14 2025年江西中考夺分训练(六)几何综合探究-【超级考卷】2025年中考数学（江西专用）

世洁中雪制备其。拉学 0600 【章广吉用】 本，又是：如星式期和的泊上有两真，其中一A自一自中肩，川这青真的莲线存雀示角和分反博栏制等 4由月语=4：且在P在附线上则，型表存轮△1图为直已量眼销风：如里香在-直级写逃 的两框什，视口释接录版目为顶三角厚的“等分则城二加用江，在△工中，D是的中点，点上 AE纳长：越明存有，墙以明博： 在A出上，若D+话→（它十C+AE,刚地有△Aa简一条号0到域“， 145年江西中考夺分摄齐) 【图来理1 几行抽會丝完 口任量一个三角服的单计期横”有果-某日期服行等年因线”的一十端日是度每形 满型日功点同组探究 所烟合，则止个世角形星 【超案国究1 .学个下同运打程育：在等为三AC中，A=：点D存样：上超动，精 直飘0中深为△0C前一事~等升同辰”，交A=,C=m ,以AP为-女在A山有朝作平数程解 1黄A长前闭容长作容情的化雀式表示 空有A以从，日相法，比养上传是青容发中我安行诗民明理由 最合，逐装工两线程好了的袋量美暴规 2混落■神】■制户，门点D在度自的国上线上话请时，在直 D:士样义TAM:销霄无△LE的密银程△程作比同的有量美耶， 山【网题解关】当点D在线上星g时（点D不4在a,C重合，自线U,E制义千道M,看 其型已后定文类间照探究 3暖之把尽表形仪老线容一十事点填转：楚一为商有时期样，后调样的喷韩路为“料的扇再” 这个复鳞角释厂对南是所每”归M中-在长释A取单，目之D,正是材样线 如用士，任长方车A:值直A通时计广球角每的“，佳边A店落在对角成C上，面AB的 时点真青去，点C年时成道为C,AD前时A有B:.连接CC.里∠度卧为=填表 1护时笑射肩”的在后用行看✉前晚大系米： 42D在1信盖计下，着∠(A-回-起上直形A使直A短时计n时自制情”，能边AD集者 时神性和上：点春前H速点来B:点C到时观A为+真B军料原高为D,准排A纳末由 ∠A山的度数： 43在长女痒Am)身：-1A0十4：在1C门n星脑上程“对角自折“写：生蓝(：△图朝 为12，入C黑为1久博直保销民时格百和A市的面积 上某台学：佳作一★新学保究孩动中：是期了下过程 集型目漫作、交换同题探究 【风装物表】 久.型章表1 虹明，在差图U期巾，乙A假=，P为可南线规上餐一青植自，建轴P,情C产健点产国时样 =洲①.用2-日细在么A和△年中：C=6-=,箱△(E国度，AA度'晚白C线并. 的销将再，逐接A正 口如同中：养6A好△1F是事精直角角期：∠E=∠AI=:=E=,时 加屑.指P为0中点时，率E:虎包因 AD转nE之到的面量更原陆 ,其中证的丽大的为 脑单里考】 应知推广】 12如帽@，两P为山上意一肉时：4计中的博论是清月其成 企了博证期的特枪， D每6之同的前丝关夏，2城理值，黄术建和E的装大第： 26 【传深员升行 来型巴卖其，日纳问影深规 【格离应系1 3如网0，已年在△r中，∠Dr=C,D2,程C为直角n州△C外等颗直角目 ?新厘，备作毒单，言有着学限库，我打军以道日青杆帽教学店光-馆京后学有丝 直1)作，若上方形A复的边其骑，4E=3平，表比的能， 量都A,落民A象A0的的大植 【动平潘作1再还，青更时花清D导月：度A亚车C事合，眼平厘计，月再门度E:秀侵短并 桂点高在EF上，并便短解径过AA-日到督座A点，F的点计N为，石，规平属青，益 结A多wE 睛文成： 4山属章洲团∠1，∠空南上天，试塘生这三个角油武和美系 柱)健01)摩的替型： 5.是名：出和时指里韩养连6国选理#冒目”销组型道取中：直∠A十∠=域 ∠B十∠D一个：测唇边限A1D是“时补国左起° ,点，P库对A令端0P,器平票片：速结， 【配老理目 口1短中，调边老A汇#星”对件四诗光一 明是一备兰等升线 者∠A·∠B4∠C-1“日41.期∠D= 3看/=袖，A目=，A=时1-容= 【相落板标1 若Aa-t:仪-16率2 由t用，调达果夏时神国n男有A=可，∠-子乙C制.用争AG,,时 191加州@，在姬米D静边上期一点6，消酒边军A6P得不翻所，楚0和高在鹤国 之网款显关属是 诗号自还铜过程 【老生线期1 11a用，在年中，∠C-,AD,有叉为DdD=I6A=.对ArT工语受 于点F,d装w,日两配∠译F=t以C,销直鞋军1+EF纳值 正来域，目过形A以沙皇~时持西女5： 【发民网■】 41集州D,友正家形A老中，，F什洲是成，以 号是的确真：肌∠EAP=了：成列面K,E,DW求之 纳青量美系小用电证使点A期时作规种时习 △AA,-性A柱4垂合，发足F-E+头填车 给生证等址国 【黄性越帅】 2D如再0，在证为银AD中，如果EF命洲园边C消，：装其线上的动有道∠上A=:圆 令的结企进成立时：请税明理自： 使明D,红单上，家别是友CD量长线上的动有，机∠=5，青精莲目口5，甲之 同的数丝定显 26例函数的解析式为y一 品贸 :AD=2,点A的纵坐标为2，点A的横坐标为 ,∴.CD·BA-BD·CM. 号-3 设CD=x,分下列两种情况讨论： ①当点D在线段BC上时，如图①， 即A(3,2). BD=2-x.CE=ME-CM=3-CM. 将A,B两点坐标代人y=kx+b(k≠0)， BD=CE. 得/2=3k+6. ∴.2-x=3-CM 1一1=-6k+b. ∴.CM=x+1. CD·BA=BD·CM. 解得 k一3 .2x=(2-x)(x+1), b=1, 整理得x十x一2=0， 一次函数的解析式为y=了十1， 解得1=1，d=一2（不符合题意，舍去）， ,.BD=2-x=1: (2)令y=号r+1=0,则x=-3,C(-3,0) Sam-Sx+5ar-号×3X(2+1)-号 142025年江西中考夺分训练（六） 几何综合探究 图① 图② ②当点D在线段BC的延长线上时，如图②， 【详解详析】 BD=2+x.CE=ME+CM=3+CM. 1.解：(1)BD=CEBA∥CE BD=CE. (2)S。g一Swx=3.理由如下： ∴.2+x=3+CM :△ABC和△ADE是等边三角形， .CM=x-1. .AB=AC·∠BAC=∠DAE=60°，AD=AE, CD·BA=BD·CM, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, .2x=(2+x)(x-1) 即∠BAD=∠CAE, 整理得x一x一2=0， ∴.△ABD≌△ACE(SAS), 解得x=2,x=一1（不符合题意，舍去）， ∴.Saam=S6E, ,.BD=2+x=4. SANE-SAACB=SAMWE -SAMC 综上所述，线段BD的长为1或4. SaE-Sace=Sam-San=5-5AB=目 2.解：(1)证明：：在菱形ABCD中，∠ABC=∠ADC =60°， ×2=3. .∠DBC=∠BDC=30°，BC=CD=AD. (3)由(1)(2)可知，无论点D在线段BC上还是在线段 :P为BD的中点， BC的延长线上，都有△ABD≌△ACE(SAS),BD CPLBD..CP-CD. CE,BA//CE,SAMLE-SAME=/3. ,CP绕点P逆时针旋转60°，得到PE, "Sawe △PCE为等边三角形，且点E在CD上， 2 .CE=DE.如图①，连接AP ·SaMe=3+B_3E :∠ADC=60°，AD=CD, 2 2 .△ACD为等边三角形，∴.AC=AD, BA∥CE, AE⊥CD. ∴.△MAE的边ME上的高=△ABC的边AB上的高 =3, ∴.ME-3. BA∥CE, ∴.△MDC∽△ADB, 图① 98 中考数学 (2)成立. AE=2AP. 证明：如图②，连接AP,AC,CE,DE .AE=2×4√2+5=4√4+25= :点P在BD上，∠ABC=60°，∠CPE=60°， ∴.AP=CP,△ACD,△PCE均为等边三角形， 4√3+2/3+1=4√(3+1)月 .∠1=∠3，AC=CD,PC=CE. =4(5+1)=4/5+4. :∠ACD=∠PCE=60°， 综上所述，AE的长为43-4或4√5+4 ∴∠1=∠3=∠2， ∴.△ACP2△DCE(SAS), ..CE=CP=AP=DE. ∴.直线AE是CD的中垂线， .AE⊥CD. (3)AE的长为43-4或43+4. 图3 图④ 【解析】(3)存在.分下列两种情况讨论： 3.解：(1)由题意可知“对角旋转角”为∠BAC,∠BAC+ ①如图③，当点P在线段BD上时，过点P作PML ∠CAD=90°， BC于点M. ∠BAC=90°-a, :BD平分∠ABC, ∴.“对角旋转角”为90°一a. ∠1-∠2-∠ABc-号×60-30. (2)由旋转可知，∠DAC=∠DAC :∠D1AC+∠CAD+∠DAC=90°，∠CAD=40°， AB=CB,∠1=∠2，BP=BP,.△ABP≌△CBP ∴.∠D,AC+∠DAC=90°-40°=50°， (SAS). .2∠DAC=50°，.∠DAC=25°， ∴AP=CP,∠APB=∠CPB. ∴.“对角旋转角”为25°， 由旋转得∠CPE=60°，CP=EP,∴.AP=EP. ∴.∠CAC=25°， 又：∠APE=90°，AP=EP.∴∠5=45°. .∠CAD=50 ∴.∠APB+∠CPB=360°-∠APE-∠CPE=210°， .∠CPB=105°， (3)240. 【解折13)Sm-·AC·BC=312. .∠3=90°-∠1=60°，.∠4=∠CPB-∠3=45 令MC=x,则PM=x,PC=2x,BM=3x Scc=2·AC·D,C=130,BC=BC,D,C=AB, ,BM+MC=BC=4.5x+x=4,∴.x=2/3-2, ÷312=·AC…Bc,130=7AC·AB. ∴.PC=PE=26-2√2，∴AE=EPE=43-4: 1 ②如图④，当点P在BD的延长线上时，则AP=PC ·AC·BC =PE. z·AC·AB 连接AC,与BD交于点O. .130BC=312AB. 由题意，得AC⊥BD,∠APC=∠APE-∠CPE=30°， 又，BC=2AB+4, ∠1=2∠APC-15 ∴.AB=10,BC=24, :DB平分∠ADC,∠ADC=∠ABC=60°， .S方m=AB·BC=10X24=240. 4.解：(1)3等腰 ∴∠3=2∠ADc=30 (2)①AB=AC, ∴.∠1+∠2=∠3=30°， ∴.△ABC是等腰三角形， ∠2=15°，∠1=∠2， ∴.点E与点A重合，且DE LBC, ∴.AD=DP=4. ∴∠BAC=n,AC=m, ∠8-8名o∠38-号， ·∠CED=2 ∴.A0=2,D0=2√5， 在R△DEBC中，DE=ACeos∠CED=m·cos受 ∴.OP=OD+DP=23+4, ②不会发生改变 ∴.AP=A0+OP=V2+(23+4)=4√2+5】 理由：如图①，延长BA至点F,使得AF=AC,连接 答案详解 99 FC,过点A作AG LCF于点G ,.△FCE2△DCE(SAS) ,△ACF为等腰三角形， G=FG=2CP∠AGC=90, .ED-EF- 5.解：(1)AD=BE15 ∠ACF=∠AFC (2)AD=√3BE ∠BAC=n, 理由：：△ABC和△DEC都是直角三角形，∠CDE ∴.∠BAC=∠ACF+∠AFC=L. ∠CAB=30°， ED为△ABC的等分周线”， 图① ∴AC:BC=3,CD:CE=E, ..EB+BD=CD+AC+AE. ∴.AC:BC=CD:CE D为BC的中点， '∠DCE=∠ACB=90, ..BD=CD. .∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, ..EB=AC+AE=AE+AF=EF, ∠ACD=∠BCE, ∴E为BF的中点， ,'.△ADC∽△BEC, ED为△BCF的中位线， ∴.AD:BE=AC:BC=5, ∴ED=2CF=CG ∴AD=3BE. 在R1△ACG中，AC=m,∠ACG= ∠BAC-登， AC=6,CD=9, ∴.当A,C,D三点共线且点A在DC的延长线上时AD CG=AC·cos∠ACG=m·cos2 最大，AD的最大值为AC+CD-6+9-15, DE=0G=mcos受 BE的最大值为AD =55. 即DE的长度不变， (3)如图，以CD为直角边向外作等 (3)如图②，取BC的中点F,连 腰直角三角形CDE,则CE⊥CD, 接EF, CD=CE,连接BE. :∠BEC=120°， :△ABC和△DEC都是等腰直角 ∴.∠BEA=180°-∠BEC=60 三角形， 图2 BA⊥AC, ,.AC=CB,CD=CE,∠ACB= ∴.∠BAC=90°， ∠DCE=90°， .在Rt△ABE中，AE= AB tanZBEA 1,BE ∴.∠ACD=∠BCE, ,.△ADC≌△BEC, AB in∠BEA=2. ..AD-BE 设CD的中点为F,连接BF,EF, EC=√3+1， BF+FE>BE. ..AB+AE=3+1=CE. BE的最大值为BF+FE. 又：F是BC的中点， 由题意可知BF是R△DBC斜边CD上的中线， ∴.BF=CF, .BF-- 9 .AB+AE+BF-CE+CF. ∴.EF是△ABC的“等分周线”， ∴在Rt△FCE中，EF= 91 W2 +995 六由（2)知，EF=ABcos-合∠BAC- 21 BC=2CD,∴.FC=CD. AD的最大值为9+9 2 CA是∠BCD的平分线， 6.解：(1)四边形ABCD是矩形， .∠FCE=∠DCE ∴.AD=BC=10,CD=AB=6,∠A=∠B=∠C=90 在△FCE和△DCE中， 由翻折的性质得A'D=AD=10,AE=AE. FC=DC. 在Rt△A'CD中，根据勾股定理，得A'C= ∠FCE=∠DCE, AD-CD=√10-6=8. EC=EC. ,.A'B=BC-A'C=2. 100 中考数学 设AE=A'E=x,则BE=AB-AE=6-x ∴.AC=AD+CD=10+5=55. 在Rt△A'BE中，由勾股定理得BE+A'B=A'E, :∠CBG+∠C=90,∠DAC+∠C=90°， 6-)+2=2,部得x-号 ∴∠CBG=∠DAC, ∴AE=号BE=6-9-号 tan∠CBG=tan∠DAC=6-2 设CG=t,则BG=2. 10 又∠BAC=45°，.AG=BG=2t, 3 六AC-21+1=3,∴31=55.1=5 3 (2)由翻折的性质得A'B=AB=6,AD=AD=BC, ∠A'=∠A=90°，∠A'BE=∠B=90°， cG-85,BG-105 3 ∴∠EBC+∠A'B'D=90°=∠A'B'D+∠B'DA', ∠EBC=∠B'DA'. :BC=aG+G-空即BD+号EF-9 又：∠ECB=∠A'=90°， 7.解：(1)∠1=∠2=∠3. .△EBC△B'DA' (2)证明：由折叠的性质可得AB'=BB,AB-AB', 带紧即愕 ..AB'=BB'=AB. .△ABB是等边三角形， 又BC·CE=24, ,.∠ABB'=60°， C-g CE 由折叠知AE=BE,AE=AE,BE=BE', 6 ..AE-B'E', .B'D=B'C+CD=10, .A'D=√BD-ABF=8, ∠1=∠2=号∠ABB=30 ∴BC=AD=AD=8CE=瓷-装-8 :四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°， .BE=BC-CE=8-3=5. ∠3=30， 号 .∠1=∠2=∠3. (3)证明：如图，连接PB 【解析】(3)：AD⊥BC,EF⊥AD, ∴.EF∥BC .△AEF△ADC, 需能-， CD-号ER,BD+号EF=BD+CD=BC 由折叠可知BE⊥AB,BB=PB', 设EF=3k,则CD=5k “∠PBE=∠BBE-∠BBP. 如图，过点D作DH⊥AC于点H,则 :∠AEF=∠EBC=90°， ∠CDH=∠DAC=90°-∠C,过点B ∴.B'E∥BC, 作BG⊥AC于点G. :EF∥BC, ∴∠BBE=∠CBB=号∠BBP. .∠CDF=∠DFE=2∠DAC= 由折叠可知PB=PB',∠PBB=∠P'B'B. 2∠CDH, 又BB=B'B, ∴∠CDH=∠FDH. .△PBB'≌△P'B'B, 又：DH=DH,∠CHD=∠FHD-90°， ∠PBB'=∠PBB, ∴.△CHD≌△FHD(ASA), ∠CB'-号∠NBB .DF=CD=5k. 在Rt△EFD中，由勾股定理得EF十DE=DF, ∴∠CBB=子∠CBN, .(3k)+4=(5)2,解得k=1(负值已舍去)， ∴BB是∠NBC的一条三等分线。 ∴.EF=3,DF=CD=5, 8.解：(1)证明：由旋转的性质可得∠ADG=∠B=90°， 答案详解 101 AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG. 又：∠BAK+∠BAD=180°， 又：∠ADC=90°， ,.∠BAK=∠C F,D,G三点共线 又：AK=CF,AB=CB, :∠EAF=45°， ,.△ABK≌△CBF, ∴.∠BAE+∠FAD=45°， ,∴.∠ABK=∠CBF,BK=BF, ∴.∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE ∴∠FBK=∠ABC =45°， :∠EBF=∠ABC. ∴∠FAG=∠EAF. 又：AE=AG,AF=AF, ∠EBF=∠KEBF,∠EBK=∠EBR. .△AFG≌△AFE(SAS). 又，BK=BF,BE=BE, .EF-FG=FD+DG=DF+BE. ,.△BEK≌△BEF, (2)①不成立 ..EK=EF, 理由：如图，把△ABE绕点A顺时针旋 ..AE+CF-AE+AK-EK-EF. 转90至△ADG,使AB与AD重合. (3)①证明：如图②，过点B分别作BM⊥AD,BN⊥ :∠ABE=∠ADG=90°，AB=AD, DC,垂足为M,N,则∠BMA=∠BNC=90°. ∴.F,G,D三点共线」 :DB平分∠ADC,.BM=BN. 由旋转的性质可知∠DAG=∠BAE, 又AB=CB, AG=AE,DG=BE. ,.R1△ABM≌Rt△CBN, ∴.∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠FAB+∠DAG ∴∠BAM=∠C =45°， :∠BAM+∠BAD=180°， ∴.∠FAG=∠FAE. ∠C+∠BAD=180°， 又：AF=AF, ,四边形ABCD是“对补四边形” ,.△AFG≌△AFE(SAS). ②由①知四边形ABCD是“对补四边形”， ..EF=FG=DF-DG=DF-BE. .∠ABC+∠ADC=180° ②EF=BE-DF, '∠ABC=90°，∴∠ADC=909 (3)由(1)知，EF=DF+BE. 设AD=a,DC=b,则AC=AD+CD=a2+6,Swm 在R1△ABE中，BE=√(35)-6=3， -AD.CD-tab. .CE=6-3=3. 设EF=x,则DF=x-3, .AB=BC, .CF=6-(x-3)=9-x. i.AB-BC(), 在Rt△CEF中，CF+CE=EF, 即(9-x)2+3=x2, Sue=AB.CB=AB=子(a+8) 解得x=5, :世=1 ∴EF的长是5. 1 ■技巧点拔 .1 6 即（号）广-4号+1=0 此题主要考查了儿何图形的旋转变换，是一道综 a+6) 合题，难度较大，解题的关键是拿握旋转的性质：对应 角相等，对应线段也相等， 解得分=2士 9.解：(1)①90°②5 六ian∠ACD=合=2士5. (2)AE+CF=EF 152025年江西中考夺分训练（七） 证明：如图①，延长EA至点K,使得AK=CF,连 接BK. 二次函数综合探究 :四边形ABCD是“对补四边形”， 【详解详析】 ,∴.∠BAD+∠C=180° 1.解：(1)根据题意，可得c,=0,A1(4,0),则m=4, 102 中考数学