M的坐标为1，一a-2). ∴.点E(2,-1). 抛物线C与x轴只有一个公共点， ,抛物线L:y=一x2-4x一3=-(x十2)+1. 顶点M在x轴上， .点F(-2,1) .-a-2=0 如图，连接EF,可得直线EF的解析式为y= .a=-2. 2 (2):直线1：y=2x一a与x轴、y轴分别交于A,B :四边形AFDE为菱形， y 两点， ∴.EF⊥AD. 又直线AD经过原点O, A(号，0)，B0-a ∴.可得直线AD的解析式 设直线1与抛物线C,:y=a.x一2a.r-2的对称轴直线 为y=2x, x=1交于点C,则C(1,2-a),CM=(2-a)-(-a ∴.可设点A(x1,2x),点B(x,2x) 2)=4, 令x2一4x十3=2x,即x2一6.x十3=0，由根与系数的关 s=×40A-×4号-=a 系得x十=6，x=3, (3)①根据题意，得抛物线C的顶点V与抛物线C 易得AB=√(x一x)+(2.x一2x)厂=5× 的顶点M关于点P(t,一2)对称， √(-x)F=V5X√（十x4)-4.x=5× ∴.顶点N的坐标为(21-1，a一2)。 √6-4X3=2√30. :点N恰好落在直线1上， ②由题意可得OA=OD,OE=OF, .a-2=2(21-1)-a, .四边形AFDE为平行四边形. .a=2. 设点A(x,dx,),当四边形AFDE的面积为4时， ②，当-2≤x≤1时，对于抛物线C,y的值随x的增 .S6ke=1. 大而减小，且抛物线C,的对称轴为直线x=1, 如图，过点E作EH⊥x轴于点H, ∴.抛物线C开口向上，a>0. ,.抛物线C开口向下， :5am=号×2X1=1 当-2≤x≤1时，对于抛物线C,y的值随x的增大而 .点A不可能位于x轴下方， 减小，设抛物线C:的对称轴为直线x=m,则m≤一2. 即点A在第一象限. :直线x=1和直线x=m关于点P(,一2)中心对称， 过点A作AM⊥y轴于点M, ∴点P到这两条直线的距离相等， 过点E作EN⊥y轴于点N, .1-1=1-m,m=21-1, 六Sae=SEE一SaaM一Sawg=Z(x十2)(d红十 .21-1≤-2， 1D-24·d-×1x2=4t2 2 6.解：(1)①②① 西+2d=1, (2)①：将抛物线L向右平移k个单位长度得到抛物 2 线L1,抛物线L的对称轴是直线x=一2， da=1-7x①. .抛物线1，的对称轴是直线x=一2. 又：点A(1,d.x)在抛物线L:y=x-4x+3上， 抛物线L与抛物线L1关于y轴对称， .-2十k-2=0,.k=4, d1=x-4x1+3②. .抛物线L的解析式为y=4x+16.x-5=4(x+2) 由①@可得1-名=-4十3 -21. 解得=7土17 .抛物线L的解析式为y=4(x十2一4)一21=4x 4 16x-5. 104 中考数学 ②y=kx2+4kx-5=k(x+2)”-4k-5, 过点M,作ME⊥x轴，垂足为E. .抛物线L的顶点坐标为（一2，一4k一5）， 'BM,=BC,∠BEM=∠BPC=90°， 将抛物线L向右平移k个单位长度后得到的抛物线 ∠MBE=∠CBP, L,的顶点坐标为(k一2，一4k一5)， .△EMB≌△PCB, x=k-2,则k=x+2, .BE=BP=2,EM =CP=1, ∴y=-4k-5=-4(x+2)-5=-4.x1-13. .OE=1, :k>0, .M(1.1). .x1+2>0, .x1>-2, 当=1时y=-号号十2=1 y与x的函数关系式为出=一41-13(x1>一2). ·点M,在抛物线上，故符合题意。 ③在y=kx+4k.x-5中，令x=0,得y=-5, ②当A为直角顶点时，过点A作直线！⊥AB,在直线l ∴.B(0,-5). 上分别取点M,M,使得AM,=AM=AB,连接 A是抛物线L的顶点， BM,BM,,得到以AB为直角边的等腰直角三角形 .由(2)②可知点A是直线y1=一4x一13(1>一2) ABM2和等腰直角三角形ABM. 上的动点， 过点M作MF⊥y轴，垂足为F,可证△AM,F ∴.可设点A的坐标为(a,-4a-13)(a>一2)， ≌△BAO. 则AB=√a+(-5+4a+13)F=√17a+64a+64 则MF=AO=2,AF=OB=1, -√(e++ .OF=1, ·点M的坐标为(2，一1). 当a=一号时，AB取得最小值，最小值是8。 同理可得M(-2,一3). 即A,B之间的最小距离是87 当=2时y=-号×4-名×2+2=-1：当=-2 17 7.解：(1)如图①，过点C作CP⊥x轴于点P, 时y=-名×4-含×(-2》+2=1， 由旋转的性质可得BA=BC, ,点M在抛物线上，点M不在抛物线上： ,.可证得Rt△AOB2Rt△BPC, 综上所述，点M的坐标为(1,1)或(2，一1D. .OA=BP=OP-OB=3-1=2, (3)存在.点V的坐标为(-3一5,0)或(22,0). .点A的坐标为(0，-2)， 【解析】(3)连接CD,以CD为对角线作正方形DHCG, 点D的坐标为(0,2). 则HC=DG=CG=3. 将C(-3,-1),D(0,2)分别代人y=a.x2 ①如图②，以H为圆心，HC的长为半径画圆，交x轴 于两点，则左边的交点为符合题意的点N,连接NH, 9a- ×(-3)+c=-1. 得 2 a=- 解得 设HC交x轴于点1.则NI=√N一HT= =2 c=2. √3-2=√5， 故抛物线的解析式为y= 2x+2. .ON=3+√5，即点N的坐标为（一3-√5,0） ②@如图③，以点G为圆心，DG的长为半径画圆，交x 轴于两点，则右边的交点为符合题意的点V,连接 GN,则ON=√GN-OG=√32-1下=2√2，即点N 的坐标为(2√②，0). 综上所述，点N的坐标为(-3一√5,0)或(2√2,0). (2)存在. 如图①，分以下两种情况讨论： ①当B为直角顶点时，延长CB至点M,,使BM,=BC =AB,连接AM,则△ABM,是以AB为直角边的等 腰直角三角形， 图3 105 答案详解 8.解：(1)把点A(一3,0)，C(0,3)的坐标分别代入y= -+br+c. 1-9-3b+c=0. 1b=-2. 得 解得 c=3, c=3, 故抛物线Q,的表达式为y=一-2x十3. (2)存在. 图2 图3 如图①，过点E作ER⊥x轴于点R, 如图③，过点C作CM⊥KB于点M,延长MC交抛物 线Q于点J,连接JK. 当y=3时，x=-2或x=0(會去)，J(-2,3), ∴.JM=2十1=3. cH=g+3-3,ck=1T=E.∴ -￥- 图① 又：∠JMK=∠HCK, ∴.∠AER+∠EAR=90°. .△JMK∽△HCK,∴.∠KJM=∠CHK, ,四边形DAEF是正方形， ∴当点P在y轴左侧时，点P与点重合，坐标为 ∴.AE=DA,∠EAD=90°， (-2.3) .∠EAR+∠DAO=90°， 综上可知，点P的坐标为(1,0)或（一2,3）. ∴.∠AER=∠DAO 9.解：(1)r=2x=2 又：∠ERA=∠AOD=90°， (2)令x2-4x+3m=.x2-4.x+3m, ∴.△AER≌△DAO, 整理得(m一1)(x一4x)=0. ∴.AR=DO=1,ER=AO=3, n≠1，∴x2-4x=0,解得x=0,x=4, ∴.OR=OA-AR=3-1=2, .点E的坐标为(0,3m),点F的坐标为(4,3m), .E(一2,3).当x=一2时，y=-4十4+3=3， .直线EF∥x轴 ∴点E在抛物线Q上，且证明点E不可能位于点A (3)①：y=x2-4x+3m=(x-2)2+3m-4, 下方 .M(2,-4十3m). 过点F作FI⊥y轴于点I, y=m.x2-4m.x+3m=m(x-2)-m,∴.N(2,-m). 同理可证明△FID∠2△DOA, 由(2)得直线EF:y=3m. .F1=DO=1,D1=AO=3, ”点M与点N关于直线EF对称， ∴.10=D1-D0=3-1=2,.F(1,2). ∴.一m一3m=3m一（一4十3m),解得m=一1. (3)存在. ②存在.m=3或m=一1. y=-x2-2x+3=-(x+1)°+4， 10.解：(1)将(0,3)代入y=ax2十bx十c,得c=3, 将(1,0)，(2，-1)分别代人y=ax+bx+3, ∴.抛物线Q的表达式为y=一(x一1)+4，∴.H(3,0). (a+b+3=0, {a=1, 由(1)(2)得抛物线Q的顶点坐标为（一1,4），与y轴 得 解得 4a+2b+3=-1, b=-4 的交点坐标为(0,3).抛物线Q的顶点坐标为(1,4)， ∴y=x2-4x+3. 与y轴的交点坐标为(0,3)， (2)03 ∴.抛物线Q,Q关于y轴对称， (3)猜想：如图，点A的运动轨迹为抛物线， ∴.KBLx轴. 如图②，过点K作KG⊥y轴于点G,并连接CB, 则GK=CG=1,∴.∠GCK=45 OC=OH=3,.∠OCH=45°， 2 ,.∠KCH=90°=∠KBH 456 ∴点C,B均在以KH为直径的圆上， 789 -2 .∠CBK=∠CHK, .当点P在y轴右侧时，点P与点B重合，坐标为(1,0) 106 中考数学 点A'的纵坐标的最小值为一3 .图象T与x轴至少有1个公共点. (4)由(3)得抛物线y=x2一4x十3的对称轴为直线x 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公 =2. 共点. <,对于十<2k,都有y> (2)存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有“整 ∴结合函数图象，分三种情况讨论 点” ①当x<x<2时，y>为， 当a=一2时，由1)可知图象T与x轴的公共点不是 则x1十x2<4,2k≤4，.k≤2： ②当工<2<x时，y>为， “整点”，不符合题意： 则2-x1>4一2，即x1十x<4,∴.2k≤4..k≤2： 当a≠-时：在y=(4a+2)r+(9-60)r-4a十4 ③当2<x4<时，y<.(舍去) 中，令y=0,得0=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4,解 综上，k≤2 得6=一（合去）=8号 4a-4 【解析】(3)由(1)得y=x-4x+3=(x-2)-1, .抛物线的顶点坐标为(2，一1). -物司2-20是禁数， 6 当点P的坐标为(2，一1)时，点A'位于其运动轨迹的 最低点， 六当6能被2☑+1整除时，2名是整数， 此时，十中=-1， ,.2a十1=-6或2a十1=-3或2a+1=-2或2a十1 2 yx=一3，即点A'的纵坐标的最小值为一3. =-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1 =6, 命题趋向精练 解得a=-2或a=-2或a=-号或a=-1或a=0 3 162025年江西中考命题趋向精练卷（一） 或a=号或a=1或a=号 5 【详解详析】 a是整数， 1.43128165【解析】由题意.得10a十3一31=12，解 .a=-2或a=-1或a=1或a=0. 得a=4,.这个数是4312.由题意，得10a十b-(10b+ 3.解：(1)3n c)=10c+d,整理，得d=10a-9b-11c.三位数ab和 (2)(n+1) 2 bl的和为100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b +c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b.三位 (3)由题意，得m卫=6n, 2 数a和d的和能被9整除，110a+101b 解得m=0(舍去)，=11， 9 ,该正整数n的值为11. 108a+99h+2a+2b=12a+116+2(a+),.2a+@ 9 9 4.(1)(2,-6)(2)a≥1或a<0【解析】(1)当a= 是整数.，“递减数”abca的各数位上的数字互不相等 1时， 且均不为0，.a十b=9,且当a=8,b=1时，“递减数” y=x-4x-2=(x-2)-6, aba最大，此时为81cd,且81-(10十c)=10c十d,整理 .抛物线的顶点坐标是(2，一6) 得11c十d=71.当c=6,d=5时，满足条件，且“递减 (2)y=a.x2-4a2x-2, 数”81d最大，.满足条件的数的最大值为8165 六对称轴为直线工=-二，4c=2a. 2a 2解：D证明：①若4如+2=0，解得a=- 当x=0时，y=一2，则抛物线与y轴的交点为 则y=12x十6是一次函数，图象T与x轴有公共点， (0,-2). 且公共点为(-号0： 当a>0,即抛物线开口向上时，对称轴在y轴右侧。 :当0≤m≤4时，n≤一2， ②若4a十2≠0，则y=(4a+2).x2+(9-6a)r-4a+4 .当x=4时，y≤-2， 是二次函数.令y=0,得(4a十2)x2+(9-6a)x-4a+ 即a×4-4a×4-2≤-2， 4=0. 解得a≥1： △=(9-6a)2-4(4a+2)(-4a+4)=100a-140a 当a<0,即抛物线开口向下时，对称轴在y轴左侧，则 +49=(10a-7)≥0， 当0≤m≤4时， 答案详解 107